Üslü denklemler ve sıralama

Kanca

Bir duyuru zinciri şöyle işliyor: haberi alan her kişi onu üç yeni kişiye iletiyor. İlk turda 3 kişi, ikinci turda 9 kişi, üçüncü turda 27 kişi haberi alıyor. Hangi turda tam 243 kişi yeni haber alır? Soru, 3ˣ = 243 eşitliğindeki x'i soruyor ve cevabı 5'tir, çünkü 3⁵ = 243'tür.

Önceki derste üssü bilinen bir kuvvetin değerini bulduk. Burada yön tersine dönüyor: değer biliniyor, üs aranıyor. Aynı ters bakış, üslü sayıları karşılaştırmakta da işe yarar; bir sayının değerini hesaplamak yerine onu karşılaştırılabilir bir biçime getirmek yeter. Bu derste önce x'in üste oturduğu denklemleri tabanları eşitleyerek çözecek, sonra büyük kuvvetleri değerlerini hiç bulmadan büyükten küçüğe dizeceğiz.

Büyük resim

Üslü denklemlerin hemen hepsi tek bir fikre dayanır: iki yanı aynı tabana getirmek. Tabanlar eşitlenince üsler de eşit olmak zorundadır ve denklem sıradan bir denkleme döner. Bu yüzden 2.4.1'deki tabanı eşitleme alışkanlığı burada çözümün kendisidir.

Sıralamada da benzer bir fikir çalışır. Üslü sayılar ya aynı tabana ya da aynı üsse getirilir; ikisinden biri ortak olunca karşılaştırma tek bakışta yapılır. Hangisinin ortaklaştırılacağı sayılara bağlıdır ve doğru seçim, hesabı neredeyse tamamen ortadan kaldırır.

Kavram çekirdeği

Tabanlar eşitse üsler eşittir

a, 0, 1 ve -1'den farklı bir sayıysa aˣ = aʸ eşitliği x = y demektir. 2ˣ = 32 için 32 = 2⁵ yazılır ve x = 5 bulunur. 3ˣ⁺¹ = 81 için 81 = 3⁴'tür; x + 1 = 4 ve x = 3'tür.

Taban kısıtının nedeni basittir. 1'in her kuvveti 1'dir; 1ˣ = 1ʸ eşitliği x ile y hakkında hiçbir şey söylemez. 0 ve -1 için de benzer sorunlar vardır. Sınavda tabanı bilinmeyen sorularda bu durumlar ayrıca denetlenir.

Tabanı eşitlemek

Tabanlar farklıysa önce ortak bir asala indirilir. 4ˣ = 8 için 4 = 2² ve 8 = 2³'tür: 2²ˣ = 2³, öyleyse 2x = 3 ve x = 3/2'dir. Üs kesirli çıkabilir; bu bir hata değildir.

9ˣ⁻¹ = 27ˣ için iki taban da 3'ün kuvvetidir: 3²⁽ˣ⁻¹⁾ = 3³ˣ. Üsler eşitlenir: 2x - 2 = 3x, yani x = -2. Bu tür sorularda parantezi açarken üssün tamamının çarpıldığını unutmamak gerekir: 9ˣ⁻¹, 3²ˣ⁻¹ değil 3²ˣ⁻² olur.

Kesirli tabanlar negatif üsle aynı tabana getirilir. (1/2)ˣ = 8 için 1/2 = 2⁻¹'dir: 2⁻ˣ = 2³ ve x = -3'tür.

Sonuç 1 ise üs sıfırdır

aˣ⁻² = 1 eşitliğinde, a 0, 1 ve -1'den farklıysa üs sıfır olmak zorundadır: x - 2 = 0 ve x = 2'dir. 1'i a⁰ diye yazmak, denklemi öbürleriyle aynı biçime sokar.

Üsler eşitse tabanlar

Üsler eşit ve tabanlar bilinmiyorsa üssün tek ya da çift olması belirleyicidir. a⁵ = 3⁵ ise a = 3'tür, çünkü tek kuvvet işareti korur. a⁴ = 3⁴ ise a, 3 ya da -3 olabilir, çünkü çift kuvvet işareti siler. Çift üste ikinci çözümü atlamak sık yapılan bir eksikliktir.

Toplam içeren denklemler

Bir yanda aynı tabanlı terimlerin toplamı varsa en küçük kuvvet ortak çarpan olarak dışarı alınır. 2ˣ⁺² + 2ˣ = 40 denkleminde 2ˣ⁺² = 4 × 2ˣ'tir: 2ˣ × (4 + 1) = 40, yani 2ˣ = 8 ve x = 3'tür. Toplamın her terimini ayrı ayrı eşitlemeye çalışmak işe yaramaz; 2.4.1'de gördüğümüz gibi toplamanın üs kuralı yoktur.

Aynı tabanlı sayıları sıralamak

Taban 1'den büyükse üssü büyük olan sayı büyüktür: 2³⁰ > 2²⁰. Taban 0 ile 1 arasındaysa sıra tersine döner: (1/2)³ = 1/8, (1/2)² = 1/4'ten küçüktür. Kesirli bir sayıyı kendisiyle çarpmak onu küçülttüğü için kuvvet büyüdükçe sayı küçülür.

Aynı üslü sayıları sıralamak

Üsler eşit ve tabanlar pozitifse tabanı büyük olan sayı büyüktür: 3²⁰ > 2²⁰. Bu kural, karşılaştırılacak sayıları ortak bir üsse getirmenin neden işe yaradığını da açıklar.

Ne taban ne üs ortaksa

Bu durumda iki yoldan biri seçilir. Tabanlar aynı asalın kuvvetiyse ortak tabana gidilir: 4¹⁵ = 2³⁰ ve 8¹¹ = 2³³'tür; 8¹¹ daha büyüktür.

Tabanlar farklı asallarsa ortak üsse gidilir. Üslerin EBOB'u ortak üs olarak alınır. 2³⁰ ile 3²⁰ için EBOB(30, 20) = 10'dur: 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰ ve 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰. 9 > 8 olduğu için 3²⁰ daha büyüktür. Hiçbir sayının değerini hesaplamaya gerek kalmaz.

Aynı yol üç sayıya da uygulanır. a = 2⁴⁰, b = 3³⁰, c = 5²⁰ için ortak üs 10'dur: a = 16¹⁰, b = 27¹⁰, c = 25¹⁰. Sıralama a < c < b olur.

Negatif tabanlarda dikkat

Negatif tabanlarda tek ve çift kuvvetler farklı işaret taşır; (-2)³ = -8 iken (-2)² = 4'tür. Bu yüzden negatif tabanlı sayılar sıralanırken önce işaretler belirlenir, sonra yalnız aynı işaretli sayılar karşılaştırılır.

Görsel harita

Üslü soru çözüm sırası

1. Bütün tabanları en küçük asallarına indir.
2. Denklemse üsleri eşitle; toplam varsa önce ortak çarpanı al.
3. Sıralamaysa aynı asalın kuvvetlerinde ortak tabana, farklı asallarda ortak üsse git.
4. Tabanın 1'den küçük ya da negatif olup olmadığını denetle.
5. Bulunan değeri ilk eşitliğe koyarak doğrula.

Sınav gözüyle

Üslü denklem sorularında en sık kayıp parantez açılışındadır. 9ˣ⁻¹ ifadesini 3'ün kuvvetine çevirirken üssün yalnız bir parçasını iki ile çarpmak, denklemi baştan bozar. Bulunan değeri ilk eşitliğe geri koymak birkaç saniye sürer ve bu hatayı yakalar.

Sıralama sorularında yalnız üslere ya da yalnız tabanlara bakan aday kolayca yanılır. 2³⁰ ile 3²⁰ karşılaştırmasında 30 > 20 diye ilkini seçmek, tabanları göz ardı etmektir. Ortak üs yöntemi her iki bilgiyi birlikte hesaba katar.

Hafıza kancaları

• "Tabanı eşitle, üssü eşitle" — 4ˣ = 8 → 2²ˣ = 2³.
• "Parantez açılırken üssün tamamı çarpılır" — 9ˣ⁻¹ = 3²ˣ⁻².
• "Sonuç 1 ise üs sıfır" — aˣ⁻² = 1 → x = 2.
• "Farklı asallarda ortak üs" — 2³⁰ = 8¹⁰, 3²⁰ = 9¹⁰.
• "Kesirli tabanda büyük üs küçük sayı" — (1/2)³ < (1/2)².

Mini test

1. (kolay) 3ˣ⁺¹ = 81 olduğuna göre x kaçtır?

A) 4 B) 2 C) 3 D) 27 E) 1

2. (kolay) 4ˣ = 8 olduğuna göre x kaçtır?

A) 2 B) 1/2 C) 3 D) 2/3 E) 3/2

3. (orta) 2ˣ⁺² + 2ˣ = 40 olduğuna göre x kaçtır?

A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 8

4. (orta) Aşağıdaki sayılardan hangisi en büyüktür?

A) 2³⁰ B) 4¹⁴ C) 8⁹ D) 3²⁰ E) 5¹²

5. (sınav) a = 2⁴⁰, b = 3³⁰ ve c = 5²⁰ olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) a < b < c B) a < c < b C) c < a < b D) b < c < a E) c < b < a

Cevaplar

1. C — 81 = 3⁴'tür; x + 1 = 4 ve x = 3'tür. A, üssü x sanıp 1'i eklemeyi unutmanın sonucudur.
2. E — 2²ˣ = 2³ verir; x = 3/2'dir. D, oranı ters kurmanın sonucudur.
3. A — 2ˣ × (4 + 1) = 40, yani 2ˣ = 8 ve x = 3'tür.
4. D — 4¹⁴ = 2²⁸ ve 8⁹ = 2²⁷, 2³⁰'dan küçüktür. 2³⁰ = 8¹⁰ ile 3²⁰ = 9¹⁰ karşılaştırılınca 3²⁰ büyüktür. 5¹² ise 3²⁰'nin yanında çok küçüktür: 5¹² = 244.140.625, 3²⁰ = 3.486.784.401.
5. B — Ortak üs 10'dur: a = 16¹⁰, c = 25¹⁰, b = 27¹⁰; a < c < b. A, yalnız tabanlara bakmanın sonucudur.

Özet kartı

• a, 0, 1 ve -1'den farklıysa aˣ = aʸ eşitliğinden x = y çıkar.
• Farklı tabanlar ortak asala indirilir; parantez açılırken üssün tamamı çarpılır.
• aˣ = 1 ise üs sıfırdır; çift üslü eşitlikte taban için iki çözüm vardır.
• Toplam içeren denklemde en küçük kuvvet ortak çarpan olarak alınır.
• Sıralamada aynı asalın kuvvetleri ortak tabana, farklı asallar üslerin EBOB'uyla ortak üsse getirilir.
• Taban 0 ile 1 arasındaysa büyük üs küçük sayı verir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

4ˣ = 8 denkleminde x = 3/2 bulduk; yani 4 sayısının kesirli bir kuvveti 8'e eşit. Kesirli üsler, bir sayının karekökü gibi kavramlarla doğrudan bağlantılıdır. Ders 2.4.3, "Köklü sayılar", kök kavramını ve köklü sayıları ele alıyor.