Sıralama ve karşılaştırma

Kanca

Bir okulda A şubesinin 25 öğrencisinden 18'i, B şubesinin 32 öğrencisinden 23'ü bir sınavı geçmiş. Hangi şubenin başarı oranı daha yüksek? B'de geçen öğrenci sayısı daha fazladır, ama soru sayıyı değil oranı soruyor: 18/25 mi büyük, 23/32 mi?

İki kesir birbirine çok yakındır: 18/25 = 0,72 ve 23/32 = 0,71875. Fark binde birin altındadır ve göz kararıyla seçilemez. Oysa tek bir çarpma bunu kesinleştirir: 18 × 32 = 576, 25 × 23 = 575. A şubesi kıl payı öndedir. Bu ders, kesirleri ve ondalık sayıları büyüklüklerine göre karşılaştırmanın ve sıralamanın yollarını ele alıyor.

Büyük resim

Rasyonel sayıları karşılaştırmanın tek bir doğru yolu yoktur; birkaç yol vardır ve her biri belli bir soru biçiminde en hızlısıdır. Paydalar ya da paylar ortaksa sonuç bir bakışta görülür. Değilse ya ortak payda kurulur, ya çapraz çarpılır, ya da sayılar ondalığa çevrilir. Kesirler 1'e çok yakınsa 1'e olan uzaklıklarına bakmak daha kısadır.

Sınavda zaman, yöntemin seçiminde kazanılır. Beş kesirli bir sıralama sorusunda her kesri ondalığa çevirmek uzun sürer; aynı soruda bir yapı fark edilirse, örneğin bütün kesirlerin 1'den yalnız bir parça eksik olması, sıralama tek satırda biter. Bu ders yöntemleri bu "hangi durumda hangisi" sorusuyla birlikte sunuyor.

Kavram çekirdeği

Paydalar ya da paylar eşitse

Paydaları eşit pozitif kesirlerden payı büyük olan büyüktür: 5/9 > 4/9. Parçalar aynı büyüklükte olduğu için daha çok parça daha büyük miktardır.

Payları eşit pozitif kesirlerden paydası küçük olan büyüktür: 3/7 > 3/8. Bütün daha az parçaya bölündükçe her parça büyür; aynı sayıda büyük parça daha fazladır. Bu kural, paydası büyük olanın büyük sanıldığı yaygın hatanın tam tersidir.

Ortak payda ya da ortak pay

Paylar ve paydalar farklıysa biri eşitlenebilir. 2/3 ile 5/8 için ortak payda EKOK(3, 8) = 24'tür: 16/24 ve 15/24. Öyleyse 2/3 > 5/8'dir.

Bazen payları eşitlemek daha kolaydır. 4/9 ile 6/13 için ortak pay 12'dir: 12/27 ve 12/26. Paydası küçük olan büyük olduğu için 6/13 > 4/9'dur. Payları küçük, paydaları büyük kesirlerde bu yol hesabı kısaltır.

Çapraz çarpma

İki pozitif kesir a/b ve c/d için a × d ile b × c karşılaştırılır; büyük çıkan çarpımın payındaki kesir büyüktür. Kancadaki yolla, 5/8 ile 7/11 için 5 × 11 = 55 ve 8 × 7 = 56'dır; 7/11 daha büyüktür.

Bu yöntem, ortak payda kurmanın kısaltılmış biçimidir: iki kesir de b × d paydasına genişletilince paylar tam olarak a × d ve b × c olur. Yalnız iki kesri karşılaştırır; beş kesirlik bir sıralamada her çifti ayrı ayrı çarpmak uzun sürer.

Ondalığa çevirmek

Kesirlerle ondalıklar karışık verildiğinde hepsini ondalığa çevirmek çoğu zaman en düz yoldur. a = 3/4, b = 0,7, c = 5/7 için a = 0,75 ve c ≈ 0,714'tür. Sıralama b < c < a olur.

Ondalık sayılar karşılaştırılırken önce tam kısımlara, sonra soldan sağa basamak basamak bakılır. Basamak sayıları sıfırla eşitlenince karşılaştırma görünür olur: 0,5 = 0,50 ve 0,50 > 0,45'tir. Daha çok basamağı olan sayının daha büyük olduğunu sanmak, bu konunun en sık hatasıdır: 0,405, 0,45'ten küçüktür.

1'e ya da 1/2'ye göre karşılaştırmak

7/8 ile 9/10 gibi 1'e yakın kesirlerde 1'den eksik kalan kısma bakılır: 7/8'in 1/8'i, 9/10'un 1/10'u eksiktir. 1/10 daha küçük eksik olduğu için 9/10 daha büyüktür. Bu yolla 7/8, 9/10, 11/12, 5/6 ve 13/15 gibi bir dizide en büyük, eksiği en küçük olan 11/12'dir.

Benzer bir yapı genel olarak da görülür. Payı paydasından 1 eksik olan kesirler büyüdükçe 1'e yaklaşır: 2/3 < 3/4 < 4/5. Payı paydasından 1 fazla olan bileşik kesirler ise büyüdükçe 1'e yukarıdan yaklaşır, yani küçülür: 3/2 > 4/3 > 5/4.

Bir kesrin 1/2'den büyük mü küçük mü olduğu da hızlı bir ayırıcıdır: payın iki katı paydadan büyükse kesir 1/2'den büyüktür. 5/9 için 10 > 9'dur; 4/9 için 8 < 9'dur.

Negatif sayılarda sıra

Negatif sayılarda sıra tersine döner: mutlak değeri büyük olan negatif sayı daha küçüktür. 2/3 < 3/4 < 5/6 olduğu için -5/6 < -3/4 < -2/3'tür. Negatif kesirleri sıralarken önce işaretsiz hâllerini sırala, sonra sırayı ters çevir.

İki kesir arasında bir sayı

İki kesrin arasında her zaman başka bir rasyonel sayı vardır. En kolay bulunanı iki kesrin ortalamasıdır: 1/3 ile 1/2 için (1/3 + 1/2) ÷ 2 = 5/12. Sınav bu bilgiyi "aşağıdakilerden hangisi 1/3 ile 1/2 arasındadır?" biçiminde sorar; seçenekleri ortak paydaya taşımak ya da ondalığa çevirmek cevabı verir.

Görsel harita

Sıralama sorusu çözüm sırası

1. Sayıların biçimine bak: hepsi kesir mi, karışık mı, negatif var mı?
2. Ortak bir yapı ara: aynı pay, aynı payda, 1'e eşit uzaklık.
3. Yapı yoksa iki sayı için çapraz çarp, çok sayı için ondalığa çevir.
4. Negatifler varsa sırayı en sonda ters çevir.
5. Seçenekte yazılan sıralamayı sayılarla bir kez daha eşleştir.

Sınav gözüyle

Sıralama soruları çoğu zaman harflerle verilir: "a = 3/4, b = 0,7, c = 5/7 olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?" Seçeneklerde aynı üç harfin farklı dizilişleri bulunur. Bu biçimde hata çoğu zaman hesapta değil, bulunan sıranın seçenekteki harflere aktarılmasında yapılır. Sayıları buldukça yanına harfini yazmak bu kaymayı önler.

İkinci tuzak, kesirlerin birbirine çok yakın seçilmesidir. 5/7 ile 0,7 arasındaki fark yaklaşık 0,014'tür; ondalığa yuvarlayarak çeviren aday bu farkı kaybedebilir. Yakın sayılarda çapraz çarpma ya da yeterince basamaklı ondalık kullanmak gerekir.

Hafıza kancaları

• "Pay eşitse küçük payda kazanır" — 3/7 > 3/8.
• "İki kesre çapraz çarp" — 55 < 56.
• "Karışıksa ondalığa çevir" — 0,7, 5/7, 3/4.
• "1'e yakınsa eksiğe bak" — eksik küçükse kesir büyük.
• "Eksi sırayı çevirir" — işaretsiz sırala, ters çevir.

Mini test

1. (kolay) Aşağıdaki kesirlerden hangisi en büyüktür?

A) 3/7 B) 3/4 C) 3/5 D) 3/10 E) 3/8

2. (kolay) Aşağıdaki sayılardan hangisi en küçüktür?

A) 0,45 B) 0,405 C) 0,5 D) 0,054 E) 0,54

3. (orta) a = 3/4, b = 0,7 ve c = 5/7 olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) b < c < a B) c < b < a C) a < b < c D) b < a < c E) c < a < b

4. (orta) Aşağıdaki kesirlerden hangisi en büyüktür?

A) 7/8 B) 9/10 C) 5/6 D) 13/15 E) 11/12

5. (sınav) x = -2/3, y = -3/4 ve z = -5/6 olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) x < y < z B) z < x < y C) z < y < x D) y < z < x E) x < z < y

Cevaplar

1. B — Paylar eşittir; paydası en küçük olan 3/4 en büyüktür.
2. D — Basamaklar eşitlenince 0,450, 0,405, 0,500, 0,054 ve 0,540 olur; en küçüğü 0,054'tür.
3. A — a = 0,75, c ≈ 0,714 ve b = 0,7'dir; b < c < a.
4. E — 1'den eksikler 1/8, 1/10, 1/6, 2/15 ve 1/12'dir; en küçük eksik 1/12'dir ve 11/12 en büyüktür.
5. C — İşaretsiz hâller 2/3 < 3/4 < 5/6 diye sıralanır; negatiflerde sıra döner: z < y < x. A, işareti unutup sırayı çevirmemenin sonucudur.

Özet kartı

• Paydalar eşitse payı büyük olan, paylar eşitse paydası küçük olan kesir büyüktür.
• İki pozitif kesir a/b ve c/d, a × d ile b × c karşılaştırılarak sıralanır.
• Kesir ve ondalıklar karışıksa hepsi ondalığa çevrilir; ondalıklar basamak basamak karşılaştırılır.
• 1'e yakın kesirlerde 1'den eksiği küçük olan kesir büyüktür.
• Negatif sayılarda sıra tersine döner.
• İki kesrin arasında her zaman bir rasyonel sayı vardır; ortalamaları bunlardan biridir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

c = 5/7 sayısını ondalığa çevirirken "yaklaşık 0,714" yazdık, çünkü bölme hiç bitmiyor ve basamaklar 714285 diye tekrar ediyor. Ders 2.3.4, "Sadeleştirme ve devirli ondalık sayılar", kesirli ifadeleri sadeleştirmeyi ve bitmeyen, tekrar eden ondalık açılımları kesre çevirmeyi ele alıyor.