Sayı özelliklerini birleştiren sorular

Kanca

Bir soru kâğıdında tek bir cümle var: "Rakamları birbirinden farklı, rakamları toplamı 12 olan üç basamaklı en büyük tek sayı kaçtır?" Bu kısa cümlede dört ayrı koşul saklı: üç basamaklı olmak, rakamların farklı olması, rakamlar toplamının 12 olması ve sayının tek olması. Her biri ünitenin ayrı bir dersinden geliyor.

Aday çoğu zaman ilk iki üç koşulu uygular ve sonuncusunu unutur. "En büyük" denince hemen 9 ile başlar, 3 ile toplamı tamamlar ve 930'u bulur; ama 930 çifttir. Bu Ustalık dersi, birden çok sayı özelliğini aynı anda isteyen soruları bir koşul listesiyle açmayı ve hiçbir koşulu atlamadan çözmeyi öğretiyor.

Büyük resim

Ünitenin beş dersinde sayıların özelliklerini ayrı ayrı gördük: sayı kümeleri, işlem önceliği, tek-çift ve işaret, ardışık sayılar, basamaklar ve faktöriyel. Sınavda ise bu özellikler sık sık aynı soruda buluşur. Bir koşul sayının türünü, öbürü bir basamağını, bir başkası işaretini ya da tek-çift durumunu sınırlar.

Bu soruların zorluğu hesapta değil, düzendedir. Koşullar bir cümlenin içine dağılmıştır ve her biri seçenekleri ayrı bir yönden eler. Çözüm, koşulları önce bir listeye ayırmak, sonra en kısıtlayıcı olandan başlayarak uygulamak ve en sonda bütün koşulları bir kez daha denetlemektir. 1.11.6'da sözel mantık için kurduğumuz "en güçlü ipucundan başla" alışkanlığı burada sayılarla çalışır.

Kavram çekirdeği

Koşul listesi

Soruyu okurken her koşulu ayrı bir satıra yaz. "Rakamları farklı üç basamaklı en büyük tek sayı" ifadesi dört satır verir: üç basamaklı, rakamlar farklı, tek, en büyük. Her satırın hangi dersin aracını istediğini de not et: tek-çift için 2.1.3, basamak ve rakam için 2.1.4. Bu liste, çözümün sonunda bir denetim listesi olur.

Bazı koşullar örtük gelir. "a, b, c rakamdır" demek, her birinin 0 ile 9 arasında olduğunu söyler. "abc üç basamaklıdır" demek a'nın sıfır olamayacağını söyler. "Ardışık" demek terimlerin birer birer arttığını söyler. Örtük koşulları da listeye yazmak, çözümün geçersiz bir sayıya varmasını önler.

En kısıtlayıcı koşuldan başla

Koşulları uygulama sırası çözümün hızını belirler. Önce en çok aday eleyen koşulu uygula. Tek-çift koşulu birler basamağını belirler; bu yüzden birler basamağını ilk sabitleyen koşul odur. "En büyük" ya da "en küçük" koşulu ise basamakların soldan sağa doldurulma sırasını belirler.

Kancadaki soruda en büyük tek sayı aranır. Birler basamağı tek olmalıdır, en soldaki basamak olabildiğince büyük olmalıdır. Yüzler basamağına 9 konur. Kalan iki rakamın toplamı 3'tür ve ikisi de 9'dan farklı olmalıdır. Birler basamağı tek olacağı için 1 ya da 3 olabilir. Onlar basamağı büyük tutulmak istendiği için birler basamağına 1, onlar basamağına 2 gelir: 921.

Değeri değil özelliği izle

Bir sayının değerini bilmeden onun özelliğini izlemek, karma soruların çoğunu kısaltır. "a ile b ardışık iki tam sayıdır; a × b kesinlikle nedir?" sorusunda a ve b'yi bulmaya gerek yoktur. Ardışık iki sayıdan biri mutlaka çifttir; çarpım bu yüzden kesinlikle çifttir. İşareti ise belirsizdir: 2 × 3 pozitif, -1 × 0 sıfırdır.

İşaret ve tek-çift bilgisi işlemlerden geçerken izlenebilir. 2.1.3'teki kural tabloları bu izlemenin aracıdır. Bir koşul "x negatif tam sayıdır" diyorsa -x kesinlikle pozitiftir. x + 1 ise x = -1 için sıfır olur ve kesinlikle pozitif değildir.

İki örnekle sına

"Kesinlikle" sözcüğünü taşıyan sorularda her seçeneği koşulları sağlayan iki farklı örnekle dene. Bir seçenek bir örnekte doğru, öbüründe yanlış çıkıyorsa kesin değildir. Örnekleri seçerken uç değerleri kullan: sıfır, -1, 1 ve en küçük ya da en büyük rakamlar, çoğu zaman bir seçeneği düşüren örneklerdir.

Sona doğru bütün koşulları denetle

Bir sayıya ulaştığında koşul listesine dön ve her satırı tek tek işaretle. Kancadaki 930 hatası bu adımda yakalanır: üç basamaklı, rakamları farklı, rakamları toplamı 12; ama tek değil. Son denetim yalnız birkaç saniye sürer ve en sık yapılan "bir koşulu unutma" hatasını kapatır.

Bir örnek

Soru: Rakamları birbirinden farklı, rakamları toplamı 12 olan üç basamaklı en büyük tek sayı kaçtır?

A) 930. Üç basamaklı, rakamları farklı, toplamı 12; ama birler basamağı 0'dır ve sayı çifttir. Tek koşulunu sağlamaz.

B) 921. Rakamları farklı, toplamı 9 + 2 + 1 = 12, birler basamağı 1 ve sayı tektir. Bütün koşulları sağlar.

C) 912. Rakamları farklı, toplamı 12; ama birler basamağı 2'dir ve sayı çifttir.

D) 939. Toplamı 21'dir ve 9 rakamı iki kez geçer; iki koşulu birden bozar.

E) 903. Bütün koşulları sağlar, ama 921'den küçüktür; "en büyük" koşulunu karşılamaz.

Aranan seçenek B. A ve C tek-çift koşulunu, D toplam ve farklılık koşullarını, E ise "en büyük" koşulunu düşürür. Her çeldirici, koşul listesinin bir satırının atlanmasıyla kurulmuştur.

Görsel harita

Karma soru çözüm sırası

1. Bütün koşulları, örtük olanlar dahil, ayrı satırlara yaz.
2. En kısıtlayıcı koşulu belirle; çoğu zaman birler basamağını sabitleyen tek-çift koşuludur.
3. Değeri değil özelliği izle; gerekirse iki örnekle sına.
4. "En büyük / en küçük" isteniyorsa basamakları soldan sağa doldur.
5. Bulduğun sayıyı koşul listesinin her satırıyla denetle.

Sınav gözüyle

Karma sorularda çeldiriciler neredeyse her zaman koşullardan birini atlayan çözümlerdir. Seçeneklerde, tek-çift koşulunu unutanın, rakamların farklı olmasını unutanın ve en büyük yerine herhangi bir uygun sayıyı bulanın cevapları bekler. Bu yüzden ilk bulduğun sayı bir seçenekte duruyor diye doğru değildir; listenin her satırını işaretlemeden işaretleme.

Bir diğer tuzak, örtük koşulları atlamaktır. "abc üç basamaklı sayıdır" ifadesi a'nın sıfır olamayacağını söyler; en küçük sayıyı ararken yüzler basamağına 0 koymak, sayıyı iki basamaklıya düşürür. Rakam koşulu da benzer biçimde 9'u aşan değerleri eler.

Hafıza kancaları

• "Koşulları satır satır yaz" — örtük olanlar dahil.
• "Tek-çift birler basamağını kilitler" — en kısıtlayıcı koşul.
• "Değeri değil özelliği izle" — ardışık iki sayının çarpımı çifttir.
• "Uç değerle sına" — 0, -1, 1.
• "Son denetim beş saniye" — her satırı işaretle.

Mini test

1. (kolay) a ile b ardışık iki tam sayıdır. a × b için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Tektir. B) Çifttir. C) Pozitiftir. D) Negatiftir. E) Sıfırdır.

2. (kolay) x negatif bir tam sayıdır. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitiftir?

A) x³ B) 2x C) -x D) x + 1 E) x ÷ 2

3. (orta) Rakamları birbirinden farklı, rakamları toplamı 15 olan üç basamaklı en küçük çift sayı kaçtır?

A) 159 B) 177 C) 186 D) 168 E) 258

4. (orta) Ardışık üç tam sayının toplamı -6'dır. Bu sayıların çarpımı kaçtır?

A) 6 B) 0 C) -24 D) 24 E) -6

5. (sınav) 1! + 2! + 3! + ... + 20! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?

A) 3 B) 1 C) 9 D) 0 E) 4

Cevaplar

1. B — Ardışık iki sayıdan biri mutlaka çifttir, bu yüzden çarpım çifttir; işareti ise sayılara göre değişir.
2. C — Negatif bir sayının ters işaretlisi pozitiftir; x³, 2x ve x ÷ 2 negatiftir, x + 1 ise x = -1 için sıfırdır.
3. D — 159 tek, 177'de rakam tekrar eder ve sayı tektir; 168 çift, rakamları farklı ve toplamı 15'tir; 186 ve 258 de koşulları sağlar ama 168'den büyüktür.
4. E — Ortadaki sayı -6 ÷ 3 = -2'dir; sayılar -3, -2, -1'dir ve çarpımları -6'dır.
5. A — 5!'den sonraki her faktöriyel 0 ile biter; 1 + 2 + 6 + 24 = 33 olduğundan birler basamağı 3'tür.

Özet kartı

• Karma sorularda her koşul ünitenin ayrı bir aracını ister.
• Koşulları, örtük olanlar dahil, satır satır yaz.
• En kısıtlayıcı koşuldan başla; tek-çift çoğu zaman birler basamağını kilitler.
• Değeri değil özelliği izle; "kesinlikle" sorularını iki örnekle, uç değerlerle sına.
• "En büyük / en küçük" isteniyorsa basamakları soldan sağa doldur.
• Bulduğun sayıyı listenin her satırıyla denetle; çeldiriciler bir koşulu atlayan çözümlerdir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu ünitede çiftliği 2'ye kalansız bölünebilmeye bağladık. Bölmenin kendisi ise çoğu zaman tam çıkmaz: 17 elma 5 kişiye bölündüğünde her kişiye 3 elma düşer ve 2 elma artar. Ders 2.2.1, "Bölme işlemi ve kalan", bölünen, bölen, bölüm ve kalan arasındaki bağıntıyı ve kalanın sınavda nasıl sorulduğunu ele alıyor.