EBOB-EKOK problemleri

Kanca

İki soru kökünü yan yana koyalım. Birincisi: "90 litre ayçiçek yağı ile 126 litre zeytinyağı, karıştırılmadan, eşit hacimli şişelere doldurulacaktır. En az kaç şişe gerekir?" İkincisi: "Bir duraktan iki otobüs 12 ve 18 dakikada bir kalkmaktadır. İkisi birlikte kalktıktan en az kaç dakika sonra yeniden birlikte kalkar?"

İkisinde de "en az" yazıyor, ama biri EBOB, öbürü EKOK sorusudur. Birinci sorunun cevabı 12 şişe, ikincininki 36 dakikadır. Sözcüğe bakan aday yanılır; sorunun neyi bölüp neyi kurduğuna bakan aday yanılmaz. Bu ders, sözel bir metinden hangi kavramın istendiğini okumayı ve sınavın sık kullandığı problem türlerini çözmeyi ele alıyor.

Büyük resim

EBOB ile EKOK'u hesaplamayı önceki derste öğrendik. Problemlerde zorluk hesapta değil, seçimdedir. Bunun için tek bir soru yeter: aranan büyüklük verilen sayılardan küçük mü, büyük mü?

Verilen miktarlar parçalanıyorsa aranan parça onlardan küçüktür ve hepsini tam bölmelidir: bu EBOB'dur. Verilen döngüler ya da parçalar bir araya getirilip ortak bir bütün kuruluyorsa aranan büyüklük onlardan büyüktür ve hepsinin katı olmalıdır: bu EKOK'tur. Bu ayrım yapıldıktan sonra her problem türü aynı iki hesaba iner; geriye yalnız sorunun son adımda ne istediğini, parça mı, parça sayısı mı, zaman mı, olduğunu okumak kalır.

Kavram çekirdeği

Karar sorusu: parçalamak mı, kurmak mı?

Kancadaki yağ sorusunda 90 ve 126 litre bölünecektir; şişe hacmi ikisini de tam bölmeli ve şişe sayısının az olması için şişe büyük olmalıdır. Aranan şişe hacmi EBOB(90, 126) = 18 litredir. Soru şişe sayısını istediği için son adım ayrıdır: 90 / 18 + 126 / 18 = 5 + 7 = 12 şişe.

Otobüs sorusunda ise iki döngü üst üste getirilir; aranan süre hem 12'nin hem 18'in katı olmalıdır. EKOK(12, 18) = 36 dakikadır. Bu sürede birinci otobüs 3, ikincisi 2 sefer yapar.

"En az" sözcüğü birinci soruda parça sayısının, ikinci soruda sürenin en azıdır. Sözcük kavramı belirlemez; parçalanan ya da kurulan şey belirler.

Tür 1: Eşit parçalara ayırma

Verilen miktarlar EBOB'a bölünür, parça sayıları toplanır. Yağ sorusu bu türün tipik örneğidir. Dikkat edilecek nokta, sorunun parça büyüklüğünü mü yoksa parça sayısını mı istediğidir; iki sayı da seçeneklerde bulunur.

Tür 2: Çevreye eşit aralıkla dikme

48 m'ye 60 m boyutlarındaki dikdörtgen bir bahçenin çevresine, köşelere de gelecek biçimde, eşit aralıklarla fidan dikilecek ve en az fidan kullanılacaktır. Aralık iki kenarı da tam bölmelidir; en az fidan için aralık en büyük seçilir: EBOB(48, 60) = 12 m.

Fidan sayısı için çevre aralığa bölünür: 2 × (48 + 60) = 216 m ve 216 / 12 = 18 fidan. Kapalı bir çevrede aralık sayısı kadar fidan vardır, çünkü başlangıç ve bitiş noktası aynıdır. Düz bir yolun iki ucuna da fidan dikiliyorsa fidan sayısı aralık sayısından bir fazladır. Bu ayrım, bu türün en sık hata kaynağıdır.

Tür 3: Yeniden birlikte olma

Döngüler EKOK'ta buluşur. Otobüsler saat 08.00'de birlikte kalkmışsa 08.36'da yeniden birlikte kalkar. Soru saat istiyorsa EKOK başlangıç saatine eklenir; gün istiyorsa ve döngüler gün cinsindense haftanın günü önceki derslerdeki gibi 7'ye bölümden kalanla bulunur.

Tür 4: Küçük parçalarla kare kurma

12 cm'ye 18 cm boyutlarındaki dikdörtgen karolar, hiç kesilmeden yan yana dizilerek bir kare oluşturulacaktır. Karenin kenarı hem 12'nin hem 18'in katı olmalıdır; en küçük kare için kenar EKOK(12, 18) = 36 cm'dir. Bir kenara 36 / 12 = 3, öbür kenara 36 / 18 = 2 karo sığar; en az 3 × 2 = 6 karo gerekir.

Bu tür, Tür 1'in tersidir. Kartonu kesip karelere ayırmak EBOB, karoları birleştirip kare yapmak EKOK'tur.

Tür 5: Kalanlı sayılar

"Bir sayı 4'e, 6'ya ve 9'a bölündüğünde her seferinde 1 kalanını veriyor" denirse sayının 1 eksiği üç bölene de tam bölünür. EKOK(4, 6, 9) = 36 olduğu için sayı 36k + 1 biçimindedir: 37, 73, 109… Üç basamaklı en küçüğü 109'dur.

Kalanlar farklı ama her biri bölenden 1 eksikse aynı fikir ters yönde çalışır. "4'e bölününce 3, 6'ya bölününce 5, 9'a bölününce 8 kalanı veren en küçük pozitif sayı" için sayının 1 fazlası üç bölene de tam bölünür. Sayı 36k - 1 biçimindedir ve en küçüğü 35'tir. Burada kalanların kendisine değil, kalan ile bölen arasındaki farka bakmak gerekir.

Görsel harita

Problem çözme sırası

1. Metinde parçalanan mı yoksa kurulan mı bir şey var, belirle.
2. Parçalanıyorsa EBOB, kuruluyorsa EKOK hesapla.
3. Sorunun son adımda istediği büyüklüğü oku: parça büyüklüğü, parça sayısı, fidan sayısı, saat, karo sayısı.
4. Çevre sorusunda kapalı mı açık mı olduğuna bak; açık yolda fidan sayısına 1 ekle.
5. Kalanlı soruda kalanları ya da bölen ile kalan farkını eşitle, EKOK'a göre yaz.

Sınav gözüyle

ÖSYM bu konudaki soruların çoğunu tek adımda bitirmez. EBOB ya da EKOK yalnız ara sonuçtur; asıl istenen ondan türeyen bir sayıdır: şişe sayısı, fidan sayısı, karo sayısı, bir saat. Seçeneklere ara sonuç da konur. Ara sonucu bulup seçeneklerde gören aday orada durur ve yanılır. Son adımı yazmadan seçeneklere bakmamak bu tuzağı kapatır.

İkinci tuzak çevre sorularındaki fidan sayısıdır. Aday kapalı çevrede aralık sayısına 1 ekler ya da her kenarın fidanlarını ayrı sayıp köşeleri iki kez sayar. Çevreyi bir bütün olarak aralığa bölmek bu hatayı önler.

Hafıza kancaları

• "Parçalıyorsan EBOB, kuruyorsan EKOK" — sözcüğe değil işe bak.
• "Az şişe, büyük şişe" — parça sayısı EBOB'un sonucudur.
• "Çember kapalı, fidan aralık kadar" — düz yolda bir fazla.
• "Karo birleşir, EKOK kurar" — karton kesilir, EBOB böler.
• "Kalan aynıysa çıkar, fark aynıysa ekle" — sonra EKOK.

Mini test

1. (kolay) 60 kg pirinç ile 84 kg bulgur, karıştırılmadan, eşit ağırlıklı torbalara doldurulacaktır. Bir torba en çok kaç kg olabilir?

A) 6 B) 4 C) 12 D) 24 E) 14

2. (kolay) İki uyarı lambasından biri 8 saniyede bir, öbürü 12 saniyede bir yanmaktadır. Birlikte yandıktan en az kaç saniye sonra yeniden birlikte yanarlar?

A) 24 B) 48 C) 4 D) 96 E) 20

3. (orta) 24 cm'ye 36 cm boyutlarındaki dikdörtgen karolar kesilmeden yan yana dizilerek bir kare oluşturulacaktır. En az kaç karo gerekir?

A) 72 B) 12 C) 4 D) 3 E) 6

4. (orta) 42 m'ye 70 m boyutlarındaki dikdörtgen bir bahçenin çevresine, köşelere de gelecek biçimde, eşit aralıklarla fidan dikilecektir. En az kaç fidan gerekir?

A) 14 B) 16 C) 17 D) 224 E) 8

5. (sınav) 5'e bölündüğünde 4, 6'ya bölündüğünde 5, 8'e bölündüğünde 7 kalanını veren üç basamaklı en küçük sayı kaçtır?

A) 121 B) 239 C) 120 D) 119 E) 241

Cevaplar

1. C — Torba ağırlığı iki miktarı da tam bölmelidir; en çok EBOB(60, 84) = 12 kg'dır.
2. A — Döngüler EKOK'ta buluşur: EKOK(8, 12) = 24 saniye.
3. E — Kare kenarı EKOK(24, 36) = 72 cm'dir; bir kenara 3, öbürüne 2 karo sığar ve 3 × 2 = 6 karo gerekir. A seçeneği ara sonuçtur.
4. B — Aralık EBOB(42, 70) = 14 m'dir; çevre 2 × (42 + 70) = 224 m'dir ve kapalı çevrede 224 / 14 = 16 fidan gerekir. A ara sonuç, C düz yol hatasıdır.
5. D — Her kalan bölenden 1 eksiktir; sayının 1 fazlası EKOK(5, 6, 8) = 120'nin katıdır. Sayı 120k - 1 biçimindedir ve üç basamaklı en küçüğü 119'dur; 121 ise her bölmede 1 kalanını verir.

Özet kartı

• Problemde verilenler parçalanıyorsa EBOB, ortak bir bütünde birleşiyorsa EKOK aranır.
• "En az" sözcüğü kavramı belirlemez; neyin en az olduğu belirler.
• EBOB ya da EKOK çoğu zaman ara sonuçtur; parça, fidan, karo sayısı ya da saat son adımda hesaplanır.
• Kapalı çevrede fidan sayısı aralık sayısına eşittir; açık düz yolda bir fazlasıdır.
• Aynı kalanı veren sayı EKOK × k + kalan; kalanı bölenden hep 1 eksik olan sayı EKOK × k - 1 biçimindedir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Tür 5'te kalan ile EKOK aynı soruda birleşti. Ünitenin son dersi, 2.2.6 "Kalan ve bölünebilme karma soruları", bu birleşmeyi genişletiyor: kalan bulma, bölünebilme kuralları, asal çarpanlar ve EBOB-EKOK'un tek bir soruda bir arada sınandığı karma soruları ele alıyor.