Bölme işlemi ve kalan

Kanca

Bir öğretmen 17 elmayı 5 öğrenciye eşit paylaştırıyor. Her öğrenci 3 elma alıyor ve sepette 2 elma kalıyor. Öğretmen bir elma daha bulursa ne olur? Kalan 3 olur, ama her öğrencinin payı değişmez. Kalan 5'e ulaştığında ise her öğrenciye bir elma daha düşer ve kalan sıfırlanır.

Bu küçük gözlem, kalanın en önemli özelliğini gösterir: kalan her zaman bölenden küçüktür. Bölme sorularının çoğu bu kuralın ve bölünen, bölen, bölüm, kalan arasındaki tek bir eşitliğin üzerine kurulur. Bu ders o eşitliği ve kalanla yapılan kısa hesapları ele alıyor.

Büyük resim

Bölme, bir miktarı eşit parçalara ayırmaktır. Parçalama her zaman tam çıkmaz; artan kısma kalan denir. Bölme işleminde dört öğe vardır: bölünen (paylaşılan miktar), bölen (parça sayısı), bölüm (her parçanın büyüklüğü) ve kalan (artan miktar). Bu dördü tek bir eşitlikle birbirine bağlıdır ve ikisi ya da üçü verildiğinde öbürü bulunur.

Kalan, sayıların gizli bir özelliğini taşır. Bir sayının bir bölene göre kalanı, o sayının "döngüdeki yerini" söyler: haftanın günleri 7'lik, saatler 12'lik ya da 24'lük döngülerdir. Bu yüzden kalan hesapları, takvim ve saat sorularından bölünebilme kurallarına kadar ünitenin geri kalanında sürekli karşımıza çıkacak.

Kavram çekirdeği

Bölme eşitliği

Bölünen A, bölen B, bölüm C ve kalan K ise A = B × C + K'dir. Kalan için iki koşul vardır: K sıfırdan küçük olamaz ve bölenden küçük olmalıdır, yani 0 ≤ K < B. Kancadaki elmalarda 17 = 5 × 3 + 2'dir.

Bu eşitlik dört öğeden birini bulmanın genel yoludur. Bölen 7, bölüm 12 ve kalan 4 ise bölünen 7 × 12 + 4 = 88'dir. Denetlemek için 88'i 7'ye böl: bölüm 12, kalan 4 çıkar.

Kalan sıfırsa bölme tam çıkmıştır ve bölünen, bölenin bir katıdır. Bu durumda "A, B'ye tam bölünür" denir. Bölünebilme kuralları, bir sayının hangi sayılara tam bölündüğünü bölme yapmadan anlamayı sağlar; bir sonraki dersin konusu budur.

En büyük ve en küçük kalan

Kalan bölenden küçük olduğu için en büyük kalan, bölenin bir eksiğidir. Bölen 9 ise kalan en çok 8 olabilir. En küçük kalan her zaman sıfırdır. Bu sınırlar, "bölen ile kalanın toplamı" ya da "kalanın alabileceği en büyük değer" gibi soruların temelidir.

Bir sorunun kalanı bölenden büyük ya da ona eşit veriyorsa hesap yarım kalmıştır. 25'i 7'ye bölüp "bölüm 2, kalan 11" demek, kalanın içinde bir 7 daha bulunduğunu gözden kaçırmaktır; doğrusu bölüm 3, kalan 4'tür.

Bölüm ile kalanın ilişkisi

Bazı sorular bölüm ile kalan arasında bir ilişki verir ve bölünenin alabileceği değerleri sorar. "Bir sayı 7'ye bölündüğünde bölüm ile kalan eşittir; bu sayı en çok kaçtır?" sorusunda bölüme ve kalana k dersen bölünen 7 × k + k = 8k olur. Kalan bölenden küçük olmak zorunda olduğu için k en çok 6'dır; bölünen en çok 8 × 6 = 48'dir. Denetlemek için 48'i 7'ye böl: bölüm 6, kalan 6.

Bu soru tipinde çözümü sınırlayan, her zaman kalanın üst sınırıdır. k'yi eşitlikte bir harf olarak bırakmak, bölüneni k cinsinden yazmak ve en sonda kalan koşulunu uygulamak, en büyük ya da en küçük değeri hızla verir.

Kalanlarla işlem

Bir sayının bir bölene göre kalanı biliniyorsa, o sayıyla yapılan işlemlerin kalanı da sayının kendisi bilinmeden bulunabilir. A'nın 6 ile bölümünden kalan 4 ise A + 5'in kalanı, 4 + 5 = 9'un 6 ile bölümünden kalandır: 3. 2A'nın kalanı ise 2 × 4 = 8'in kalanıdır: 2.

Kural kısaca şudur: toplama, çıkarma ve çarpmada sayının yerine kalanını koy, işlemi yap ve sonucu yeniden bölene böl. A'nın 8 ile bölümünden kalan 5 ise 3A'nın kalanı, 3 × 5 = 15'in 8 ile bölümünden kalandır: 7. Bu yol, büyük sayıları hiç hesaplamadan kalan bulmayı sağlar.

Belli kalanı veren sayılar

"5'e bölündüğünde 3 kalanını veren sayılar" bir dizi oluşturur: 3, 8, 13, 18, ... Her terim bir öncekinden bölen kadar büyüktür. Bu dizide istenen aralıktaki sayıyı bulmak için önce aralığın başındaki 5'in katını bul, sonra 3 ekle. Üç basamaklı en küçük böyle sayı, 100 + 3 = 103'tür.

Döngüler ve takvim

Haftanın günleri 7 günde bir tekrar eder. Bugün salıysa 100 gün sonrası, 100'ün 7 ile bölümünden kalan kadar ileridedir: 100 = 7 × 14 + 2 olduğundan iki gün sonrası, yani perşembedir. 14 tam hafta günü değiştirmez; yalnız kalan iki gün sayılır. Saat ve takvim problemleri Ünite 2.7'de ayrıca işlenecek, ama hepsi bu kalan mantığına dayanır.

Görsel harita

Kalan sorusu çözüm sırası

1. A = B × C + K eşitliğini yaz ve bilinenleri yerine koy.
2. Kalanın bölenden küçük olduğunu denetle; değilse bölümü artır.
3. Bir işlemin kalanı sorulursa sayının yerine kalanını koy, işlemi yap, yeniden böl.
4. Belli kalanı veren sayıları "bölenin katı + kalan" diye yaz.
5. Döngü sorularında tam devirleri at, yalnız kalanı say.

Sınav gözüyle

Bölme sorularında en sık hata, kalanın bölenden küçük olması gerektiğini unutmaktır. "Bölen 6, kalan 8" gibi bir durum geçersizdir; böyle bir sonuca varan aday bölümü bir eksik bulmuştur. Seçeneklerde bu eksik bölümle kurulan çeldiriciler sık görülür.

İkinci kalıp, kalanla yapılan işlemlerdir. "A'nın 6 ile bölümünden kalan 4'tür; A + 5'in 6 ile bölümünden kalan kaçtır?" sorusunda aday 4 + 5 = 9 bulur ve 9'u işaretler. Oysa 9, bölen 6'dan büyüktür ve kalan olamaz; 9'un içindeki 6 atılınca kalan 3'tür.

Hafıza kancaları

• "Bölünen = bölen × bölüm + kalan" — dört öğenin tek eşitliği.
• "Kalan bölenden küçüktür" — en büyük kalan, bölenin bir eksiği.
• "Sayının yerine kalanını koy" — sonra yeniden böl.
• "Katı bul, kalanı ekle" — belli kalanı veren sayılar.
• "Tam devirleri at" — 100 gün sonra = 2 gün sonra.

Mini test

1. (kolay) Bir bölme işleminde bölen 7, bölüm 12 ve kalan 4'tür. Bölünen kaçtır?

A) 84 B) 88 C) 92 D) 80 E) 96

2. (kolay) Bir bölme işleminde bölen 9'dur. Kalan en çok kaç olabilir?

A) 9 B) 10 C) 8 D) 0 E) 1

3. (orta) A sayısının 6 ile bölümünden kalan 4'tür. A + 5 sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 9 B) 1 C) 5 D) 3 E) 4

4. (orta) Bugün salıdır. 100 gün sonra haftanın hangi günü olur?

A) Perşembe B) Çarşamba C) Cuma D) Salı E) Pazartesi

5. (sınav) A sayısının 8 ile bölümünden kalan 5'tir. 3A sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 5 B) 15 C) 3 D) 1 E) 7

Cevaplar

1. B — 7 × 12 + 4 = 88.
2. C — Kalan bölenden küçük olmalıdır; en büyük kalan 9 - 1 = 8'dir.
3. D — 4 + 5 = 9; 9'un 6 ile bölümünden kalan 3'tür.
4. A — 100 = 7 × 14 + 2; salıdan iki gün sonrası perşembedir.
5. E — 3 × 5 = 15; 15'in 8 ile bölümünden kalan 7'dir.

Özet kartı

• Bölünen = bölen × bölüm + kalan; 0 ≤ kalan < bölen.
• Kalan sıfırsa bölünen, bölenin katıdır ve tam bölünür.
• En büyük kalan bölenin bir eksiği, en küçük kalan sıfırdır.
• Toplama, çıkarma, çarpmada sayının yerine kalanını koy ve sonucu yeniden böl.
• Belli kalanı veren sayılar: bölenin katları + kalan.
• Döngü sorularında tam devirler atılır, yalnız kalan sayılır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Kalan sıfır çıktığında bölünenin bölenin bir katı olduğunu söyledik. Ama bir sayının 3'e, 4'e ya da 9'a tam bölünüp bölünmediğini anlamak için her seferinde bölme yapmak gerekmez; sayının rakamlarına bakmak çoğu zaman yeter. Ders 2.2.2, "Bölünebilme kuralları", bir sayının hangi sayılara tam bölündüğünü bölme yapmadan, rakamlarına bakarak anlamanın kurallarını ele alıyor.