Köklü ifadelerde işlemler ve eşlenik

Kanca

Bir parkta, bir köşeden 3 metre doğuya, sonra 4 metre kuzeye yürüyen biri toplam 7 metre yol alır. Başladığı noktaya düz bir çizgiyle bakarsa aradaki uzaklık 7 metre değil, 5 metredir: √(3² + 4²) = √25 = 5. Kök içindeki toplam, köklerin toplamına eşit değildir: √(9 + 16) = 5 iken √9 + √16 = 7'dir.

Bu fark, köklü ifadelerle işlem yapmanın ilk dersidir: kök, toplamaya dağılmaz, çarpmaya dağılır. Hangi işlemin köke girip çıkabildiğini bilmek, köklü ifadeleri sadeleştirmenin anahtarıdır. Bu derste kökleri önce toplayıp çarpacak, sonra paydada duran bir kökü eşlenik denen araçla nasıl ortadan kaldıracağımızı göreceğiz.

Büyük resim

2.4.3'te tek bir köklü sayıyı sadeleştirdik: √72 = 6√2. Bu derste köklü sayılar bir araya gelir. Toplamada köklü sayılar, cebirdeki benzer terimler gibi davranır: yalnız aynı kökü taşıyanlar birleşir. Çarpma ve bölmede ise kökler birleşip ayrılabilir.

Sınavda sık karşılaşılan bir köklü işlem, paydada kök bulunan bir kesri sadeleştirmektir. Paydadaki kökü yok etmek için kesir, uygun bir ifadeyle genişletilir. Payda tek bir kökse o kökün kendisiyle, iki terimliyse eşleniğiyle genişletilir. Eşlenik, iki terimli bir köklü ifadede ortadaki işareti değiştirmektir ve çarpımda kökleri yok eder.

Kavram çekirdeği

Toplama ve çıkarma

Köklü sayılar ancak kök içleri aynıysa toplanır ya da çıkarılır; bu durumda katsayılar toplanır, kök aynen kalır. 2√3 + 5√3 = 7√3'tür.

Kök içleri farklı görünüyorsa önce sadeleştirilir; çoğu zaman aynı köke iner. √50 + √72 = 5√2 + 6√2 = 11√2'dir. √18 - √8 = 3√2 - 2√2 = √2'dir. Sadeleştirmeden sonra bile kök içleri farklı kalırsa, örneğin √2 + √3, ifade daha fazla birleşmez.

En sık hata kök içlerini toplamaktır: √2 + √3, √5 değildir. Kancadaki gibi, √9 + √16 = 7 iken √25 = 5'tir. Kök, toplamaya dağılmaz.

Çarpma

Negatif olmayan sayılar için √a × √b = √(a × b)'dir. √6 × √3 = √18 = 3√2'dir. Katsayılar katsayılarla, kökler köklerle çarpılır: 2√3 × 5√2 = 10√6.

Bir kökün kendisiyle çarpımı kök içini verir: √a × √a = a. Bu basit kural, paydadaki kökten kurtulmanın temelidir: √3 × √3 = 3.

Çarpma çok terimli ifadelere dağılır. √2 × (√8 + √18) = √16 + √36 = 4 + 6 = 10'dur. Her terim ayrı ayrı çarpılır, sonra sadeleştirilir.

Farklı dereceli kökler doğrudan çarpılamaz. √2 × ∛2 için kesirli üs kullanılır: 2^(1/2) × 2^(1/3) = 2^(5/6). 2.4.3'teki kök ile üs bağı bu tür ifadelerde yolu açar.

Bölme

Bölme de köklere dağılır: √a ÷ √b = √(a ÷ b), b > 0. √48 ÷ √3 = √16 = 4'tür. Kök içleri birbirini tam bölüyorsa önce bölmek, ayrı ayrı sadeleştirmekten hızlıdır.

Paydadaki tek kökten kurtulma

Paydada tek bir kök varsa kesir o kökle genişletilir. 6/√3 için pay ve payda √3 ile çarpılır: 6√3/3 = 2√3. Payda artık tam sayıdır. Kesrin değeri değişmez, çünkü pay ve payda aynı sayıyla çarpılmıştır; 2.3.1'deki genişletmenin köklü biçimidir.

Paydadaki kök küpkökse genişletme farklıdır: kök içini tam küpe tamamlayan çarpan seçilir. 1/∛2 için pay ve payda ∛4 ile çarpılır: ∛4/∛8 = ∛4/2.

Eşlenik

İki terimli bir köklü ifadede ortadaki işaret değiştirilince eşleniği elde edilir: √5 + √2'nin eşleniği √5 - √2'dir; 1 + √3'ün eşleniği 1 - √3'tür.

Bir ifade eşleniğiyle çarpılınca kökler kaybolur. (√5 + √2)(√5 - √2) çarpımında terimler tek tek çarpılır: √5 × √5 = 5, √5 × (-√2) = -√10, √2 × √5 = √10, √2 × (-√2) = -2. Ortadaki iki terim birbirini götürür ve geriye 5 - 2 = 3 kalır. Kısaca: iki terimin kareleri arasındaki fark kalır.

Paydadaki iki terimli kökten kurtulma

Payda iki terimliyse kesir paydanın eşleniğiyle genişletilir. 1/(√3 - √2) için pay ve payda √3 + √2 ile çarpılır. Payda (√3)² - (√2)² = 3 - 2 = 1 olur; kesir √3 + √2'ye eşittir.

4/(√5 + 1) için eşlenik √5 - 1'dir. Payda 5 - 1 = 4 olur; kesir 4(√5 - 1)/4 = √5 - 1'e sadeleşir.

Eşlenikler toplamlarda da işe yarar. 1/(√3 - √2) + 1/(√3 + √2) toplamında her kesir ayrı ayrı rasyonelleştirilir: (√3 + √2) + (√3 - √2) = 2√3. Kökü taşıyan terimlerden biri sadeleşir, öbürü ikiye katlanır.

Görsel harita

Köklü işlem çözüm sırası

1. Bütün kökleri 2.4.3'teki gibi en sade biçime getir.
2. Toplamada yalnız aynı kök içlerini birleştir.
3. Çarpma ve bölmede kök içlerini birleştir, sonra yeniden sadeleştir.
4. Paydada kök varsa tek kökte kökün kendisiyle, iki terimde eşlenikle genişlet.
5. Sonucu ondalık yaklaşımla kabaca denetle.

Sınav gözüyle

Köklü işlem sorularında seçenekler, iki tipik hatanın sonucunu sık barındırır: kök içlerini toplamak ve eşlenikte payı genişletmeyi unutmak. İkinci hata, paydayı rasyonel yapıp payı olduğu gibi bırakan adayı yanlış bir kesre götürür. Genişletmenin pay ile paydaya birlikte yapıldığını her adımda görmek bunu önler.

Bir başka denetim yolu yaklaşık değerdir. √2 ≈ 1,41 ve √3 ≈ 1,73 değerleri, bir sonucun makul olup olmadığını saniyeler içinde gösterir. 1/(√3 - √2) yaklaşık 1/0,32'dir, yani 3'ten biraz büyük olmalıdır; √3 + √2 ≈ 3,15 bu denetimden geçer.

Hafıza kancaları

• "Kök çarpmaya dağılır, toplamaya dağılmaz" — √9 + √16 ≠ √25.
• "Aynı kök içi, toplanır" — √50 + √72 = 5√2 + 6√2.
• "Kök kendisiyle çarpılınca içi kalır" — √3 × √3 = 3.
• "Eşlenik ortadaki işareti çevirir" — çarpımda karelerin farkı kalır.
• "Payı da genişlet" — pay ve payda birlikte.

Mini test

1. (kolay) √50 + √72 işleminin sonucu kaçtır?

A) √122 B) 11√2 C) 30√2 D) 11√4 E) √22

2. (kolay) √48 ÷ √3 işleminin sonucu kaçtır?

A) 16 B) √45 C) 2 D) 4 E) 8

3. (orta) 6/√3 ifadesinin paydası rasyonel yapılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2√3 B) √3 C) 6√3 D) 2 E) 3√2

4. (orta) (√5 + √2)(√5 - √2) çarpımının sonucu kaçtır?

A) 7 B) √3 C) 5 - 2√10 D) √7 E) 3

5. (sınav) 1/(√3 - √2) + 1/(√3 + √2) toplamının sonucu kaçtır?

A) 2√2 B) 0 C) 2√3 D) 1 E) √6

Cevaplar

1. B — √50 = 5√2 ve √72 = 6√2'dir; toplam 11√2'dir. A, kök içlerini toplamanın sonucudur.
2. D — √(48 ÷ 3) = √16 = 4. A, sonucun karekökünü almayı unutmanın sonucudur.
3. A — Pay ve payda √3 ile çarpılır: 6√3/3 = 2√3. C, payı √3 ile çarpıp paydayı da çarpmayı unutmanın sonucudur.
4. E — Ortadaki terimler birbirini götürür; 5 - 2 = 3 kalır. A, kareleri toplamanın sonucudur.
5. C — Birinci kesir √3 + √2'ye, ikincisi √3 - √2'ye eşittir; toplam 2√3'tür. A, √2 terimlerini birleştirip √3 terimlerini götürmenin sonucudur.

Özet kartı

• Köklü sayılar yalnız kök içleri aynıysa toplanır; önce sadeleştirmek ortak kökü ortaya çıkarır.
• √a × √b = √(ab) ve √a ÷ √b = √(a/b); √(a + b) ise √a + √b değildir.
• √a × √a = a; paydadaki tek kök, kökün kendisiyle genişletilerek yok edilir.
• Eşlenik ortadaki işareti değiştirir; ifade eşleniğiyle çarpılınca terimlerin kareleri farkı kalır.
• Paydada iki terimli kök varsa kesir paydanın eşleniğiyle genişletilir; pay da çarpılır.
• Farklı dereceli kökler kesirli üsle birleştirilir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Eşlenik çarpımında her zaman aynı sonuç çıktı: (a + b)(a - b) çarpımı a² - b²'ye eşitti. Bu bir rastlantı değil, her sayı için geçerli bir eşitliktir. Ders 2.4.5, "Özdeşlikler ve çarpanlara ayırma", bu tür her zaman doğru eşitlikleri ve bir ifadeyi çarpanlarına ayırmayı ele alıyor.