Bölünebilme kuralları

Kanca

Bir okul 4.572 öğrenciyi dokuzar kişilik gruplara ayırmak istiyor; artan öğrenci kalacak mı? Bölme yapmadan cevap verebilirsin: rakamları topla. 4 + 5 + 7 + 2 = 18'dir ve 18, 9'un katıdır. Öyleyse 4.572 de 9'a tam bölünür; hiç öğrenci artmaz.

Bu kısa yol bir rastlantı değildir. Onluk sistemin yapısı, bazı sayılara bölünebilmeyi sayının rakamlarından okumayı sağlar. Bu ders, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve 11 için rakamlardan okunan kuralları ve tam bölünme olmadığında kalanı yine bu kurallarla bulmayı ele alıyor.

Büyük resim

Bir sayının bir bölene tam bölünüp bölünmediğini sormak, kalanın sıfır olup olmadığını sormaktır. 2.2.1'de kalanı bölme eşitliğiyle bulduk. Bölünebilme kuralları ise aynı soruyu çok daha hızlı cevaplar: kimi sayıda son basamağa, kiminde son iki ya da üç basamağa, kiminde rakamların toplamına bakmak yeter.

Kurallar üç aileye ayrılır. Son basamak ailesi 2, 5 ve 10'u kapsar. Son basamaklar ailesi 4 ve 8'i kapsar. Rakam toplamı ailesi 3 ve 9'u kapsar. 11'in kendine özgü bir kuralı vardır, 6, 12, 15 gibi bileşik bölenler ise iki kuralın birleşimiyle denetlenir. Hangi kuralın hangi aileden geldiğini bilmek, kuralları ezberlemekten daha kalıcıdır.

Kavram çekirdeği

Son basamak kuralları: 2, 5, 10

Bir sayı, son basamağı çift ise 2'ye, son basamağı 0 ya da 5 ise 5'e, son basamağı 0 ise 10'a tam bölünür. Bu kurallar, her sayının onlar ve üstündeki basamaklarının 10'un katı olmasından gelir: 10, hem 2'ye hem 5'e bölündüğü için yalnız birler basamağı sonucu belirler.

Aynı mantık kalanı da verir. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, son basamağının 5 ile bölümünden kalandır: 7.318'in son basamağı 8'dir ve kalan 3'tür.

Son basamaklar: 4 ve 8

Bir sayı, son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katıysa 4'e tam bölünür: 7.316'nın son iki basamağı 16'dır ve 4'ün katıdır. Son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'in katıysa sayı 8'e tam bölünür: 5.280'in son üç basamağı 280'dir ve 8'in katıdır. Bu kurallar, 100'ün 4'e, 1.000'in 8'e tam bölünmesinden gelir.

Rakam toplamı: 3 ve 9

Bir sayı, rakamlarının toplamı 3'ün katıysa 3'e, 9'un katıysa 9'a tam bölünür. Kancadaki 4.572'nin rakamları toplamı 18'dir; sayı hem 3'e hem 9'a bölünür. Bu kural, 10, 100, 1.000 gibi sayıların 9'a bölündüğünde hep 1 kalanı vermesinden gelir.

Rakam toplamı kuralı kalanı da verir: bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalandır. 72.418'in rakamları toplamı 22'dir; 22'nin 9 ile bölümünden kalan 4'tür, öyleyse 72.418'in kalanı da 4'tür. Aynı yol 3 için de geçerlidir.

11'e bölünebilme

Bir sayının rakamları sağdan başlayarak sırayla artı ve eksi işaretleriyle toplanır; sonuç 11'in katıysa (sıfır da dahil) sayı 11'e tam bölünür. 2.574 için sağdan 4 - 7 + 5 - 2 = 0'dır; sayı 11'e bölünür, gerçekten de 2.574 = 11 × 234'tür. Bu toplam 11'in katı değilse, 11 ile bölümünden kalanı sayının kalanını verir.

Bileşik bölenler

6, 12, 15, 18 gibi bölenler için iki kural birlikte uygulanır. Bunun için bölen, ortak çarpanı olmayan iki sayının çarpımına ayrılır: 6 = 2 × 3, 12 = 3 × 4, 15 = 3 × 5, 18 = 2 × 9. Sayı iki kurala birden uyuyorsa bileşik bölene de tam bölünür.

Çarpanların ortak çarpanı olmaması şarttır. 12'yi 2 × 6 diye ayırmak yanlış sonuç verir: 18 hem 2'ye hem 6'ya bölünür, ama 12'ye bölünmez. Doğru ayrım 3 × 4'tür; 18, 4'e bölünmediği için 12'ye de bölünmez.

Bilinmeyen rakam soruları

Sınav bölünebilmeyi çoğu zaman bilinmeyen bir rakamla sorar: "4a72 dört basamaklı sayısı 9'a tam bölündüğüne göre a kaçtır?" Rakamları topla: 4 + a + 7 + 2 = 13 + a. Bu toplam 9'un katı olmalı ve a bir rakam olduğu için 13 + a en fazla 22'dir; tek uygun değer 18'dir, a = 5. Aynı sayının 3'e bölünmesi istenseydi 13 + a; 15, 18 ya da 21 olabilirdi ve a = 2, 5 ya da 8 olurdu.

İki koşul birlikte verildiğinde önce son basamağı belirleyen kuralı uygula. "2a5b sayısı 5'e ve 9'a tam bölünüyor" denirse b, 0 ya da 5'tir. b = 0 iken 2 + a + 5 = 7 + a, 9'un katı olmalı: a = 2. b = 5 iken 12 + a, 9'un katı olmalı: a = 6. a'nın alabileceği değerler 2 ve 6'dır.

Görsel harita

Bölünebilme sorusu çözüm sırası

1. Bölenin hangi aileden olduğunu belirle: son basamak, son basamaklar, rakam toplamı, 11 ya da bileşik.
2. Bileşik bölense ortak çarpanı olmayan iki sayıya ayır.
3. Bilinmeyen rakam varsa önce son basamağı belirleyen kuralı uygula.
4. Rakam toplamı kuralında rakamın 0–9 arasında olduğunu hesaba kat.
5. Kalan sorulursa aynı kuralın kalanını kullan: son basamağın, son basamakların ya da rakam toplamının kalanı.

Sınav gözüyle

Bölünebilme sorularının en sık kalıbı bilinmeyen rakamdır ve en sık hatası, rakamın alabileceği değerleri tek bir çözümle sınırlamaktır. 3'e bölünebilme koşulu çoğu zaman üç farklı değere izin verir; aday birini bulup durursa "a'nın alabileceği değerlerin toplamı" sorusunda yanılır. Rakam sınırları içinde bütün çözümleri yazmak gerekir.

İkinci kalıp bileşik bölenlerdir. Seçeneklerde, 2'ye ve 6'ya bölünüp 12'ye bölünmeyen bir sayı bulunur; 12'yi yanlış ayıran aday bu seçeneği işaretler. Bileşik bölende her zaman ortak çarpansız ayrımı kullanmak bu tuzağı kapatır.

Hafıza kancaları

• "2, 5, 10 son basamağa bakar" — çift; 0 ya da 5; 0.
• "4 son ikiye, 8 son üçe" — 100 ve 1.000'den gelir.
• "3 ve 9 rakamları toplar" — kalanı da toplam verir.
• "11'de artı eksi" — sağdan başla.
• "Bileşikte ortak çarpansız ayır" — 12 = 3 × 4, 2 × 6 değil.

Mini test

1. (kolay) Aşağıdaki sayılardan hangisi 9'a tam bölünür?

A) 1.234 B) 4.572 C) 3.331 D) 2.468 E) 7.010

2. (kolay) 72.418 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 2 B) 7 C) 1 D) 0 E) 4

3. (orta) Dört basamaklı 4a72 sayısı 9'a tam bölündüğüne göre a kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

4. (orta) Aşağıdaki sayılardan hangisi 12'ye tam bölünür?

A) 2.430 B) 3.426 C) 4.204 D) 1.236 E) 5.118

5. (sınav) Dört basamaklı 2a5b sayısı 5'e ve 9'a tam bölünmektedir. a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A) 8 B) 6 C) 2 D) 11 E) 9

Cevaplar

1. B — 4 + 5 + 7 + 2 = 18, 9'un katıdır; öbürlerinin rakamları toplamı 9'un katı değildir.
2. E — Rakamları toplamı 22'dir; 22'nin 9 ile bölümünden kalan 4'tür.
3. C — 13 + a, 9'un katı olmalıdır; rakam sınırında tek değer 18'dir ve a = 5'tir.
4. D — 1 + 2 + 3 + 6 = 12, 3'ün katı; son iki basamak 36, 4'ün katı; sayı 12'ye bölünür. Öbürlerinden her biri bu iki koşuldan birini sağlamaz.
5. A — b = 0 iken a = 2, b = 5 iken a = 6'dır; toplam 8'dir.

Özet kartı

• 2: son basamak çift; 5: son basamak 0 ya da 5; 10: son basamak 0.
• 4: son iki basamak 4'ün katı; 8: son üç basamak 8'in katı.
• 3 ve 9: rakamlar toplamı 3'ün ya da 9'un katı; kalan, toplamın kalanıdır.
• 11: sağdan başlayan artı-eksi toplamı 11'in katı ya da sıfır.
• Bileşik bölen ortak çarpansız iki sayıya ayrılır: 6 = 2 × 3, 12 = 3 × 4, 18 = 2 × 9.
• Bilinmeyen rakamda önce son basamak kuralını uygula, sonra rakam sınırı içinde bütün çözümleri yaz.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

12'yi 3 × 4 diye ayırırken bir sayıyı daha küçük parçaların çarpımına böldük. Bu bölme işi sonuna kadar götürülürse sayı, artık bölünemeyen yapı taşlarına ayrılır: 12 = 2 × 2 × 3. Ders 2.2.3, "Asal sayılar, asal çarpanlar ve bölen sayısı", bu yapı taşlarını, yani asal sayıları, bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmayı ve bu ayrımdan bir sayının kaç böleni olduğunu bulmayı ele alıyor.