Asal sayılar, asal çarpanlar ve bölen sayısı

Kanca

Bir okul müdürü, mezuniyet töreni için 360 sandalyeyi bahçeye eşit sıralar hâlinde dizmek istiyor. Her sırada aynı sayıda sandalye olacak ve hiç sandalye artmayacak. 1 sıra 360 sandalye, 2 sıra 180 sandalye, 3 sıra 120 sandalye… Kaç farklı düzen mümkün?

Tek tek denemek uzun sürer ve bir düzeni atlamak kolaydır. Oysa cevap, 360'ı en küçük yapı taşlarına ayırınca birkaç saniyede çıkar: 24 farklı düzen vardır. Bu derste önce hangi sayıların yapı taşı olduğunu tanıyacak, sonra 360 gibi bir sayıyı parçalarına ayırıp kaç böleni olduğunu formülle sayacağız.

Büyük resim

Her doğal sayı ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Üstelik bu yazılış, çarpanların sırası dışında tektir: 360 hangi yoldan ayrılırsa ayrılsın sonunda üç tane 2, iki tane 3 ve bir tane 5 elde edilir. Matematikte bu gerçeğe aritmetiğin temel teoremi denir.

Bu teklik, sınav için güçlü bir araçtır. Bir sayının asal çarpanlarını bilen, o sayının bütün bölenlerini, kaç böleni olduğunu, kaçının tek ya da çift olduğunu hesaplayabilir. Sonraki ders EBOB ve EKOK'u da aynı ayrımın üzerine kuracak; bu yüzden ayırma işini hızlı ve hatasız yapmak ünitenin geri kalanını taşır.

Kavram çekirdeği

Asal sayı

1'den büyük olup yalnız 1'e ve kendisine tam bölünen doğal sayıya asal sayı denir. İlk asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29'dur. 100'e kadar 25 asal sayı vardır.

Üç bilgi sınavda sık sınanır. 1 asal değildir, çünkü tanım 1'den büyük olmayı şart koşar. 2, tek çift asal sayıdır; ondan büyük her çift sayı 2'ye bölünür. 0 ve negatif sayılar asal sayılmaz.

Bir sayının asal olup olmadığını sınamak

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için, karekökünden küçük ya da ona eşit asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakmak yeter. Sayının bir çarpanı karekökünden büyükse eşi karekökünden küçük olmak zorundadır; küçük eşi yoksa büyüğü de yoktur.

97'yi sınayalım. 10 × 10 = 100 olduğu için 97'nin karekökü 10'dan küçüktür; 2, 3, 5 ve 7'ye bakmak yeter. 97 tektir, rakamları toplamı 16'dır, son basamağı 7'dir ve 7'ye bölümünden 6 kalır. Öyleyse 97 asaldır.

Tuzak, asal gibi görünen sayılardadır. 91 tektir, 3'e ve 5'e bölünmez, ama 91 = 7 × 13'tür. 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 ve 87 = 3 × 29'dur; bu üçü rakam toplamı kuralıyla bir an içinde elenir. Asallık sorusunda önceki dersin kurallarını sırayla uygulamak, "görünüşe göre" karar vermekten güvenlidir.

Asal çarpanlara ayırma

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için en küçük asal sayıdan başlanır ve sayı bölünebildiği sürece aynı asala bölünür; bölünemeyince sıradaki asala geçilir. 360 için:

360 → 180 → 90 → 45 (üç kez 2'ye bölündü), 45 → 15 → 5 (iki kez 3'e bölündü), 5 → 1 (bir kez 5'e bölündü).

Sonuç üslü yazılır: 360 = 2³ × 3² × 5. Aynı yolla 84 = 2² × 3 × 7 ve 72 = 2³ × 3² bulunur. Soru "asal çarpanlar" dediğinde kastedilen farklı asallardır: 84'ün asal çarpanları 2, 3 ve 7'dir ve toplamları 12'dir. 2'yi iki kez saymak sık yapılan bir hatadır.

Pozitif bölen sayısı

Bir sayı a^m × b^n × c^k biçiminde yazılmışsa (a, b, c farklı asallar), pozitif bölen sayısı (m + 1)(n + 1)(k + 1)'dir.

Formülün nedeni basittir. 360'ın her böleni 2'nin bir kuvveti, 3'ün bir kuvveti ve 5'in bir kuvvetinin çarpımıdır. 2 için 2⁰, 2¹, 2², 2³ olmak üzere 4 seçenek, 3 için 3 seçenek, 5 için 2 seçenek vardır. Seçimler birbirinden bağımsız olduğu için bölen sayısı 4 × 3 × 2 = 24'tür. Kancadaki 24 düzen buradan gelir: her bölen bir sıra sayısıdır.

Bu sayımdan başka sorular da türer:

• Tam sayı bölen sayısı: Negatif bölenler de sayılır; 360'ın 48 tam sayı böleni vardır.
• Asal bölen sayısı: Farklı asal çarpanların sayısıdır; 360 için 3'tür.
• Asal olmayan pozitif bölen sayısı: 24 - 3 = 21'dir. 1 de bu gruba girer.
• Tek bölen sayısı: 2'nin üssü 0 seçilmek zorundadır; 360 için 3 × 2 = 6'dır.
• Çift bölen sayısı: Toplamdan tek bölenler çıkarılır; 24 - 6 = 18'dir.

Bölen sayısı tek olan sayılar

Bölenler çoğu zaman ikişer ikişer eşleşir: 60'ın bölenlerinde 1 ile 60, 2 ile 30, 3 ile 20 eşlenir ve 12 bölen çift sayıda çıkar. Tam kare sayılarda ise bir bölen kendisiyle eşleşir: 36'da 6 × 6. Bu yüzden 36 = 2² × 3²'nin 3 × 3 = 9 böleni vardır. Bir doğal sayının pozitif bölen sayısı tek ise o sayı tam karedir; 100'e kadar bu özellikte on sayı vardır: 1, 4, 9, …, 100.

Bölen sayısından sayıyı bulmak

Soru tersten de gelir: "n = 2^a × 3² sayısının 15 pozitif böleni vardır; n kaçtır?" Formül (a + 1) × 3 = 15 verir, a = 4 bulunur ve n = 16 × 9 = 144'tür. 144 bir tam karedir ve bölen sayısının tek çıkması bununla tutarlıdır.

Görsel harita

Çözüm sırası

1. Sayıyı en küçük asaldan başlayarak asal çarpanlarına ayır.
2. Üslü biçimde yaz ve her asalın üssünü işaretle.
3. Sorunun hangi bölenleri istediğini belirle: pozitif, tam sayı, asal, asal olmayan, tek, çift.
4. Formülü uygula; tek-çift sorusunda 2'nin üssünü, asal olmayan sorusunda asal sayısını ayrıca ele al.

Sınav gözüyle

ÖSYM bu konuda nadiren yalnız "kaç böleni var?" diye sorar. Sık görülen biçim, bölenlerin bir alt grubunu istemektir: tek bölenler, çift bölenler, asal olmayan bölenler. Bu sorularda hata formülde değil, alt grubun tanımındadır. Aday toplam bölen sayısını doğru bulur ama 1'in asal olmadığını unutur ya da tam sayı bölen istendiğinde negatifleri saymaz.

İkinci kalıp, asal gibi görünen bileşik sayıdır. Seçeneklere 91, 119 (7 × 17) ya da 143 (11 × 13) gibi sayılar konur. Karekök sınırına kadar bütün asalları denemek bu tuzağı kapatır.

Hafıza kancaları

• "1 asal değil, 2 tek çift asal" — iki istisna, iki soru.
• "Kareköke kadar dene" — 97 için 2, 3, 5, 7 yeter.
• "Üslere bir ekle, çarp" — 2³ × 3² × 5 → 4 × 3 × 2.
• "Tek bölende 2'yi sustur" — 2'nin üssü 0 seçilir.
• "Tek sayıda bölen, tam kare" — 36'da 6 kendisiyle eşleşir.

Mini test

1. (kolay) Aşağıdaki sayılardan hangisi asaldır?

A) 51 B) 57 C) 89 D) 87 E) 91

2. (kolay) 84 sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

A) 12 B) 14 C) 9 D) 16 E) 7

3. (orta) 360 sayısının kaç pozitif böleni vardır?

A) 18 B) 20 C) 12 D) 30 E) 24

4. (orta) 72 sayısının kaç pozitif böleni çift sayıdır?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 3 E) 8

5. (sınav) a bir doğal sayı olmak üzere n = 2^a × 3² sayısının 15 pozitif böleni vardır. n kaçtır?

A) 72 B) 108 C) 288 D) 144 E) 216

Cevaplar

1. C — 89'un karekökü 10'dan küçüktür ve 89, 2, 3, 5, 7'ye bölünmez. 51, 57 ve 87 3'e bölünür; 91 = 7 × 13'tür.
2. A — 84 = 2² × 3 × 7; farklı asal çarpanlar 2, 3, 7'dir ve toplamları 12'dir.
3. E — 360 = 2³ × 3² × 5; bölen sayısı 4 × 3 × 2 = 24'tür.
4. B — 72 = 2³ × 3²'nin 4 × 3 = 12 böleni vardır; tek bölenler 3'tür (1, 3, 9); çift bölenler 12 - 3 = 9'dur.
5. D — (a + 1) × 3 = 15 verir, a = 4'tür; n = 2⁴ × 3² = 144'tür.

Özet kartı

• Asal sayı 1'den büyüktür ve yalnız 1'e ve kendisine bölünür; 1 asal değildir, 2 tek çift asaldır.
• Asallık sınamasında karekökü aşmayan asallara bölmeyi denemek yeter.
• Her doğal sayı asal çarpanlarına tek bir biçimde ayrılır: 360 = 2³ × 3² × 5.
• Pozitif bölen sayısı, üslere 1 eklenip çarpılarak bulunur; tam sayı bölen sayısı bunun iki katıdır.
• Tek bölenlerde 2'nin üssü 0 alınır; çift bölenler toplamdan tek bölenler çıkarılarak bulunur.
• Pozitif bölen sayısı tek olan sayılar tam karelerdir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

72 = 2³ × 3² ve 84 = 2² × 3 × 7 ayrımlarını yan yana koyunca iki sayının bazı asal çarpanları paylaştığı görülür: ikisinde de 2 ve 3 vardır. Ders 2.2.4, "EBOB ve EKOK", bu ortaklıktan iki sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulmayı ele alıyor.