Kalan ve bölünebilme karma soruları

Kanca

"Bir A sayısının 12 ile bölümünden kalan 7'dir. A'nın 4 ile bölümünden kalan kaçtır?" Bu soru üç saniyede çözülür: kalan 3'tür. Aynı soruda 4 yerine 8 yazsaydı cevap verilemezdi. A, 7 olabilir, 19 olabilir; birinin 8 ile bölümünden 7, öbürününkinden 3 kalır.

İki sorunun farkı, ünitenin araçlarından birini, bölme eşitliğini, doğru okumaktadır. A = 12k + 7 yazılınca 12k'nın 4'e her zaman tam bölündüğü, 8'e ise bölünmeyebildiği görülür. Bu Ustalık dersi, ünitenin beş aracını birden isteyebilen soruları ele alıyor ve her koşulu doğru araca çevirerek çözmeyi öğretiyor.

Büyük resim

Ünitenin beş dersi beş araç verdi: bölme eşitliği ve kalan, bölünebilme kuralları, asal çarpanlar ve bölen sayısı, EBOB-EKOK, EBOB-EKOK problemleri. Karma sorularda bu araçlar tek tek değil, zincir hâlinde çalışır. Bir koşul kalanı verir, öbürü bir basamağı sınırlar, bir üçüncüsü EKOK'u devreye sokar.

Bu soruların ortak yolu, her sözel koşulu bir denkleme ya da bir kurala çevirmektir. "Kalanı 3'tür" bir bölme eşitliğine, "9'a tam bölünür" bir rakam toplamı koşuluna, "her bölmede aynı fark" bir EKOK ifadesine dönüşür. Koşullar bu biçime girdikten sonra soru, en kısıtlayıcı koşuldan başlanarak adım adım daraltılır. 2.1.6'da sayı özellikleri için kurduğumuz koşul listesi burada bölme araçlarıyla çalışır.

Kavram çekirdeği

Koşulu araca çevir

Karma soruyu okurken her koşulun karşısına aracını yaz:

• "... ile bölümünden kalan K'dir" → A = Bk + K, 0 ≤ K < B.
• "... ile tam bölünür" → bölünebilme kuralı ya da A = Bk.
• "asaldır", "bölen sayısı" → asal çarpanlara ayırma.
• "her bölmede aynı kalan" ya da "bölenden hep aynı eksik" → EKOK × k + kalan ya da EKOK × k - fark.

Bu çeviri, sorunun kaç adımlık olduğunu da gösterir. Dört koşullu bir soru dört satırlık bir listedir; her satır bir eleme yapar.

Kalanı başka bir bölene taşımak

A = 12k + 7 ise A'nın 4 ile bölümünden kalanı bulmak için 12k'ya bakılır. 12, 4'ün katı olduğu için 12k her zaman 4'e bölünür; kalanı yalnız 7 belirler ve 7'nin 4 ile bölümünden kalan 3'tür.

Bu taşıma, yeni bölen eski bölenin böleni olduğunda çalışır. 8, 12'nin böleni değildir; 12k'nın 8 ile bölümünden kalan k'ye göre değişir. Böyle bir soruda "kesinlikle" denemez. Karma sorular bu farkı seçeneklerde sınar: biri belirlenebilen, öbürü belirlenemeyen iki kalan yan yana konur.

Kalanlarla işlem yapmak

2.2.1'de gördüğümüz gibi kalanlar toplamada ve çarpmada sayıların yerine geçer. A'nın 9 ile bölümünden kalan 5 ise 2A + 3'ün kalanı, 2 × 5 + 3 = 13'ün kalanıdır: 4. İki farklı sayı da aynı bölenle verilmişse çarpımın kalanı, kalanların çarpımının kalanıdır.

Bölenler farklıysa önce ortak bir bölene inilir. x'in 15 ile bölümünden kalan 11, y'ninki 8 ise ikisinin 5 ile bölümünden kalanlar 1 ve 3'tür; x × y'nin 5 ile bölümünden kalan 1 × 3 = 3'tür. 5, 15'in böleni olduğu için bu iniş güvenlidir.

Bölünebilmeyi kalanla birleştirmek

Basamak soruları kalan koşulu da taşıyabilir. "Üç basamaklı 5a4 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2'dir" denirse kalan rakam toplamından okunur. 5 + a + 4 = 9 + a'nın 3 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır; 9 zaten 3'e bölündüğü için a'nın kalanı 2'dir. a, 2, 5 ya da 8 olabilir.

İki koşullu basamak sorularında 2.2.2'deki sıra korunur: önce son basamağı belirleyen koşul uygulanır, sonra rakam toplamı koşulu. Her durum ayrı ayrı çözülür ve sonuçlar sorunun istediği ölçüte göre karşılaştırılır.

Asallıkla kalanı birleştirmek

3'ten büyük her asal sayının 6 ile bölümünden kalan 1 ya da 5'tir. Nedeni bölme eşitliğindedir. Kalan 0, 2 ya da 4 olsaydı sayı çift olurdu; 3 olsaydı 3'e bölünürdü. İki durumda da sayı 3'ten büyük bir asal olamazdı.

Bu bilgi "kesinlikle" sorularında güçlü bir araçtır. p, 3'ten büyük bir asalsa p² sayısının 6 ile bölümünden kalan her zaman 1'dir: kalan 1 ise 1² = 1, kalan 5 ise 5² = 25 ve 25'in 6 ile bölümünden kalan 1'dir. Değeri bilinmeyen bir asal hakkında kesin bir şey söylemek, onun kalanlarını izleyerek mümkün olur.

Kalan koşulu ile tam bölünmeyi birleştirmek

"6'ya bölündüğünde 4 kalanını veren ve 7'ye tam bölünen en küçük pozitif sayı" aranıyorsa iki koşulun ortak çözümü sayılarak bulunur. 7'nin katları sırayla denenir: 7, 14, 21 ve 28. 28'in 6 ile bölümünden kalan 4'tür. Sonraki çözüm EKOK(6, 7) = 42 eklenerek gelir: 70. Bu düzen, çözümlerin EKOK aralıklarla tekrarladığını gösterir.

Bir örnek

Soru: Dört basamaklı 4a7b sayısının 5 ile bölümünden kalan 3'tür ve sayı 9'a tam bölünmektedir. a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Koşul listesi: a ve b rakamdır; son basamak 5 ile bölümden 3 kalanını verir, yani b, 3 ya da 8'dir; rakam toplamı 9'un katıdır. b = 3 için 14 + a, 9'un katı olmalıdır ve a = 4'tür; a + b = 7. b = 8 için 19 + a, 9'un katı olmalıdır ve a = 8'dir; a + b = 16.

A) 7. Koşulları sağlayan bir çözümdür, ama yalnız b = 3 durumunu inceleyen adayın sonucudur; en büyük değil.

B) 16. a = 8, b = 8 ile 4.878 sayısı oluşur. 5 ile bölümünden kalan 3'tür, rakam toplamı 27'dir ve sayı 9'a bölünür. Bütün koşulları sağlar.

C) 17. b, 3 ya da 8 olabildiği için bu toplam yalnız a = 9, b = 8 ile elde edilir. Rakam toplamı 4 + 9 + 7 + 8 = 28'dir ve 9'un katı değildir.

D) 13. b = 8 iken a = 5, b = 3 iken a = 10 gerekir. İlkinde rakam toplamı 24'tür ve 9'un katı değildir; ikincisinde a rakam değildir.

E) 18. a ya da b'nin 10 ya da daha büyük olmasını gerektirir; rakam koşulunu bozar.

Aranan seçenek B. A bir durumu atlamaktan, C ve D rakam toplamı koşulunu denetlememekten, E örtük rakam koşulunu unutmaktan doğar.

Görsel harita

Karma soru çözüm sırası

1. Her koşulu bir satıra yaz ve karşısına aracını koy; örtük koşulları (rakam aralığı, pozitiflik) da ekle.
2. Kalanı başka bir bölene taşıyorsan yeni bölenin eski bölenin böleni olup olmadığını denetle.
3. En kısıtlayıcı koşuldan başla: son basamak, sonra rakam toplamı, sonra büyüklük ölçütü.
4. Her durumu ayrı çöz; "en büyük" ya da "en küçük" isteniyorsa durumları karşılaştır.
5. Sonucu koşul listesindeki her satıra karşı bir kez denetle.

Sınav gözüyle

Karma bölme sorularında çeldiriciler rastgele değildir; her biri bir koşulun atlanmasıyla kurulur. Bu yüzden bir seçeneğin neden yanlış olduğunu bulmak, çoğu zaman doğru seçeneği bulmaktan kolaydır. Süre darlığında seçenekleri koşul listesine karşı tek tek sınamak, çözümü baştan kurmaktan hızlı olabilir.

"Kesinlikle" sözcüğü bu ünitede çoğunlukla kalanı başka bir bölene taşıyan sorularda çıkar. Böyle bir soruda iki örnek sayı denemek, 2.1.6'daki gibi, en güvenli denetimdir: A = 7 ve A = 19, 12'ye göre aynı kalanı verir ama 8'e göre farklı kalanlar verir.

Hafıza kancaları

• "Her koşul bir satır, her satır bir araç" — kalan, kural, çarpan, EKOK.
• "Kalan yalnız aşağı iner" — 12'den 4'e taşınır, 8'e taşınmaz.
• "Kalan sayının yerine geçer" — toplama ve çarpmada.
• "Büyük asal 6'da 1 ya da 5" — 2 ve 3 hariç.
• "Çözümler EKOK arayla tekrarlar" — 28, 70, 112.

Mini test

1. (kolay) A doğal sayısının 12 ile bölümünden kalan 7'dir. A'nın 4 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 7 D) 0 E) 2

2. (kolay) A doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 5'tir. 2A + 3 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 8 C) 13 D) 4 E) 5

3. (orta) Üç basamaklı 5a4 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2'dir. a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A) 9 B) 13 C) 12 D) 18 E) 15

4. (orta) 6 ile bölündüğünde 4 kalanını veren ve 7'ye tam bölünen en küçük pozitif tam sayı kaçtır?

A) 28 B) 70 C) 22 D) 34 E) 42

5. (sınav) Bir n doğal sayısı 4'e, 6'ya ve 10'a bölündüğünde sırasıyla 1, 3 ve 7 kalanlarını vermektedir. n'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 63 B) 60 C) 57 D) 117 E) 53

Cevaplar

1. B — A = 12k + 7; 12k, 4'e tam bölünür ve 7'nin 4 ile bölümünden kalan 3'tür.
2. D — Kalan sayının yerine geçer: 2 × 5 + 3 = 13 ve 13'ün 9 ile bölümünden kalan 4'tür.
3. E — 9 + a'nın 3 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır; a, 2, 5 ya da 8'dir ve toplamları 15'tir.
4. A — 7'nin katları sırayla denenir; 28'in 6 ile bölümünden kalan 4'tür. B de koşulları sağlar ama 28'den büyüktür; E 6'ya tam bölünür.
5. C — Her kalan bölenden 3 eksiktir; n + 3, EKOK(4, 6, 10) = 60'ın katıdır ve en küçük n 57'dir. D koşulları sağlayan sonraki sayıdır, B ve A kalan koşulunu bozar.

Özet kartı

• Karma soruda her koşulu bir araca çevir: bölme eşitliği, bölünebilme kuralı, asal çarpan, EKOK ifadesi.
• Kalan yalnız eski bölenin bölenlerine taşınabilir; başka bir bölende kalan belirsiz kalabilir.
• Toplama ve çarpmada kalanlar sayıların yerine kullanılabilir; bölenler farklıysa ortak bir bölene inilir.
• 3'ten büyük her asalın 6 ile bölümünden kalan 1 ya da 5'tir.
• Kalan koşulu ile tam bölünme birlikte verilince çözümler EKOK aralıklarla tekrarlar.
• Çeldiriciler atlanmış koşullardan kurulur; sonucu koşul listesine karşı denetle.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Ünitenin araçları sayı kümelerinin bir sonraki basamağında da iş görür. 18/24 kesri EBOB(18, 24) = 6 ile 3/4'e sadeleşir; 3/4 ile 5/6 toplanırken paydalar EKOK(4, 6) = 12'de eşitlenir. Ders 2.3.1, "Kesirler ve kesirlerle işlemler", Ünite 2.3'ü açıyor ve kesirlerle dört işlemi ele alıyor.