Basamak kavramı ve çözümleme

Kanca

Bir matbaacı 120 sayfalık bir kitabın sayfa numaralarını basacak. Her rakam için ayrı bir kalıp dizmesi gerekiyor. Kaç rakam dizecek? 120 mi?

Hayır. 1'den 9'a kadar sayfalar birer rakam, 10'dan 99'a kadar sayfalar ikişer, 100'den 120'ye kadar sayfalar üçer rakam ister. Toplam 252 rakam eder. Aynı "120" sayısı, kaç sayfa olduğunu da, kaç rakam gerektiğini de anlatabilir; hangisini anlattığını bilmek için sayının içine, basamaklarına bakmak gerekir. Bu ders rakam ile sayının farkını, basamak değerini ve sayıları basamaklarına ayırarak çözülen soruları ele alıyor.

Büyük resim

Sayıları yazmak için on rakam kullanılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bütün sayılar bu on rakamın yan yana dizilmesiyle yazılır. Bir rakamın değeri, durduğu yere göre değişir: 7.425 sayısındaki 4, kırk değil dört yüzü anlatır. Sayıyı yazan bu konum sistemine onluk sistem denir; her basamak, sağındakinin on katıdır.

Basamak soruları çoğu zaman sayıyı bilmeden kurulur: "ab iki basamaklı bir sayıdır" denir ve a ile b'nin ne olduğu sorulur. Bu soruların anahtarı çözümlemedir: bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı olarak yazmak. ab sayısı, a ile b'nin çarpımı değil, 10 tane a ile bir tane b'nin toplamıdır.

Kavram çekirdeği

Rakam, sayı, basamak

Rakam, sayıları yazmak için kullanılan on simgeden biridir; sayı ise bir ya da daha çok rakamın yan yana gelmesiyle oluşan değerdir. Her rakam bir sayıdır, ama her sayı bir rakam değildir: 7 hem rakam hem sayıdır, 72 ise yalnız bir sayıdır.

Bir sayıda rakamların durduğu yerlere basamak denir. Sağdan sola birler, onlar, yüzler, binler basamağı diye sıralanır. Bir rakamın sayı değeri kendisidir; basamak değeri ise durduğu basamakla çarpımıdır. 7.425 sayısında 4'ün sayı değeri 4, basamak değeri 400'dür.

Çözümleme

Bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı olarak yazmaya çözümleme denir. İki basamaklı ab sayısı 10a + b, üç basamaklı abc sayısı 100a + 10b + c olarak yazılır. Burada a, b, c birer rakamdır; yani 0 ile 9 arasında bir tam sayıdır. En soldaki rakam sıfır olamaz: 05 iki basamaklı bir sayı değildir.

Çözümleme, basamak sorularının çoğunu bir denkleme dönüştürür. "ab sayısının sağına 5 yazılırsa" denirse yeni sayı 10 × ab + 5 olur: 72'nin sağına 5 yazılınca 725. "Soluna 3 yazılırsa" denirse yeni sayı 300 + ab olur: 72'nin soluna 3 yazılınca 372.

Rakamları yer değiştiren sayılar

ab ile ba sayıları arasında iki kullanışlı bağıntı vardır. Toplamları ab + ba = 11 × (a + b), farkları ab - ba = 9 × (a - b)'dir. Bu bağıntılar çözümlemeden çıkar: (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b.

Bu yüzden "ab + ba = 99" diyen bir soru doğrudan a + b = 9 sonucunu verir; "ab - ba = 45" diyen bir soru ise a - b = 5 sonucunu. İkisi birlikte verilirse rakamlar bulunur: a + b = 11 ve a - b = 5 ise a = 8, b = 3, yani ab = 83.

En büyük ve en küçük sayılar

En büyük ya da en küçük sayıyı ararken soldan sağa giderek her basamağa olabilecek en büyük ya da en küçük rakamı yerleştir. En büyük üç basamaklı sayı 999, en küçüğü 100'dür. Rakamları farklı olması istenirse en büyük 987, en küçük 102 olur: en küçükte ilk basamak sıfır olamadığı için 1, ikinci basamağa kullanılmamış en küçük rakam olan 0, üçüncüye 2 gelir.

Rakamları toplamı verilen sorularda da aynı yol izlenir. Rakamları farklı ve rakamları toplamı 20 olan en büyük üç basamaklı sayı, ilk basamağa 9, ikinciye 8 konarak bulunur; üçüncü rakam 20 - 17 = 3'tür: 983. En küçüğünü bulmak için ilk basamak olabildiğince küçük tutulur, ama kalan iki basamak en fazla 9 ve 8 alabilir; bu yüzden ilk basamak 3'ten küçük olamaz ve sayı 389 olur.

Rakam sayma

Sayfa numaralandırma soruları, kaç rakam kullanıldığını sorar. 1'den 9'a dokuz sayı birer rakam, 10'dan 99'a doksan sayı ikişer rakam, yani 180 rakam kullanır. 99'a kadar toplam 189 rakam gider. 100'den sonraki her sayfa üç rakamdır. Kancadaki 120 sayfalık kitapta 100'den 120'ye 21 sayfa vardır ve 63 rakam kullanır; toplam 189 + 63 = 252 rakamdır.

Ters soruda rakam sayısı verilir ve sayfa sayısı istenir. Önce 189'u çıkar, kalanı üçe böl ve 99'a ekle: 252 - 189 = 63, 63 ÷ 3 = 21, 99 + 21 = 120.

Görsel harita

Basamak sorusu çözüm sırası

1. Sayıyı çözümle: ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c.
2. a, b, c'nin 0–9 arasında rakam olduğunu ve ilk rakamın sıfır olamayacağını not et.
3. Yer değiştirme varsa 11(a + b) ve 9(a - b) bağıntılarını kullan.
4. En büyük ya da en küçük sayıda soldan sağa her basamağı ayrı ayrı doldur.
5. Rakam sayma sorusunda 9, 180 ve üç basamaklılar diye gruplara ayır.

Sınav gözüyle

Basamak sorularında en temel hata, ab yazımını bir çarpım sanmaktır. Matematikte yan yana yazılan iki harf çoğu zaman çarpım anlamına gelir, ama basamak sorularında "ab iki basamaklı bir sayıdır" denildiğinde ab bir sayının yazılışıdır. Soru kökündeki "iki basamaklı" ya da "rakamları" ifadesi, ab'nin çözümlenmesi gerektiğini söyler.

İkinci sık hata rakam sınırını unutmaktır. a + b = 11 ve a - b = 5 denkleminden a = 8, b = 3 bulunur; ama a ile b'nin rakam olduğu, yani 9'u aşamayacağı bilgisi bazı sorularda tek çözümü seçtiren koşuldur. Çözümü bulduktan sonra rakamların 0–9 arasında kaldığını ve ilk rakamın sıfır olmadığını denetlemek gerekir.

Hafıza kancaları

• "ab çarpım değil, toplam" — ab = 10a + b.
• "Toplamda 11, farkta 9" — ab + ba = 11(a + b), ab - ba = 9(a - b).
• "İlk rakam sıfır olmaz" — en küçük rakamları farklı üç basamaklı sayı 102.
• "9, 180, sonra üçer" — sayfa numaralandırmada rakam sayısı.
• "Soldan sağa doldur" — en büyük ve en küçük sayıyı kurmanın yolu.

Mini test

1. (kolay) 7.425 sayısında 4 rakamının basamak değeri kaçtır?

A) 4 B) 40 C) 400 D) 4.000 E) 7.425

2. (kolay) ab ve ba iki basamaklı sayılardır. ab + ba = 99 olduğuna göre a + b kaçtır?

A) 11 B) 18 C) 99 D) 9 E) 10

3. (orta) Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en küçük sayı ile en büyük sayının toplamı kaçtır?

A) 1.089 B) 1.099 C) 1.087 D) 1.110 E) 1.023

4. (orta) ab ve ba iki basamaklı sayılardır. ab - ba = 45 ve a + b = 11 olduğuna göre ab kaçtır?

A) 74 B) 65 C) 92 D) 56 E) 83

5. (sınav) Bir kitabın sayfalarını 1'den başlayarak numaralandırmak için 252 rakam kullanılmıştır. Bu kitap kaç sayfadır?

A) 84 B) 120 C) 126 D) 108 E) 252

Cevaplar

1. C — 4 yüzler basamağındadır; basamak değeri 4 × 100 = 400'dür.
2. D — ab + ba = 11(a + b) = 99 olduğundan a + b = 9'dur.
3. A — En küçük 102, en büyük 987'dir; toplamları 1.089'dur.
4. E — 9(a - b) = 45 olduğundan a - b = 5; a + b = 11 ile birlikte a = 8, b = 3 ve ab = 83'tür.
5. B — 252 - 189 = 63 rakam üç basamaklı sayfalara gider; 63 ÷ 3 = 21 sayfa, 99 + 21 = 120.

Özet kartı

• On rakam vardır (0–9); sayılar rakamların yan yana dizilmesiyle yazılır.
• Basamak değeri = rakam × basamak; sayı değeri rakamın kendisidir.
• Çözümleme: ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c; ilk rakam sıfır olamaz.
• ab + ba = 11(a + b), ab - ba = 9(a - b).
• En büyük ya da en küçük sayı soldan sağa her basamak ayrı doldurularak kurulur.
• Sayfa numaralandırmada 99'a kadar 189 rakam kullanılır; sonrası üçer rakamdır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Rakamları farklı üç basamaklı en büyük sayıyı ararken her basamağa kullanılmamış rakamlar arasından birini seçtik: ilk basamağa 9, ikinciye kalan dokuz rakamdan 8. Bu seçimlerin kaç farklı biçimde yapılabileceğini saymak, bir başka işleme götürür: art arda azalan sayıların çarpımına. Ders 2.1.5, "Faktöriyel", 1'den n'ye kadar sayıların çarpımı olan n! işlemini ve faktöriyelli ifadelerin nasıl sadeleştirildiğini ele alıyor.