Ondalık sayılar

Kanca

Bir terzi, 2,4 metrelik bir kumaştan 0,3 metrelik şeritler kesecek. Kaç şerit çıkar? Aceleyle bölen bir aday 2,4 ÷ 0,3 = 0,8 yazar. Bu sonuç, bir şeridin bile çıkmadığını söyler; oysa 0,3 metre, 2,4 metrenin içine açıkça birçok kez sığar. Doğru cevap 8 şerittir.

Hata, ondalık virgülün nerede durduğunu kaybetmekten doğar. Ondalık sayılarla işlemlerin hepsi tam sayı işlemleridir; fark yalnız virgülün yerini doğru izlemektedir. Bu ders ondalık yazılışı, kesir ile ondalık arasında geçişi ve dört işlemde virgülün kurallarını ele alıyor.

Büyük resim

Ondalık sayı, paydası 10, 100, 1.000 gibi 10'un kuvveti olan bir kesrin başka bir yazılışıdır. 0,75, 75/100 demektir; 2,5 ise 25/10. Virgülün solunda tam kısım, sağında ondalık kısım bulunur.

Bu ilişki iki yönlü çalışır. Bir kesir, paydası 10'un kuvvetine genişletilebiliyorsa ondalık biçime çevrilir; bir ondalık sayı da her zaman kesre çevrilebilir. Önceki dersin kesir kuralları ile 2.1.4'teki basamak kavramı burada birleşir: ondalık kısmın her basamağı, sağa doğru on kat küçülen bir değer taşır.

Kavram çekirdeği

Ondalık basamaklar

Virgülün hemen sağındaki basamak onda birler, sonraki yüzde birler, sonraki binde birler basamağıdır. 3,457 sayısında 4 onda birler basamağındadır ve 4/10 değerini taşır; 5, 5/100; 7, 7/1.000 değerini taşır. Sayı çözümlenince 3 + 4/10 + 5/100 + 7/1.000 olur.

Ondalık kısmın sonuna eklenen sıfır değeri değiştirmez: 0,5 = 0,50 = 0,500. Bu, toplama ve çıkarmada basamak sayılarını eşitlemek için kullanılır. Virgülle sayı arasına giren sıfır ise değeri değiştirir: 0,5 ile 0,05 on kat farklıdır.

Kesirden ondalığa

Bir kesri ondalığa çevirmenin en hızlı yolu, paydasını 10'un bir kuvvetine genişletmektir. 3/4 için payda 25 ile çarpılır: 75/100 = 0,75. 7/20 için 5 ile çarpılır: 35/100 = 0,35. 3/8 için 125 ile çarpılır: 375/1.000 = 0,375.

Bu genişletme ancak paydanın asal çarpanları yalnız 2 ve 5 ise mümkündür, çünkü 10 = 2 × 5'tir. 2.2.3'teki asal çarpanlara ayırma burada bir ölçüt verir: en sade hâlindeki kesrin paydasında 2 ve 5 dışında bir asal varsa ondalık açılım sona ermez. 1/3 bunun örneğidir; bu tür açılımlar ünitenin ilerleyen bir dersinde ele alınıyor. Genişletme mümkün değilse kesir, payın paydaya bölünmesiyle de ondalığa çevrilir.

Ondalıktan kesre

Ondalık sayının virgülü kaldırılır, paya yazılır; paydaya 1 ve virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır yazılır. Sonra kesir sadeleştirilir. 0,36 = 36/100'dür ve EBOB(36, 100) = 4 ile 9/25 olur. 2,5 = 25/10 = 5/2'dir.

Toplama ve çıkarma

Ondalık sayılar toplanırken ya da çıkarılırken virgüller alt alta getirilir; böylece aynı değerdeki basamaklar alt alta gelir. Eksik basamaklar sıfırla tamamlanır.

4,7 + 0,35 için 4,70 + 0,35 = 5,05'tir. 6 - 2,45 için 6,00 - 2,45 = 3,55'tir. Sıfırla tamamlamayı atlayan aday 4,7 ile 0,35'i sağdan hizalar ve 0,82 bulur; bu, 4,7'den bile küçüktür.

Çarpma

Ondalık sayılar virgül yokmuş gibi çarpılır. Sonra çarpanların virgülden sonraki basamak sayıları toplanır ve sonuçta sağdan o kadar basamak ayrılır.

0,3 × 0,04 için 3 × 4 = 12'dir. Çarpanlarda virgülden sonra 1 + 2 = 3 basamak vardır; sonuç 0,012'dir. Sık yapılan hata 0,12 yazmaktır. Büyüklük denetimi bunu yakalar: 0,04'ün yaklaşık üçte biri 0,04'ten küçük olmalıdır ve 0,12 değildir.

Bölme

Bölmede önce bölen tam sayıya çevrilir. Bunun için bölünen ve bölen aynı 10'un kuvvetiyle çarpılır; bölüm değişmez, çünkü bu bir kesrin genişletilmesidir.

2,4 ÷ 0,3 için ikisi de 10 ile çarpılır: 24 ÷ 3 = 8. Kancadaki terzinin 8 şeridi buradan gelir. 1,44 ÷ 0,12 için ikisi de 100 ile çarpılır: 144 ÷ 12 = 12. 0,6 ÷ 0,03 için yine 100 ile: 60 ÷ 3 = 20.

1'den küçük bir sayıya bölmek sonucu büyütür. 2,4'ü 0,3'e bölünce sonuç 2,4'ten büyük çıkmalıdır. 0,8 bu denetimden geçemez.

10'un kuvvetleriyle çarpma ve bölme

10, 100, 1.000 ile çarpmak virgülü sıfır sayısı kadar sağa, bölmek sola kaydırır. 3,7 × 100 = 370'tir; 45 ÷ 1.000 = 0,045'tir. Bu kaydırma, bölmede böleni tam sayıya çevirmenin de mantığıdır.

Karma ifadeler

İşlem önceliği ondalık sayılarda da geçerlidir. (0,25 × 0,8 + 0,3) ÷ 0,05 ifadesinde parantez içinde önce çarpma yapılır: 0,25 × 0,8 = 0,2. Sonra 0,2 + 0,3 = 0,5. En son 0,5 ÷ 0,05 = 50 ÷ 5 = 10.

Bazı ifadelerde ondalık sayıları kesre çevirmek daha hızlıdır. 0,25 = 1/4 ve 0,8 = 4/5 bilindiğinde 0,25 × 0,8 = 1/5 = 0,2 sonucu bir bakışta görülür. Sık geçen eşlikleri tanımak işe yarar: 0,5 = 1/2, 0,25 = 1/4, 0,75 = 3/4, 0,2 = 1/5, 0,125 = 1/8.

Görsel harita

Ondalıklı işlem sırası

1. İşlem önceliğini belirle.
2. Toplama-çıkarmada virgülleri hizala; çarpmada basamakları say; bölmede böleni tam sayıya çevir.
3. İfadede 0,25, 0,5, 0,2 gibi tanıdık ondalıklar varsa kesre çevirmeyi düşün.
4. Sonucu büyüklük denetiminden geçir: 1'den küçük sayıyla çarpım küçülür, bölüm büyür.

Sınav gözüyle

Ondalık işlemlerde ÖSYM'nin seçenekleri çoğu zaman aynı rakamlardan oluşur ve yalnız virgülün yerinde ayrışır: 0,012, 0,12, 1,2, 12. Bu yüzden rakamları doğru bulmak yetmez; virgülün yerini kuralla ve büyüklük denetimiyle ayrı ayrı doğrulamak gerekir. Seçenekler bu biçimde dizildiğinde aday çoğu zaman sonucun büyüklüğünü kabaca kestirerek yanlış seçenekleri bir anda eleyebilir.

Karma ifadelerde ikinci tuzak işlem önceliğidir. Parantez içindeki çarpmayı atlayıp toplamayı önce yapan aday farklı ve "temiz görünen" bir sonuca varır. Ondalıkları kesre çevirip hesaplamak, hem önceliği görünür kılar hem de virgül hatasını ortadan kaldırır.

Hafıza kancaları

• "Toplamada virgül hizada" — sıfırla tamamla.
• "Çarpmada basamak say" — 1 + 2 = 3 basamak, 0,012.
• "Bölmede böleni kurtar" — ikisini de aynı 10'un kuvvetiyle çarp.
• "Payda 2 ve 5'ten oluşuyorsa açılım biter" — 3/8 biter, 1/3 bitmez.
• "Küçüğe bölmek büyütür" — 2,4 ÷ 0,3 = 8.

Mini test

1. (kolay) 4,7 + 0,35 işleminin sonucu kaçtır?

A) 4,82 B) 0,82 C) 5,5 D) 5,05 E) 8,2

2. (kolay) 0,3 × 0,04 işleminin sonucu kaçtır?

A) 0,12 B) 0,012 C) 1,2 D) 0,0012 E) 12

3. (orta) 1,44 ÷ 0,12 işleminin sonucu kaçtır?

A) 1,2 B) 0,12 C) 120 D) 0,012 E) 12

4. (orta) 0,36 sayısının en sade kesir biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 9/25 B) 36/10 C) 18/25 D) 3/5 E) 9/250

5. (sınav) (0,25 × 0,8 + 0,3) ÷ 0,05 işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 B) 100 C) 10 D) 5,5 E) 0,1

Cevaplar

1. D — 4,70 + 0,35 = 5,05. B, sayıları sağdan hizalamanın sonucudur.
2. B — 3 × 4 = 12; virgülden sonra 1 + 2 = 3 basamak ayrılır: 0,012.
3. E — İkisi de 100 ile çarpılır: 144 ÷ 12 = 12. A, böleni 10 ile çarpıp bölüneni olduğu gibi bırakmanın sonucudur: 1,44 ÷ 1,2 = 1,2.
4. A — 0,36 = 36/100; EBOB(36, 100) = 4 ile 9/25 olur. B, paydaya bir sıfır eksik yazmanın; D ise 0,36'nın karekökü olan 0,6'nın kesridir.
5. C — Parantez içinde önce çarpma: 0,25 × 0,8 = 0,2; sonra 0,2 + 0,3 = 0,5; en son 0,5 ÷ 0,05 = 10. D, parantez içinde toplamayı önce yapmanın sonucudur.

Özet kartı

• Ondalık sayı, paydası 10'un kuvveti olan bir kesrin yazılışıdır; virgülün sağı onda birler, yüzde birler, binde birler diye ilerler.
• En sade kesrin paydasında yalnız 2 ve 5 varsa ondalık açılım biter; paydayı 10'un kuvvetine genişletmek çeviriyi verir.
• Ondalıktan kesre geçerken virgül kaldırılır, paydaya 10'un kuvveti yazılır ve sadeleştirilir.
• Toplama-çıkarmada virgüller hizalanır; çarpmada basamak sayıları toplanır; bölmede bölen tam sayıya çevrilir.
• 1'den küçük bir sayıyla çarpmak küçültür, ona bölmek büyütür; bu denetim virgül hatasını yakalar.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

0,375 ile 3/8 aynı sayıdır, ama biri ondalık, öbürü kesir olarak yazılmıştır. Seçeneklerde kesirler ve ondalıklar karışık verildiğinde hangisinin büyük olduğunu nasıl anlarız? Ders 2.3.3, "Sıralama ve karşılaştırma", rasyonel sayıları büyüklüklerine göre sıralamanın yollarını ele alıyor.