Kesirli ifadelerde hızlı çözüm

Kanca

Bir soru şunu istiyor: 1/(1 × 2) + 1/(2 × 3) + 1/(3 × 4) + … + 1/(9 × 10) toplamı kaçtır? Dokuz kesir var ve paydaları 2, 6, 12, 20… diye büyüyor. Ortak payda yoluna giren aday 2.520 paydasıyla uğraşmaya başlar. Dokuz kesri genişletip toplamak hem dakikalar alır hem de bir yerde hata yapma olasılığını büyütür.

Aynı soru tek satırda biter. Her terim iki kesrin farkı olarak yazılabilir: 1/(1 × 2) = 1 - 1/2, 1/(2 × 3) = 1/2 - 1/3. Toplamda ortadaki kesirler birbirini götürür ve geriye 1 - 1/10 = 9/10 kalır. Bu Ustalık dersi, kesirli ifadelerde hesabı uzatmadan sonuca götüren yapıları tanımayı ve doğru anda kullanmayı öğretiyor.

Büyük resim

Ünitenin dört dersi kesirlerle ve ondalıklarla bütün işlemleri kurdu. Bu işlemler her soruyu çözer, ama sınavın süresi her soruyu uzun yoldan çözmeye yetmez. Sınavdaki kesirli ifadeler sık sık bir yapı saklar: ortak bir çarpan, birbirini götüren terimler, uygun bir sayıyla çarpılınca kaybolan paydalar.

Hızlı çözüm, kural ezberi değil bir bakış alışkanlığıdır. İfadeyi hesaplamaya başlamadan önce birkaç saniye ona bakmak ve "burada hangi yapı var?" diye sormak gerekir. Bu ders beş yapıyı tanıtıyor ve her birinin hangi işaretle kendini belli ettiğini gösteriyor. 2.1.6 ve 2.2.6'daki Ustalık derslerinde kurduğumuz "önce oku, sonra hesapla" alışkanlığı burada kesirlerle çalışır.

Kavram çekirdeği

Ondalıkları tanıdık kesirlere çevir

İfadede 0,25, 0,5, 0,75, 0,2, 0,125 gibi sayılar varsa önce kesre çevirmek çoğu zaman en kısa yoldur. 2/3 × 0,75 + 1/3 × 3/4 ifadesinde 0,75 = 3/4 görülünce iki terimin ortak çarpanı ortaya çıkar. İşaret: ifadede kesirler ve ondalıklar karışık verilmiştir.

Ortak çarpanı parantezine al

Aynı sayı birden çok terimde çarpan olarak geçiyorsa o sayı parantez dışına alınır. 0,37 × 12 + 0,63 × 12 = (0,37 + 0,63) × 12 = 1 × 12 = 12. 3/7 × 5 + 3/7 × 2 = 3/7 × 7 = 3.

Bu yapının işareti, parantez içinde toplanınca "yuvarlak" bir sayı veren çarpanlardır: 0,37 ile 0,63 toplamı 1, 2/3 ile 1/3 toplamı 1. Böyle sayılar çoğu zaman bir ipucudur. Bir önceki örnekte 2/3 × 3/4 + 1/3 × 3/4 = (2/3 + 1/3) × 3/4 = 3/4 olur.

Paydaları tek hamlede kaldır

Payında ve paydasında kesirler bulunan bir ifadede, pay ve payda iç paydaların EKOK'uyla çarpılır; bütün iç paydalar bir anda kaybolur. (1/2 + 1/3) ÷ (1/2 - 1/3) ifadesinde iç paydaların EKOK'u 6'dır. Pay ile payda 6 ile çarpılınca (3 + 2) ÷ (3 - 2) = 5 olur.

Aynı fikir ondalıklarda da işler. (0,2 + 0,04) ÷ 0,06 ifadesinde pay ve payda 100 ile çarpılır: (20 + 4) ÷ 6 = 4. Pay ile paydanın aynı sayıyla çarpılması kesrin değerini değiştirmez; 2.3.1'deki genişletmenin ta kendisidir.

Birbirini götüren terimler

1/(n × (n + 1)) biçimindeki her kesir 1/n - 1/(n + 1) diye yazılabilir. Bu yazılışla toplanan bir dizide ortadaki terimler çiftler hâlinde silinir; geriye yalnız ilk terimin başı ve son terimin sonu kalır. Kancadaki toplam bu yüzden 1 - 1/10 = 9/10'dur.

İşaret, paydaların ardışık iki sayının çarpımı olmasıdır: 2 = 1 × 2, 6 = 2 × 3, 12 = 3 × 4, 20 = 4 × 5, 30 = 5 × 6. Paydalar bu dizide görünüyorsa terimleri farka çevirmek gerekir. Son terimin paydasını doğru ayırmak önemlidir: 30 = 5 × 6 olduğu için toplam 1 - 1/6'da biter, 1 - 1/30'da değil.

Zincirleme çarpımlar

(1 - 1/2)(1 - 1/3)(1 - 1/4)(1 - 1/5) gibi çarpımlarda her parantez önce tek kesre çevrilir: 1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5. Her kesrin payı, bir öncekinin paydasıyla sadeleşir ve geriye ilk pay ile son payda kalır: 1/5. Dört kesri tek tek çarpmaya gerek yoktur.

İşaret, ardışık sayılarla kurulmuş tekrar eden parantezlerdir. Parantez sayısı büyük de verilebilir, örneğin 2'den 100'e kadar; o zaman uzun yol pratikte kapanır, kısa yol ise yine tek satırdır: 1/100.

Büyüklükle seçenek elemek

Hesabı bitirmeden de seçenekler elenebilir. Pozitif terimlerin toplamı her terimden büyüktür; 1'den küçük pozitif kesirlerin çarpımı her çarpandan küçüktür. Kancadaki toplam 1/2'den büyük, 1'den küçük olmalıdır; 1'i aşan ya da 1/2'nin altında kalan seçenekler hiç hesaplanmadan düşer.

Bir örnek

Soru: 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 toplamı kaçtır?

Paydalar 1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5, 5 × 6'dır. Terimler farka çevrilince toplam (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + … + (1/5 - 1/6) = 1 - 1/6 = 5/6 olur.

A) 4/5. Bu, 1 - 1/5'tir; son terimi (1/30) atlayıp ilk dört terimi toplamanın sonucudur.

B) 1. Terim sayısı sonsuza uzasaydı toplamın yaklaşacağı değerdir; beş terimli toplam 1'e ulaşmaz. Büyüklük denetimi de bunu eler.

C) 5/6. Beş terimin farkları toplanınca 1 - 1/6 kalır. Bütün terimleri kapsar.

D) 6/7. Bu, 1 - 1/7'dir; diziye bir terim (1/42) fazladan eklenmiş gibi davranmanın sonucudur.

E) 29/30. Bu, 1 - 1/30'dur; son paydayı 5 × 6 diye ayırmak yerine olduğu gibi kullanmanın sonucudur.

Aranan seçenek C. A ve D terim sayısını, E son paydanın ayrılışını, B ise sonlu toplam ile sonsuz dizi farkını kaçırır.

Görsel harita

Hızlı çözüm sırası

1. Hesaplamadan önce ifadeye bak ve yukarıdaki beş işaretten birini ara.
2. İşaret varsa ilgili hamleyi uygula; yoksa ondalıkları kesre çevirip düz hesapla.
3. Birbirini götüren yapılarda ilk ve son terimi dikkatle belirle.
4. Sonucu büyüklük denetimiyle sına ve seçeneklerle karşılaştır.

Sınav gözüyle

Hızlı çözüm sorularında zaman, yapının tanınmasında kazanılır ve kayıp da orada başlar. Yapıyı tanımayan aday doğru sonuca yine ulaşır, ama süreyi başka sorulardan çalar. Yapıyı yanlış tanıyan aday ise hızlı ama yanlış bir sonuca varır; birbirini götüren toplamda son terimi yanlış ayırmak bunun tipik örneğidir.

Seçenekler bu iki kaybı da hesaba katar. Uzun yoldan çözen adayı yormak için sayılar büyük seçilir; kısa yolu yanlış uygulayanı yakalamak için bir terim eksik ya da fazla sonuçlar seçeneklere konur. Bu yüzden kısa yoldan bulunan sonucu bir kez daha, terim sayısını sayarak denetlemek gerekir.

Hafıza kancaları

• "Önce bak, sonra hesapla" — beş işaretten birini ara.
• "Toplamı 1 eden çarpanlar parantez ister" — 0,37 + 0,63.
• "İç paydaları EKOK'la sil" — pay ve payda aynı sayıyla.
• "Ardışık çarpım paydası, fark ister" — 1/n - 1/(n + 1).
• "Zincirde ilk pay, son payda" — 1/2 × 2/3 × … × 4/5 = 1/5.

Mini test

1. (kolay) 0,37 × 12 + 0,63 × 12 işleminin sonucu kaçtır?

A) 1,2 B) 12 C) 120 D) 6 E) 24

2. (kolay) (1 - 1/2)(1 - 1/3)(1 - 1/4)(1 - 1/5) çarpımının sonucu kaçtır?

A) 1/2 B) 4/5 C) 1/120 D) 1/5 E) 1/4

3. (orta) (0,2 + 0,04) ÷ 0,06 işleminin sonucu kaçtır?

A) 0,4 B) 40 C) 24 D) 6 E) 4

4. (orta) (1/2 + 1/3) ÷ (1/2 - 1/3) işleminin sonucu kaçtır?

A) 5 B) 1/5 C) 6 D) 5/6 E) 1

5. (sınav) (2/3 × 0,75 + 1/3 × 3/4) ÷ 0,15 işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 3/4 C) 5 D) 15/4 E) 1/5

Cevaplar

1. B — Ortak çarpan 12'dir: (0,37 + 0,63) × 12 = 12.
2. D — Kesirler 1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5'tir; ilk pay ile son payda kalır: 1/5. A yalnız ilk parantezdir.
3. E — Pay ve payda 100 ile çarpılır: 24 ÷ 6 = 4. B, yalnız payı 100 ile çarpıp paydayı 10 ile çarpmanın sonucudur.
4. A — Pay ve payda 6 ile çarpılır: (3 + 2) ÷ (3 - 2) = 5. D yalnız paydır.
5. C — 0,75 = 3/4'tür; parantez (2/3 + 1/3) × 3/4 = 3/4 olur. 3/4 ÷ 0,15 = 0,75 ÷ 0,15 = 5. B, son bölmeyi unutmanın sonucudur.

Özet kartı

• Hesaba başlamadan önce ifadedeki yapıyı ara; sınavdaki kesirli ifadeler sık sık bir yapı saklar.
• Tanıdık ondalıkları kesre çevir; aynı çarpanı taşıyan terimleri parantezle birleştir.
• İç içe paydalarda pay ve paydayı iç paydaların EKOK'uyla çarp.
• Paydaları ardışık iki sayının çarpımı olan toplamlarda 1/n - 1/(n + 1) yazılışıyla terimler birbirini götürür.
• Zincirleme çarpımlarda ilk pay ile son payda kalır.
• Kısa yoldan bulunan sonucu terim sayısı ve büyüklükle denetle.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Zincirleme çarpımlarda farklı kesirleri art arda çarptık. Aynı kesir art arda çarpılınca, örneğin 1/2 × 1/2 × 1/2, bu tekrarı kısaca (1/2)³ diye yazmak mümkündür. Ders 2.4.1, "Üslü sayıların mantığı", Ünite 2.4'ü açıyor ve tekrarlanan çarpmanın bu kısa yazılışını ele alıyor.