Sadeleştirme ve devirli ondalık sayılar

Kanca

Bir hesap makinesine 2 ÷ 3 yazıldığında ekranda 0,6666667 görünür. Son basamaktaki 7 gerçek değildir; ekran sığmadığı için makine yuvarlamıştır. Gerçek açılım 0,666… diye sonsuza kadar sürer ve hiçbir basamakta durmaz.

Böyle bir sayı yine de tam olarak yazılabilir: 2/3. Sınav bu ilişkiyi iki yönde sorar: bitmeyen bir ondalığı kesre çevirmek ve iç içe geçmiş kesirli ifadeleri tek bir kesre indirmek. İkisinin ortak noktası, karmaşık görünen bir yazılışı en sade biçimine getirmektir. Bu ders, devirli ondalık sayıları kesre çevirmeyi ve kat kat kesirli ifadeleri sadeleştirmeyi ele alıyor.

Büyük resim

2.3.2'de bir kesrin ondalık açılımının, en sade paydası yalnız 2 ve 5 çarpanlarından oluşuyorsa bittiğini gördük. Paydada başka bir asal varsa açılım bitmez, ama rastgele de sürmez: bir noktadan sonra aynı basamak grubu sonsuza kadar tekrarlanır. Bu tür açılımlara devirli ondalık sayı denir. Her devirli ondalık bir rasyonel sayıdır ve bir kesre çevrilebilir.

Sadeleştirme ise kesir kurallarının bir arada uygulanmasıdır. Payında ya da paydasında yine kesir bulunan ifadeler, en içten başlayarak tek tek kesirlere indirgenir. İki konu sınavda sık birleşir: devirli ondalıklar önce kesre çevrilir, sonra ifade sadeleştirilir.

Kavram çekirdeği

Devirli ondalığın yazılışı

Tekrar eden basamak grubuna devreden kısım denir ve bu grubun üstüne çizgi çekilerek yazılır. 1/3 = 0,333… sayısı 0,3̅ diye; 4/33 = 0,1212… sayısı 0,1̅2̅ diye yazılır. Devir her zaman virgülden hemen sonra başlamaz: 1/6 = 0,1666… sayısında 1 tekrar etmez, 6 tekrar eder ve sayı 0,16̅ diye yazılır.

Devrin nerede başladığını paydadan okumak

En sade kesrin paydası, açılımın biçimini önceden söyler. Paydada 2 ve 5 dışında bir asal varsa açılım devirlidir. Paydada 2 ya da 5 de bulunuyorsa devirden önce devretmeyen basamaklar gelir; bunların sayısı, paydadaki 2 ve 5 üslerinden büyük olanına eşittir. 1/6'da payda 2 × 3'tür ve bir basamak devretmez: 0,16̅. 1/12'de payda 2² × 3'tür ve iki basamak devretmez: 0,083̅. Paydada yalnız 3, 7, 11 gibi asallar varsa devir virgülden hemen sonra başlar: 1/7 = 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅.

Kesre çevirmenin nedeni

x = 0,3̅ olsun. Her iki yanı 10 ile çarpınca 10x = 3,3̅ olur. İkinci eşitlikten birinciyi çıkarınca sonsuz kuyruklar birbirini götürür: 9x = 3, yani x = 3/9 = 1/3.

Aynı fikir her devirli ondalıkta işler. Sayı, devreden kısmın uzunluğu kadar basamak kaydırılıp kendisinden çıkarılır; tekrar eden kuyruk yok olur ve geriye tam sayılarla bir eşitlik kalır.

Kesre çevirme kuralı

Bu çıkarma işlemi tek bir kurala dönüşür:

• Pay: Virgül yokmuş gibi bütün sayıdan, devretmeyen kısım çıkarılır.
• Payda: Devreden basamak sayısı kadar 9, ardından virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır.

Örnekler:

• 0,1̅2̅ = 12/99 = 4/33. İki basamak devreder; payda 99'dur.
• 0,16̅ = (16 - 1)/90 = 15/90 = 1/6. Bir basamak devreder (6), bir basamak devretmez (1); payda 90'dır.
• 1,2̅ = (12 - 1)/9 = 11/9. Tam kısım da sayının parçasıdır ve paydan çıkarılan kısma girer.
• 2,13̅ = (213 - 21)/90 = 192/90 = 32/15.

Kuralın en sık atlanan adımı paydaki çıkarmadır. 0,16̅'yı 16/90 diye yazan aday 8/45 bulur; bu sayı 1/6'dan farklıdır.

0,9̅ = 1

Kural, ilk bakışta şaşırtan bir sonuç verir: 0,9̅ = 9/9 = 1. Bu bir yaklaşım değil, eşitliktir. 1/3 = 0,3̅ ise üç katı alınınca 3/3 = 0,9̅ olur. Sınavda 0,9̅ ya da 1,9̅ gibi sayılar bu bilgiyi sınamak için konur: 1,9̅ = 2'dir.

Kat kat kesirleri sadeleştirmek

Payında ya da paydasında kesir bulunan ifadelerde önce pay ve payda ayrı ayrı tek bir kesre indirilir, sonra bölme yapılır:

(1 + 1/2) ÷ (1 - 1/4) = (3/2) ÷ (3/4) = 3/2 × 4/3 = 2.

Kesirlerin iç içe geçtiği "merdiven" ifadelerde en alttaki basamaktan yukarı doğru çıkılır:

1 + 1/(1 + 1/2) için önce 1 + 1/2 = 3/2 bulunur. Sonra 1/(3/2) = 2/3 olur. En son 1 + 2/3 = 5/3'tür.

Yukarıdan başlayan aday hangi kesrin neyi böldüğünü kaybeder. Merdivenin her basamağını ayrı bir satırda çözmek bu karışıklığı önler.

Paydaları aynı kesirlerin bölümü

Bazı ifadelerde paydaki ve paydadaki kesirler aynı paydaya iner ve hesap kısalır. (2/3 + 2/5) ÷ 4/15 ifadesinde pay 10/15 + 6/15 = 16/15'tir; 16/15 ÷ 4/15 = 16/4 = 4 olur. Paydaları aynı iki kesrin bölümü, paylarının bölümüdür. Bu kısayolu görmek, bölmeyi çarpmaya çevirme adımını atlatır.

Devirli sayılarla işlem

Devirli ondalıklarla işlem yapmanın güvenli yolu önce hepsini kesre çevirmektir. 0,3̅ + 0,6̅ = 1/3 + 2/3 = 1'dir. (0,3̅ + 0,5) ÷ 0,16̅ ifadesi (1/3 + 1/2) ÷ 1/6 = (5/6) ÷ (1/6) = 5 olur. Ondalık biçimde toplama yapmaya çalışan aday sonsuz basamaklarla uğraşır ve yuvarlama hatası yapar.

Görsel harita

Sadeleştirme sırası

1. Devirli ondalıkları kurala göre kesre çevir.
2. Kat kat kesirde pay ve paydayı ayrı ayrı tek kesre indir; merdivende en alttan başla.
3. Paydaları aynı iki kesrin bölümünde yalnız payları böl.
4. Sonucu sadeleştir ve büyüklüğünü kabaca denetle.

Sınav gözüyle

Devirli ondalık soruları çoğu zaman tek bir işlemle bitmez. Sınav birkaç devirli sayıyı bir kesirli ifadenin içine yerleştirir ve sonucu tam sayı çıkacak biçimde seçer. Bu yüzden devirli sayıları kesre çevirdikten sonra çıkan sonuç "temiz" değilse, çevirme adımlarından birinde hata yapılmış olabilir. Sade bir sonuç kesin kanıt değildir, ama kirli bir sonuç güçlü bir uyarıdır.

İkinci kalıp, devretmeyen basamak içeren sayılardır. 0,16̅ ile 0,1̅6̅ farklı sayılardır: biri 1/6, öbürü 16/99'dur. Seçenekler bu iki yazılışın sonuçlarını yan yana koyar; çizginin hangi basamakların üstünde olduğunu okumak cevabı belirler.

Hafıza kancaları

• "Devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0" — payda böyle kurulur.
• "Paydan devretmeyeni çıkar" — 0,16̅ = 15/90.
• "Kaydır ve çıkar" — 10x - x ile kuyruk yok olur.
• "0,9̅ bir tam" — yaklaşık değil, eşit.
• "Merdivende alttan başla" — 1 + 1/(1 + 1/2) = 5/3.

Mini test

1. (kolay) 0,4̅ sayısının kesir biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2/5 B) 4/9 C) 4/99 D) 9/4 E) 1/4

2. (kolay) 0,1̅5̅ sayısının en sade kesir biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3/20 B) 7/45 C) 3/11 D) 5/11 E) 5/33

3. (orta) 0,16̅ sayısının en sade kesir biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4/25 B) 8/45 C) 1/6 D) 16/99 E) 1/9

4. (orta) 1 + 1/(1 + 1/2) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 5/3 B) 3/2 C) 5/2 D) 4/3 E) 2

5. (sınav) (0,3̅ + 0,5) ÷ 0,16̅ işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 6 C) 25/6 D) 5 E) 3

Cevaplar

1. B — Bir basamak devreder, devretmeyen basamak yoktur: 4/9. A, sayıyı 0,4 sanmanın sonucudur.
2. E — İki basamak devreder: 15/99 = 5/33. B ise 0,15̅ sayısının, yani yalnız 5'in devrettiği sayının kesridir: 14/90 = 7/45.
3. C — (16 - 1)/90 = 15/90 = 1/6. B, paydaki çıkarmayı unutmanın; D, iki basamağı da devreden saymanın sonucudur.
4. A — Alttan başlanır: 1 + 1/2 = 3/2, 1/(3/2) = 2/3, 1 + 2/3 = 5/3.
5. D — 0,3̅ = 1/3 ve 0,16̅ = 1/6'dır. (1/3 + 1/2) ÷ 1/6 = (5/6) ÷ (1/6) = 5.

Özet kartı

• Devirli ondalıkta tekrar eden basamak grubunun üstüne çizgi çekilir; devir virgülden hemen sonra başlamayabilir.
• Kesre çevirmede pay, bütün sayıdan devretmeyen kısmın çıkarılmasıyla bulunur.
• Payda, devreden basamak sayısı kadar 9 ve devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0'dan oluşur.
• 0,9̅ = 1'dir; bu bir yaklaşım değil eşitliktir.
• Kat kat kesirlerde pay ve payda ayrı ayrı sadeleştirilir; merdiven ifadelerde en alttan yukarı çıkılır.
• Devirli sayılarla işlemde önce hepsi kesre çevrilir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu dersin son örneğinde üç farklı yazılış, devirli ondalık, sonlu ondalık ve kesir, tek bir ifadede buluştu ve sonuç tam sayı çıktı. Ünitenin son dersi, 2.3.5 "Kesirli ifadelerde hızlı çözüm", böyle ifadeleri uzun hesaba girmeden çözmenin yollarını bir Ustalık dersi olarak ele alıyor.