Kesirler ve kesirlerle işlemler

Kanca

Bir aday, sınavda 3/4 + 5/6 işlemini hızla yapıyor: payları topluyor, paydaları topluyor ve 8/10 buluyor. Sonuç ilk bakışta makul görünüyor. Oysa 5/6 tek başına 8/10'dan büyüktür; ona pozitif bir sayı eklenince sonuç küçülemez. Bu basit karşılaştırma, işlemin yanlış olduğunu hesap yapmadan gösterir.

Doğru sonuç 19/12'dir, yani 1'den büyüktür. Kesirlerle işlemlerin her birinin kendi kuralı vardır ve kurallar birbirine benzemez: toplamada paydalar eşitlenir, çarpmada eşitlenmez, bölmede ikinci kesir ters çevrilir. Bu ders, kesrin ne anlattığını ve dört işlemin her birinin neden öyle yapıldığını ele alıyor.

Büyük resim

Kesir, bir bütünün eşit parçalarından kaçının alındığını gösterir. a/b kesrinde b, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü; a, bu parçalardan kaçının alındığını söyler. b'ye payda, a'ya pay denir. Payda sıfır olamaz, çünkü bir bütün sıfır parçaya bölünemez.

Pay ve paydası tam sayı olan, paydası sıfır olmayan sayılara rasyonel sayı denir. Bu ünite rasyonel sayıları iki yüzüyle ele alıyor: kesir biçimi ve ondalık biçim. Bu ders kesir biçimini ve dört işlemi kuruyor. Önceki ünitenin iki aracı burada sürekli iş başındadır: sadeleştirmede EBOB, payda eşitlemede EKOK.

Kavram çekirdeği

Kesir türleri

Payı paydasından küçük olan kesre basit kesir denir: 3/4. Payı paydasına eşit ya da paydasından büyük olan kesre bileşik kesir denir: 7/3. Bileşik kesir, bir tam sayı ile bir basit kesrin toplamı olarak da yazılabilir; bu yazılışa tam sayılı kesir denir: 7/3 = 2 1/3.

İki biçim arasında geçiş bölme eşitliğiyle yapılır. 7'yi 3'e bölünce bölüm 2, kalan 1'dir; bölüm tam kısmı, kalan payı verir. Tersine, 2 1/3'ü bileşik kesre çevirmek için tam kısım paydayla çarpılır ve paya eklenir: 2 × 3 + 1 = 7, yani 7/3. İşlem yaparken tam sayılı kesirleri önce bileşik kesre çevirmek hataları azaltır.

Genişletme ve sadeleştirme

Bir kesrin payı ve paydası aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpılırsa kesrin değeri değişmez: 3/4 = 6/8 = 9/12. Buna genişletme denir. Pay ve payda aynı sayıya bölünürse buna da sadeleştirme denir.

Bir kesri tek adımda en sade biçimine getirmek için pay ve payda EBOB'larına bölünür. 18/24 için EBOB(18, 24) = 6'dır ve 18/24 = 3/4 olur. Pay ile paydası aralarında asal olan kesir artık sadeleşmez.

Toplama ve çıkarma

Kesirler ancak paydaları aynıysa toplanır ya da çıkarılır: aynı büyüklükteki parçalar sayılabilir. Paydalar farklıysa önce eşitlenir. En küçük ortak payda, paydaların EKOK'udur.

3/4 + 5/6 için EKOK(4, 6) = 12'dir. 3/4, 3 ile genişletilip 9/12; 5/6, 2 ile genişletilip 10/12 olur. Toplam 19/12'dir, yani 1 7/12. Çıkarma da aynı yolla yapılır: 5/6 - 3/8 için ortak payda 24'tür; 20/24 - 9/24 = 11/24.

Paydaları toplamak bu yüzden yanlıştır: dörtte birlik ve altıda birlik parçalar farklı büyüklüktedir; onları "onda birlik" parçalar gibi saymak anlamsızdır.

Çarpma

İki kesir çarpılırken paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. Payda eşitlemeye gerek yoktur. 2/3 × 4/5 = 8/15'tir.

Çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapmak hesabı küçültür. 4/9 × 15/8 işleminde 4 ile 8, 4'e; 15 ile 9, 3'e bölünür: 1/3 × 5/2 = 5/6. Sonuç, önce çarpıp sonra sadeleştirmekle aynıdır, ama sayılar hiç büyümez.

"Bir sayının kesri" çarpma demektir. 24'ün 3/8'i, 24 × 3/8 = 9'dur.

Bölme

Bir kesre bölmek, o kesrin tersiyle çarpmaktır. a/b kesrinin tersi b/a'dır. 3/5 ÷ 9/10 = 3/5 × 10/9 = 2/3'tür.

Bu kural, bölmenin anlamından gelir: "3/5'in içinde kaç tane 9/10 var?" sorusunu sorar. 9/10, 3/5'ten büyük olduğu için cevap 1'den küçük çıkmalıdır; 2/3 bununla tutarlıdır. Tersini alırken yalnız ikinci kesir çevrilir; birinciyi çevirmek sık yapılan bir hatadır.

Bölme aynı zamanda "parçası verilen bütünü bulma" sorularının aracıdır. Bir sayının 3/5'i 24 ise sayı 24 ÷ 3/5 = 40'tır.

İşlem önceliği

2.1.2'deki öncelik sırası kesirlerde de geçerlidir: parantez, çarpma-bölme, toplama-çıkarma. 1/2 + 1/3 × 3/4 işleminde önce çarpma yapılır: 1/3 × 3/4 = 1/4. Sonra toplama: 1/2 + 1/4 = 3/4. Soldan sağa giden aday (1/2 + 1/3) × 3/4 = 5/8 bulur ve bu sonuç seçeneklerde bekler.

"Kalanın" ile "tamamının" ayrımı

Kesir problemlerinin en sık tuzağı, kesrin neyin kesri olduğudur. "Harçlığının 1/4'ünü kitaba, kalanının 2/3'ünü yemeğe harcadı" cümlesinde 2/3, bütün harçlığın değil, kitaptan sonra kalan 3/4'ün kesridir. Yemeğe harcanan 3/4 × 2/3 = 1/2'dir; geriye 3/4'ün 1/3'ü, yani 1/4 kalır. Geriye 90 TL kaldıysa harçlık 90 ÷ 1/4 = 360 TL'dir.

Kesirleri toplayıp 1/4 + 2/3 = 11/12 diyen aday geriye 1/12 kaldığını sanır ve harçlığı 1.080 TL bulur.

Görsel harita

Kesirli işlem sırası

1. Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevir.
2. İşlem önceliğini belirle: parantez, çarpma-bölme, toplama-çıkarma.
3. Çarpma ve bölmede önce sadeleştir; toplama ve çıkarmada paydaları eşitle.
4. Sonucu en sade biçime getir ve büyüklüğünü sağduyuyla denetle.

Sınav gözüyle

Kesir işlemleri sınavda tek başına seyrek sorulur; çoğu zaman bir problemin içindeki adımdır. Bu yüzden asıl yanılgılar işlem kuralından çok okumadan gelir: neyin kesri, hangi işlem önce. Kalan sorularında her kesrin altına neyin kesri olduğunu not etmek, işi tek tek kesirlere ayırır.

İkinci denetim büyüklük denetimidir. 1'den küçük bir kesirle çarpmak sayıyı küçültür, 1'den küçük bir kesre bölmek büyütür. Sonuç bu yönde değilse işlemde bir kural ters uygulanmıştır. Kancadaki 8/10 da bu denetimle yakalanır.

Hafıza kancaları

• "Toplarken eşitle, çarparken eşitleme" — payda yalnız toplamada ve çıkarmada eşitlenir.
• "Bölmede ikinciyi çevir" — 3/5 ÷ 9/10 = 3/5 × 10/9.
• "Sadeleştirme EBOB, payda EKOK" — önceki ünitenin iki aracı.
• "Kalanın kesri, kalanla çarpılır" — 3/4 × 2/3.
• "Büyüklüğü denetle" — 5/6'ya ekleyince sonuç küçülmez.

Mini test

1. (kolay) 2/3 + 3/4 işleminin sonucu kaçtır?

A) 5/7 B) 5/12 C) 17/12 D) 6/7 E) 1/12

2. (kolay) 3/5 ÷ 9/10 işleminin sonucu kaçtır?

A) 27/50 B) 3/2 C) 1/3 D) 6/5 E) 2/3

3. (orta) 1/2 + 1/3 × 3/4 işleminin sonucu kaçtır?

A) 3/4 B) 5/8 C) 1/4 D) 7/8 E) 5/6

4. (orta) Bir sayının 3/5'i 24'tür. Bu sayının 5/8'i kaçtır?

A) 15 B) 40 C) 24 D) 25 E) 30

5. (sınav) Bir öğrenci harçlığının 1/4'ünü kitaba, kalan paranın 2/3'ünü yemeğe harcamış ve geriye 90 TL kalmıştır. Öğrencinin harçlığı kaç TL'dir?

A) 270 B) 360 C) 540 D) 120 E) 1.080

Cevaplar

1. C — EKOK(3, 4) = 12; 8/12 + 9/12 = 17/12. A, payları ve paydaları toplamanın sonucudur.
2. E — 3/5 × 10/9 = 30/45 = 2/3. A, ters çevirmeden çarpmanın; B, birinci kesri ters çevirmenin sonucudur.
3. A — Önce çarpma: 1/3 × 3/4 = 1/4; sonra 1/2 + 1/4 = 3/4. B, soldan sağa işlem yapmanın sonucudur.
4. D — Sayı 24 ÷ 3/5 = 40'tır; 40'ın 5/8'i 25'tir. B ara sonuçtur.
5. B — Kitaptan sonra 3/4 kalır; yemeğe 3/4 × 2/3 = 1/2 gider ve geriye 1/4 kalır. 90 ÷ 1/4 = 360 TL. E, iki kesri doğrudan toplamanın sonucudur.

Özet kartı

• a/b kesrinde b bütünün eşit parça sayısı, a alınan parça sayısıdır; payda sıfır olamaz.
• Bileşik kesir ile tam sayılı kesir arasında geçiş bölme eşitliğiyle yapılır: 7/3 = 2 1/3.
• Sadeleştirmede pay ve payda EBOB'a bölünür; toplama ve çıkarmada paydalar EKOK'ta eşitlenir.
• Çarpmada pay pay ile, payda payda ile çarpılır; bölmede ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
• İşlem önceliği kesirlerde de geçerlidir: parantez, çarpma-bölme, toplama-çıkarma.
• "Kalanının" denen kesir, kalan parçayla çarpılır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

3/4 kesri, paydası 100 olacak biçimde genişletilince 75/100 olur ve bu sayı 0,75 diye de yazılabilir. Ders 2.3.2, "Ondalık sayılar", rasyonel sayıların bu ikinci yazılışını, ondalık sayılarla dört işlemi ve kesir ile ondalık biçim arasında geçişi ele alıyor.