Faktöriyel

Kanca

Beş kitabı bir rafa kaç farklı sırayla dizebilirsin? İlk yere beş kitaptan birini, ikinci yere kalan dördünden birini, üçüncüye kalan üçünden birini koyarsın. Toplam sıralama sayısı 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120'dir. Kitap sayısı on olunca bu sayı üç milyonu aşar.

Bir sayıdan bire kadar bütün sayıları çarpan bu işlemin bir adı ve bir işareti var: faktöriyel, ünlem işaretiyle yazılır. 5! = 120. Bu derste faktöriyelin tanımını, büyük faktöriyelleri hesaplamadan sadeleştirmeyi ve faktöriyelli ifadelerde sınavın sevdiği birkaç kısa yolu ele alıyoruz.

Büyük resim

Faktöriyel, sayma işlerinin doğal dilidir. Bir grup nesnenin kaç farklı sırayla dizilebileceği sorusu, Ünite 2.9'daki permütasyon ve kombinasyonun temelidir ve o sorular faktöriyelle yazılır. Bu ders o ünitenin aracını şimdiden hazırlıyor.

Faktöriyel çok hızlı büyür: 10! = 3.628.800'dür. Bu yüzden KPSS faktöriyelli bir sayının kendisini hesaplatmaz; onu sadeleştirmeyi, iki faktöriyeli birbirine bölmeyi ya da bir faktöriyelin bir özelliğini, örneğin sonunda kaç sıfır olduğunu sorar. Bütün bu sorular tek bir gözleme dayanır: büyük bir faktöriyelin içinde daha küçük bir faktöriyel saklıdır.

Kavram çekirdeği

Tanım ve ilk değerler

n bir doğal sayı olmak üzere n! = 1 × 2 × 3 × ... × n'dir. Tanım gereği 0! = 1 ve 1! = 1'dir. İlk değerleri akılda tutmak hesabı hızlandırır: 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5.040.

Sıfırın faktöriyelinin bir olması ilk bakışta tuhaf görünür. Bunu sayma diliyle düşünmek yardımcı olur: hiç nesne yokken onları dizmenin tek bir yolu vardır, o da hiçbir şey yapmamaktır. Bu tanım, ileride göreceğimiz formüllerin sıfır için de çalışmasını sağlar.

Büyük faktöriyelin içindeki küçük faktöriyel

En kullanışlı kural şudur: n! = n × (n - 1)!. Daha genel olarak büyük bir faktöriyel, küçük bir faktöriyelin aradaki sayılarla çarpımıdır: 10! = 10 × 9 × 8!. Bu kural, iki faktöriyelin bölümünü hesaplamadan bulmayı sağlar: 10! ÷ 8! = 10 × 9 = 90.

Aynı yol kesirli ifadelerde de işler. 7! ÷ (5! × 2!) ifadesinde 7! = 7 × 6 × 5! yazılır, 5! sadeleşir ve geriye 7 × 6 ÷ 2 = 21 kalır. (n + 1)! ÷ n! ise her zaman n + 1'dir.

Toplama ve çıkarma: ortak çarpan

Faktöriyeller toplanırken ya da çıkarılırken küçük olanı ortak çarpan olarak parantez dışına al. 5! + 6! = 5! + 6 × 5! = 5! × (1 + 6) = 120 × 7 = 840. 6! + 7! = 6! × (1 + 7) = 720 × 8 = 5.760. Bu yol hem hızlıdır hem de büyük sayılarla uğraşmayı önler.

Faktöriyelli denklemler

n! ÷ (n - 2)! = 30 gibi bir denklemde bölüm sadeleşir: n × (n - 1) = 30. Ardışık iki sayının çarpımı 30 ise sayılar 6 ve 5'tir; n = 6'dır. Bu tür denklemlerde ardışık sayıların çarpımını tanımak çözümü kısaltır: 20 = 5 × 4, 42 = 7 × 6, 56 = 8 × 7.

Sondaki sıfırlar

Bir sayının sonundaki her sıfır, bir 10 çarpanından gelir; her 10 da bir 2 ile bir 5'in çarpımıdır. Faktöriyelde 2 çarpanı her zaman 5'ten çoktur, bu yüzden sondaki sıfır sayısını 5 çarpanlarının sayısı belirler.

5 çarpanlarını saymak için n'yi 5'e böl, bölümü yeniden 5'e böl ve bölümler sıfır olana kadar devam et; her adımda kalanları at ve bölümleri topla. 30! için 30 ÷ 5 = 6, 6 ÷ 5 = 1 (kalan atılır), toplam 7'dir. 25! için 5 + 1 = 6, 100! için 20 + 4 = 24'tür. İkinci bölme, 25 ve 50 gibi sayıların içinde iki tane 5 çarpanı bulunduğunu hesaba katar.

Birler basamağı

5!'den itibaren her faktöriyel hem 2 hem 5 çarpanı taşıdığı için 0 ile biter. Bu gözlem toplamların birler basamağını hızla bulmayı sağlar. 1! + 2! + ... + 10! toplamında 5!'den sonraki terimler birler basamağına bir şey eklemez; yalnız 1 + 2 + 6 + 24 = 33'ün birler basamağı kalır: 3.

Görsel harita

Faktöriyel sorusu çözüm sırası

1. Faktöriyelleri hesaplamaya çalışma; en küçüğünü bul.
2. Büyük faktöriyelleri n × (n - 1) × ... × küçük faktöriyel biçiminde yaz.
3. Bölmede sadeleştir; toplama ve çıkarmada küçük faktöriyeli ortak çarpana al.
4. Denklemde ardışık sayıların çarpımını tanı.
5. Sondaki sıfırlar için 5'e art arda böl ve bölümleri topla.

Sınav gözüyle

Faktöriyel sorularında çeldiriciler, faktöriyeli sıradan bir sayı gibi işleyen hatalardan kurulur. 10! ÷ 5! ifadesini "10 ÷ 5 = 2, yani 2!" diye sadeleştiren aday 2 bulur; doğrusu 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30.240'tır. (2n)! ifadesini 2 × n! sanan aday da benzer bir hataya düşer: 6! = 720'dir, 2 × 3! = 12 değildir.

Sondaki sıfır sorularında ise en sık hata ikinci bölmeyi unutmaktır. 30!'in sonundaki sıfırları yalnız 30 ÷ 5 = 6 diye sayan aday, 25'in içindeki ikinci 5 çarpanını kaçırır ve bir eksik bulur.

Hafıza kancaları

• "Büyüğün içinde küçük saklı" — 10! = 10 × 9 × 8!.
• "0! de 1, 1! de 1" — tanım gereği.
• "Toplamda ortak çarpan" — 5! + 6! = 5! × 7.
• "Sıfırı beşler yapar" — 5'e art arda böl, bölümleri topla.
• "5!'den sonra sonu sıfır" — birler basamağını yalnız ilk dört terim belirler.

Mini test

1. (kolay) 5! kaçtır?

A) 24 B) 60 C) 720 D) 120 E) 25

2. (kolay) 10! ÷ 8! işleminin sonucu kaçtır?

A) 90 B) 80 C) 2 D) 45 E) 72

3. (orta) 6! + 7! işleminin sonucu kaçtır?

A) 5.040 B) 5.760 C) 4.320 D) 6.480 E) 720

4. (orta) n! ÷ (n - 2)! = 42 olduğuna göre n kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 42 D) 5 E) 7

5. (sınav) 30! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

A) 6 B) 3 C) 7 D) 8 E) 5

Cevaplar

1. D — 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
2. A — 10! = 10 × 9 × 8! olduğundan bölüm 10 × 9 = 90'dır.
3. B — 6! + 7! = 6! × (1 + 7) = 720 × 8 = 5.760.
4. E — Bölüm n × (n - 1) = 42'dir; ardışık sayılardan 7 × 6 = 42 olduğundan n = 7'dir.
5. C — 30 ÷ 5 = 6, 6 ÷ 5 = 1 (kalan atılır); 6 + 1 = 7.

Özet kartı

• n! = 1 × 2 × ... × n; 0! = 1, 1! = 1.
• İlk değerler: 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5.040.
• n! = n × (n - 1)!; büyük faktöriyel küçüğü içinde taşır.
• Bölmede sadeleştir, toplamada küçük faktöriyeli ortak çarpana al.
• n! ÷ (n - 2)! = n × (n - 1); ardışık çarpımı tanı.
• Sondaki sıfır sayısı = 5'e art arda bölümlerin toplamı.
• 5!'den itibaren her faktöriyel 0 ile biter.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu ünitede sayıların kümelerini, işlem önceliğini, tek-çift ve işaret özelliklerini, ardışık sayıları, basamakları ve faktöriyeli ayrı ayrı gördük. Sınav ise bu konuları çoğu zaman tek bir soruda birleştirir: bir sayının hem tek-çift durumu hem basamakları hem de bir işlemden sonraki işareti aynı anda sorulabilir. Ders 2.1.6, "Ustalık: sayı özelliklerini birleştiren sorular", ünitenin araçlarını hangi sırayla kullanacağını gösteriyor ve karma soruları adım adım çözüyor.