EBOB ve EKOK

Kanca

Bir kırtasiyeci, 72 cm'ye 84 cm boyutlarındaki bir kartonu artık bırakmadan eş karelere kesmek istiyor ve karelerin olabildiğince büyük olmasını istiyor. Kare kenarı 72'yi de 84'ü de tam bölmeli; 6 cm olur, 4 cm olur, ama en büyüğü hangisi?

Cevap 12 cm'dir ve karton 6 × 7 = 42 kareye ayrılır. Bu sayı, iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Aynı iki sayının ortak katlarının en küçüğü ise 504'tür. Bu derste ikisinin tanımını, üç hesaplama yolunu ve aralarındaki bağıntıyı öğreneceğiz.

Büyük resim

EBOB, en büyük ortak bölen; EKOK, en küçük ortak kattır. Biri iki sayıyı ortak bir parçaya böler, öbürü onları ortak bir bütünde buluşturur. Bu yüzden EBOB her zaman küçük sayıdan büyük olamaz, EKOK her zaman büyük sayıdan küçük olamaz.

Önceki dersteki asal çarpanlara ayırma burada ana araçtır. Bir sayıyı 2³ × 3² biçiminde yazan biri, iki sayının neyi paylaştığını ve birlikte neyi kapsadığını üslere bakarak okur. Liste yöntemi küçük sayılarda, ortak bölme tablosu ise hızlı hesapta işe yarar. Sınavda yöntemi sayının büyüklüğüne göre seçmek zaman kazandırır.

Kavram çekirdeği

Tanımlar

İki sayıyı da tam bölen sayılara bu sayıların ortak bölenleri denir; en büyüğü EBOB'dur. 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18'in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18'dir. Ortak bölenler 1, 2, 3, 6'dır ve EBOB(12, 18) = 6'dır.

İki sayının da katı olan sayılara ortak kat denir; pozitif ortak katların en küçüğü EKOK'tur. 12'nin katları 12, 24, 36, 48…; 18'in katları 18, 36, 54…'tür. İlk ortak kat 36'dır, öyleyse EKOK(12, 18) = 36'dır.

Liste yöntemi kavramı gösterir, ama sayılar büyüdükçe yavaşlar. 72 ile 84'ün bölenlerini tek tek yazmak hem uzun sürer hem de bir böleni atlama riski taşır.

Asal çarpan yöntemi

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve üslere bakılır:

• EBOB: Yalnız ortak asallar alınır, her birinin küçük üssüyle.
• EKOK: Bütün asallar alınır, her birinin büyük üssüyle.

72 = 2³ × 3² ve 84 = 2² × 3 × 7 için ortak asallar 2 ve 3'tür. EBOB = 2² × 3 = 12'dir. EKOK için 2, 3 ve 7'nin büyük üsleri alınır: 2³ × 3² × 7 = 504. 7 yalnız 84'te vardır; EBOB'a girmez, EKOK'a girer.

Bu kural nedenini de taşır. Ortak bölen iki sayıyı da bölmek zorundadır, bu yüzden hiçbir asalı iki sayıdakinden fazla içeremez: küçük üs sınırdır. Ortak kat ise iki sayıyı da içermek zorundadır: büyük üs gerekir.

Ortak bölme tablosu

İki sayı yan yana yazılır ve en küçük asaldan başlanarak bölünür. Asal, sayılardan yalnız birini bölüyorsa bölünemeyen sayı aşağıya olduğu gibi indirilir. İki sayı da 1 olunca durulur.

Sağ sütundaki bütün bölenlerin çarpımı EKOK'tur: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 504. Yalnız iki sayıyı birden bölen satırların çarpımı EBOB'dur: 2 × 2 × 3 = 12. Tablonun yaygın hatası, EBOB'a tek sayıyı bölen satırları da katmaktır.

EBOB × EKOK = a × b

İki pozitif tam sayı için EBOB ile EKOK'un çarpımı, sayıların çarpımına eşittir. 12 × 504 = 6.048 ve 72 × 84 = 6.048'dir. Asal çarpan yöntemiyle neden doğru olduğu görülür: her asalın küçük üssü EBOB'a, büyük üssü EKOK'a gider; iki üs toplamı da iki sayıdaki üslerin toplamıdır.

Bu bağıntı bilinmeyen sayıyı bulmayı sağlar. EBOB(a, b) = 6, EKOK(a, b) = 72 ve a = 18 ise b = 6 × 72 / 18 = 24'tür. Denetleyelim: EBOB(18, 24) = 6, EKOK(18, 24) = 72.

Bağıntı yalnız iki sayı için geçerlidir. 4, 6 ve 10 için EBOB 2, EKOK 60'tır; çarpımları 120 eder, ama 4 × 6 × 10 = 240'tır. Üç sayılı soruda bu kısayolu kullanmak yanlış sonuç verir.

Aralarında asal sayılar

EBOB'u 1 olan iki sayıya aralarında asal denir. 8 ile 15'in ikisi de asal değildir, ama ortak asal çarpanları yoktur; aralarında asaldırlar. Bu durumda EKOK, sayıların çarpımına eşittir: EKOK(8, 15) = 120. Önceki derste bileşik bölenleri ortak çarpanı olmayan iki sayıya ayırırken kullandığımız koşul budur.

Ardışık iki sayı her zaman aralarında asaldır. İki farklı asal sayı da öyledir. Sınav bu bilgiyi, EKOK'tan sayı çiftlerini bulma sorularında kullanır.

Görsel harita

Hesap sırası

1. Sayılar küçükse ve tek bakışta görülüyorsa bölenleri ya da katları listele.
2. Büyükse asal çarpanlarına ayır ve üsleri karşılaştır.
3. İki sayı varsa sonucu EBOB × EKOK = a × b ile denetle.
4. Üç sayı varsa bu denetimi kullanma; üsleri tek tek karşılaştır.

Sınav gözüyle

Bu konuda soru çoğu zaman hesapla değil bilgiyle kurulur: EBOB ile EKOK verilir, sayılardan biri verilir, öbürü istenir. Ya da sayılar aralarında asal denir ve EKOK'tan toplamları sorulur. İki durumda da ilk adım EBOB × EKOK = a × b'yi yazmaktır.

Kurulumdaki yaygın kayıp, EBOB ile EKOK'u karıştırmaktır. Asal çarpan yönteminde "küçük üs" ve "büyük üs" yer değiştirince sonuç bir anda öbür kavrama döner. Çıkan sayıyı sınırla sınamak bu hatayı yakalar: EBOB, küçük sayıdan büyük çıkmışsa yanlış kurallar uygulanmıştır.

Hafıza kancaları

• "EBOB küçük üs, EKOK büyük üs" — ortaklar EBOB'a, hepsi EKOK'a.
• "Çarpımlar eşit" — EBOB × EKOK = a × b, yalnız iki sayıda.
• "Tabloda EBOB ortak satır" — tek sayıyı bölen satır EBOB'a girmez.
• "Aralarında asalda EKOK çarpımdır" — EBOB 1 olunca.
• "EBOB küçükten büyük olmaz" — sınırla denetle.

Mini test

1. (kolay) EBOB(48, 60) kaçtır?

A) 6 B) 12 C) 24 D) 4 E) 240

2. (kolay) EKOK(12, 18) kaçtır?

A) 72 B) 6 C) 216 D) 36 E) 54

3. (orta) a = 2³ × 3 × 5 ve b = 2 × 3² × 7 olduğuna göre EKOK(a, b) kaçtır?

A) 2.520 B) 630 C) 6 D) 15.120 E) 840

4. (orta) İki pozitif tam sayının EBOB'u 6, EKOK'u 72'dir. Sayılardan biri 18 olduğuna göre öbürü kaçtır?

A) 12 B) 36 C) 48 D) 30 E) 24

5. (sınav) a ve b aralarında asal iki pozitif tam sayıdır ve EKOK(a, b) = 90'dır. a + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A) 23 B) 47 C) 19 D) 91 E) 21

Cevaplar

1. B — 48 = 2⁴ × 3, 60 = 2² × 3 × 5; ortak asallar küçük üsle: 2² × 3 = 12.
2. D — 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²; bütün asallar büyük üsle: 2² × 3² = 36.
3. A — 2³ × 3² × 5 × 7 = 2.520. EBOB 6'dır; C onu, B ise 2'nin küçük üssünü alan hatayı (2 × 3² × 5 × 7 = 630) yakalar.
4. E — 6 × 72 = 18 × b verir, b = 24'tür; EBOB(18, 24) = 6 ve EKOK(18, 24) = 72 doğrular.
5. C — Aralarında asal olduğu için a × b = 90'dır. Uygun çiftler (1, 90), (2, 45), (5, 18), (9, 10); toplamlar 91, 47, 23, 19'dur ve en küçüğü 19'dur. (3, 30) ve (6, 15) gibi çiftler aralarında asal değildir.

Özet kartı

• EBOB, ortak bölenlerin en büyüğü; EKOK, pozitif ortak katların en küçüğüdür.
• Asal çarpan yönteminde EBOB ortak asalları küçük üsle, EKOK bütün asalları büyük üsle alır.
• Ortak bölme tablosunda bütün bölenlerin çarpımı EKOK, iki sayıyı birden bölenlerin çarpımı EBOB'dur.
• İki sayı için EBOB × EKOK = a × b'dir; üç sayıda bu eşitlik geçerli değildir.
• Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarıdır.
• EBOB küçük sayıyı aşmaz, EKOK büyük sayıdan küçük olmaz.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Kancadaki karton sorusu "en büyük eş parça" istediği için EBOB'la çözüldü. Aynı iki sayı başka bir hikâyede, örneğin iki işin yeniden aynı anda başladığı ilk anı soran bir metinde, EKOK'a götürür. Ders 2.2.5, "EBOB-EKOK problemleri", sözel bir sorunun hangi kavramı istediğini metindeki ipuçlarından tanımayı ve bu soru türlerini çözmeyi ele alıyor.