Köklü sayılar

Kanca

Bir belediye, alanı 49 metrekare olan kare biçiminde bir çocuk oyun alanı yapıyor. Kenar uzunluğu kaç metredir? Cevap hemen gelir: 7 metre, çünkü 7 × 7 = 49'dur. Alan 50 metrekare olsaydı kenar ne olurdu? Hiçbir tam sayının karesi 50 değildir. Kenar 7'den biraz büyük, 8'den küçüktür; yaklaşık 7,07 metredir.

Bu sayıyı tam olarak yazmanın yolu kök gösterimidir: √50. Daha da sade biçimiyle 5√2. Kök, karesi alınınca belli bir sayıyı veren sayıyı arar; üs almanın tersidir. Bu ders karekökü ve daha yüksek dereceden kökleri, kökün kesirli üsle bağını ve köklü sayıları en sade biçimine getirmeyi ele alıyor.

Büyük resim

2.4.1'de bir sayının kuvvetini aldık: 7² = 49. Kök bu işlemi geri alır: √49 = 7. Aynı ilişki daha yüksek kuvvetlerde de vardır: 2³ = 8 olduğu için 8'in küpkökü 2'dir.

Köklü sayıların bir kısmı tam sayıdır (√49 = 7), bir kısmı ise hiçbir kesirle tam olarak yazılamaz (√2). İkinci türdeki sayılara irrasyonel sayılar denir. Sınavda köklü sayılar çoğu zaman bu ikinci türdendir ve soru, onları hesaplamadan sade biçime getirmeyi ister. Köklü ifadelerle toplama, çarpma ve paydadaki kökten kurtulma ünitenin sonraki dersine kalıyor.

Kavram çekirdeği

Karekök

Negatif olmayan bir a sayısının karekökü, karesi a olan negatif olmayan sayıdır ve √a diye yazılır. √49 = 7, √0,25 = 0,5, √(9/16) = 3/4'tür.

Karekökün sonucu negatif olamaz. x² = 49 denkleminin iki çözümü vardır: x = 7 ya da x = -7. Ama √49 yalnız 7'dir. Denklemi çözerken iki işaret yazılır; kök işareti ise tek, negatif olmayan bir değer verir. Sınav bu ayrımı sık sınar.

Negatif sayının karekökü gerçek sayılarda tanımlı değildir: √(-4) diye bir gerçek sayı yoktur, çünkü hiçbir gerçek sayının karesi negatif olamaz.

Tam kareler ve tahmin

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225 sayıları tam karelerdir; bunları tanımak kök sorularında büyük zaman kazandırır. Bir doğal sayının karekökü ancak sayı tam kareyse doğal sayıdır; değilse irrasyoneldir.

Tam kare olmayan sayıların karekökü, iki komşu tam kare arasından tahmin edilir. 49 < 50 < 64 olduğu için 7 < √50 < 8'dir. 50, 49'a çok yakın olduğu için √50 de 7'ye yakındır. Sınavda "√50 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?" türü sorular bu yolla çözülür.

Daha yüksek dereceden kökler

ⁿ√a ifadesi, n'inci kuvveti a olan sayıyı gösterir; n'ye kökün derecesi denir. ∛8 = 2, çünkü 2³ = 8'dir. ∜16 = 2, çünkü 2⁴ = 16'dır.

Kökün derecesi tek ise negatif sayının kökü vardır: ∛(-27) = -3, çünkü (-3)³ = -27'dir. Derece çift ise negatif sayının kökü gerçek sayılarda tanımsızdır: ∜(-16) yoktur. Bu, 2.4.1'deki işaret kuralının tersten okunmasıdır: tek kuvvet işareti korur, çift kuvvet işareti siler.

Kök ile kesirli üs

Kök, kesirli bir üs olarak da yazılabilir: ⁿ√a = a^(1/n) ve ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n). √4 = 4^(1/2) = 2'dir.

Bu yazılış, 2.4.2'de karşılaştığımız 4^(3/2) = 8 sonucunu açıklar: 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8. Kesirli üs hesaplanırken önce kök almak sayıları küçük tutar: 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9. Negatif kesirli üs yine ters çevirir: 8^(-1/3) = 1/∛8 = 1/2.

Kesirli üs yazılışının yararı, 2.4.1'deki bütün üs kurallarını köklere taşımasıdır. Köklü bir ifade sadeleşmiyorsa üslü biçime çevirmek çoğu zaman yolu açar.

√(a²) = |a|

Bir sayının karesinin karekökü, sayının kendisi değil mutlak değeridir: √((-5)²) = √25 = 5'tir, -5 değil. Kök işareti negatif sonuç veremeyeceği için işaret kaybolur. Tek dereceli köklerde bu sorun yoktur: ∛((-2)³) = -2'dir.

Kök dışına çıkarma

Kök içindeki sayı, bir tam kare ile başka bir sayının çarpımına ayrılırsa tam kare kökün dışına çıkar. √72 = √(36 × 2) = 6√2'dir. √50 = √(25 × 2) = 5√2'dir.

En sade biçim için kök içinden ayrılan tam kare en büyük olmalıdır. √72'yi √(4 × 18) = 2√18 diye yazmak doğru ama sade değildir; 18 içinde hâlâ 9 vardır. 2.2.3'teki asal çarpanlara ayırma bunu güvenceye alır: 72 = 2³ × 3² olduğuna göre her çift üslü çarpan dışarı çıkar: 2 × 3 = 6 dışarıda, bir 2 içeride kalır.

Küpkökte aynı iş tam küplerle yapılır: ∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2'dir.

Kök içine alma ve sıralama

Dışarıdaki bir sayı, karesi alınarak karekökün içine girer: 3√2 = √(9 × 2) = √18'dir. Bu yol, köklü sayıları karşılaştırmanın en güvenli yöntemidir. a = 3√2, b = 2√5, c = 4 sayılarını sıralamak için hepsi kök içine alınır: a = √18, b = √20, c = √16. Kök içi büyük olan büyüktür: c < a < b.

Görsel harita

Köklü sayı çözüm sırası

1. Kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayır.
2. Kökün derecesine göre tam kare ya da tam küp grupları dışarı çıkar.
3. Kök içinde negatif sayı varsa derecenin tek mi çift mi olduğunu denetle.
4. Kesirli üs varsa önce kökü al, sonra kuvveti.
5. Karşılaştırma isteniyorsa hepsini kök içine al.

Sınav gözüyle

Köklü sayı sorularında en sık iki kayıp vardır. Birincisi işarettir: √49'u ±7 sanmak ya da √((-5)²)'yi -5 bulmak. Kök işaretinin tek ve negatif olmayan bir sonuç verdiğini akılda tutmak bu iki hatayı da önler.

İkinci kayıp sadeleştirmenin yarım bırakılmasıdır. √72'yi 2√18 diye bırakan aday, seçeneklerde 6√2'yi göremez. Asal çarpanlara ayırarak çift üslü bütün çarpanları dışarı çıkarmak, sonucun gerçekten en sade olduğunu garanti eder.

Hafıza kancaları

• "Kök işareti eksi vermez" — √49 = 7, x² = 49 ise x = ±7.
• "Tek derece eksiyi taşır" — ∛(-27) = -3, ∜(-16) yok.
• "Önce kök, sonra kuvvet" — 27^(2/3) = 3² = 9.
• "Karenin kökü mutlak değer" — √((-5)²) = 5.
• "En büyük tam kareyi çıkar" — √72 = 6√2.

Mini test

1. (kolay) √72 sayısının en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 8√3 B) 4√2 C) 2√6 D) 6√2 E) 36√2

2. (kolay) ∛(-27) sayısının değeri kaçtır?

A) -3 B) 3 C) Tanımsızdır D) -9 E) 9

3. (orta) 27^(2/3) sayısının değeri kaçtır?

A) 18 B) 3 C) 9 D) 6 E) 81

4. (orta) √((-5)²) + ∛(-8) işleminin sonucu kaçtır?

A) -7 B) 7 C) -3 D) 1 E) 3

5. (sınav) a = 3√2, b = 2√5 ve c = 4 olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) a < b < c B) c < a < b C) a < c < b D) b < c < a E) c < b < a

Cevaplar

1. D — 72 = 36 × 2; √72 = 6√2. E, 36'yı kök dışına çıkarırken karekökünü almamanın sonucudur.
2. A — (-3)³ = -27'dir. C, tek dereceli kökü çift dereceli gibi değerlendirmenin sonucudur.
3. C — (∛27)² = 3² = 9. A, üssü çarpan sanmanın (27 × 2/3) sonucudur.
4. E — √((-5)²) = 5 ve ∛(-8) = -2'dir; toplam 3'tür. A, birinci terimi -5 almanın sonucudur.
5. B — Kök içine alınınca a = √18, b = √20, c = √16 olur; c < a < b.

Özet kartı

• √a, a ≥ 0 için karesi a olan negatif olmayan sayıdır; √49 = 7, x² = 49 ise x = ±7.
• Tek dereceli kökte negatif içerik tanımlıdır, çift dereceli kökte tanımsızdır.
• ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n); kesirli üste önce kök, sonra kuvvet alınır.
• √(a²) = |a|'dır.
• Kök içindeki en büyük tam kare (küpkökte tam küp) dışarı çıkarılarak sade biçim bulunur.
• Köklü sayılar karşılaştırılırken hepsi kök içine alınır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

√50 = 5√2 ve √72 = 6√2 sayılarının ikisi de √2'nin katıdır. Bu ortaklık, iki sayıyı toplamayı mümkün kılar mı? Ders 2.4.4, "Köklü ifadelerde işlemler ve eşlenik", köklü ifadelerle dört işlemi ve eşlenik kavramını ele alıyor.