Tek-çift, pozitif-negatif ve ardışık sayılar

Kanca

Bir apartmanın daire numaraları kapıların üzerinde yazılı. Sol koridorda 1, 3, 5, 7; sağ koridorda 2, 4, 6, 8. Kurye "Daire numarası iki tek sayının toplamı" diye bir not almış. Hangi koridora gitmeli?

Toplamı hesaplamadan da cevap bellidir: iki tek sayının toplamı her zaman çifttir, kurye sağ koridora gitmelidir. Bu derste sayıların hesap yapmadan bilinebilen özelliklerine bakıyoruz. Bir sayının tek mi çift mi, pozitif mi negatif mi olduğu, işlemlerden sonra da çoğu zaman önceden kestirilebilir. Ardışık sayıların toplamı da tek tek toplamadan bulunabilir.

Büyük resim

KPSS'nin bu konudaki soruları çoğunlukla sayının kendisini değil, bir özelliğini sorar: "a tek, b çift ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir?" ya da "a negatif, b pozitif ise hangisi kesinlikle pozitiftir?" Bu sorularda sayıları bilmezsin; yalnız özelliklerini bilirsin. Çözüm, özelliklerin işlemlerde nasıl davrandığını bilmekten geçer.

Ardışık sayılar ise bir sıranın düzenli artışıdır: 5, 6, 7 ya da 10, 12, 14. Bu düzen, toplamları kısa yoldan bulmayı sağlar. Uzun bir toplamı tek tek yapmak yerine terim sayısını ve ortalamayı bulmak, hem zaman kazandırır hem de hata payını düşürür.

Kavram çekirdeği

Tek ve çift sayılar

2'ye tam bölünebilen tam sayılara çift, bölünemeyenlere tek sayı denir. Çift sayılar 2k, tek sayılar 2k + 1 biçiminde yazılır. Sıfır çifttir. Negatif sayılar da tek ya da çifttir: -4 çift, -3 tektir.

Toplama ve çıkarmada kural şudur: iki tek ya da iki çift sayının toplamı ve farkı çifttir; biri tek biri çiftse sonuç tektir. Çarpmada ise çarpanlardan en az biri çiftse çarpım çifttir; bütün çarpanlar tekse çarpım tektir. Pozitif bir kuvvet alındığında tek sayı tek, çift sayı çift kalır.

Bu kurallar ters yönde okunurken dikkat ister. a × b çiftse a ve b'nin ikisinin de çift olduğu sonucu çıkmaz; en az biri çifttir. a + b tekse biri tek, öbürü çifttir, ama hangisinin hangisi olduğu bilinmez.

İşaret kuralları

Çarpma ve bölmede aynı işaretli iki sayının sonucu pozitif, farklı işaretli iki sayının sonucu negatiftir. Birden çok çarpan varsa negatif çarpanları say: sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir. (-3) × (-4) × (-2) çarpımında üç negatif çarpan vardır; sonuç -24'tür.

Toplamada aynı işaretli sayılar toplanır ve işaret korunur: (-3) + (-5) = -8. Farklı işaretli sayılarda büyük olandan küçük olan çıkarılır ve sonuç, sıfıra daha uzak olan sayının işaretini alır: (-7) + 2 = -5. Çıkarma, ters işaretlisini eklemektir: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8.

Üslü ifadelerde parantez işareti belirler. (-2)² = 4'tür, çünkü -2 kendisiyle çarpılır. -2² ise -(2²) = -4'tür, çünkü üs yalnız 2'ye uygulanır. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir; üslü sayıların geri kalanı Ünite 2.4'te işlenecek.

"Kesinlikle" soruları

"a < 0 < b ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitiftir?" biçimindeki sorularda her seçeneği işaret kurallarıyla sına. b - a kesinlikle pozitiftir, çünkü büyükten küçük çıkarılmıştır. a × b ve a ÷ b kesinlikle negatiftir, çünkü işaretler farklıdır. a + b ise belirsizdir: a = -3, b = 5 için 2; a = -7, b = 2 için -5; a = -1, b = 1 için 0 olur.

Belirsizliği göstermenin en hızlı yolu, koşulu sağlayan iki farklı örnek denemektir. Bir seçenek bir örnekte pozitif, öbüründe negatif çıkıyorsa "kesinlikle" değildir. 1.11.4'teki "kesinlikle doğrudur" mantığı burada da aynıdır: kesin olan, bütün olası durumlarda doğru olandır.

Ardışık sayılar

Ardışık tam sayılar birer birer artar: n, n + 1, n + 2. Ardışık çift ya da tek sayılar ikişer ikişer artar: n, n + 2, n + 4. Belli bir aralıkta kaç terim olduğu şöyle bulunur: terim sayısı = (son terim - ilk terim) ÷ artış + 1. 11'den 29'a kadar tek sayılarda (29 - 11) ÷ 2 + 1 = 10 terim vardır.

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ilk ve son terimin ortalamasının çarpımıdır: toplam = terim sayısı × (ilk + son) ÷ 2. 11'den 29'a kadar tek sayıların toplamı 10 × (11 + 29) ÷ 2 = 200'dür. 1'den n'ye kadar sayıların toplamı ise n × (n + 1) ÷ 2'dir: 1 + 2 + ... + 20 = 20 × 21 ÷ 2 = 210.

İki özel toplam akılda tutulmaya değer. İlk n çift sayının toplamı n × (n + 1)'dir: 2 + 4 + ... + 20 = 10 × 11 = 110. İlk n tek sayının toplamı n²'dir: 1 + 3 + ... + 19 = 10² = 100.

Ortadaki terim

Tek sayıda ardışık terimin toplamı verildiğinde ortadaki terim, toplamın terim sayısına bölümüdür. Üç ardışık sayının toplamı 48 ise ortadaki 48 ÷ 3 = 16'dır; sayılar 15, 16, 17'dir. Beş ardışık çift sayının toplamı 130 ise ortadaki 26'dır; sayılar 22, 24, 26, 28, 30'dur. Bu yol, denklem kurmadan sonuca götürür.

Görsel harita

Özellik sorusu çözüm sırası

1. Sorulan özelliği belirle: tek-çift mi, işaret mi?
2. Verilen bilgileri kural tablosuna koy.
3. Her seçeneği kurallarla sına.
4. Emin olamadığın seçenekte koşulu sağlayan iki örnek dene; sonuç değişiyorsa "kesinlikle" değildir.
5. Ardışık toplamlarda terim sayısını ve ortalamayı bul; tek sayıda terimde ortadakini toplamı bölerek bul.

Sınav gözüyle

Tek-çift ve işaret sorularında çeldiriciler "çoğu zaman doğru olan" seçeneklerden kurulur. "a tek, b çift ise a + b + 1 çifttir" seçeneği doğrudur, ama "a + b çifttir" seçeneği yanlıştır; ikisi yan yana durduğunda acele eden aday karıştırır. Her seçeneği ayrı ayrı kurallara vurmak, bu çeldiricilerin hepsini düşürür.

Ardışık sayı sorularında en sık hata terim sayısını bir eksik saymaktır. 11'den 29'a kadar tek sayıları sayarken (29 - 11) ÷ 2 = 9 bulup "+1"i unutan aday, toplamı da yanlış bulur. İlk ve son terimin ikisi de sayıldığı için bir eklenir.

Hafıza kancaları

• "Tek + tek = çift" — kurye sağ koridora gider.
• "Bir çarpan çiftse çarpım çift" — tersi kesin değildir.
• "Negatifleri say: çiftse artı, tekse eksi" — (-3)(-4)(-2) = -24.
• "Parantez yoksa eksi dışarıda" — -2² = -4, (-2)² = 4.
• "Toplam = terim sayısı × ortalama" — ve terim sayısına bir eklemeyi unutma.

Mini test

1. (kolay) a tek, b çift bir sayıdır. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir?

A) a + b B) a × b C) a² D) 2a + 1 E) a + b + 2

2. (kolay) (-3) × (-4) × (-2) işleminin sonucu kaçtır?

A) -24 B) 24 C) -9 D) 9 E) -20

3. (orta) 1 + 2 + 3 + ... + 30 toplamı kaçtır?

A) 450 B) 480 C) 465 D) 435 E) 496

4. (orta) a < 0 < b olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitiftir?

A) a × b B) a + b C) a ÷ b D) b - a E) a - b

5. (sınav) Ardışık beş çift sayının toplamı 130'dur. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

A) 26 B) 28 C) 32 D) 34 E) 30

Cevaplar

1. B — Çarpanlardan biri (b) çift olduğu için çarpım çifttir; a + b, a², 2a + 1 ve a + b + 2 tektir.
2. A — Üç negatif çarpan vardır; tek sayıda negatif çarpanın çarpımı negatiftir: -24.
3. C — 30 × 31 ÷ 2 = 465.
4. D — Büyükten küçük çıkarıldığı için b - a pozitiftir; a × b, a ÷ b ve a - b negatiftir, a + b belirsizdir.
5. E — Ortadaki terim 130 ÷ 5 = 26'dır; sayılar 22, 24, 26, 28, 30'dur ve en büyüğü 30'dur.

Özet kartı

• Çift sayılar 2k, tek sayılar 2k + 1; sıfır çifttir, negatifler de tek ya da çifttir.
• Tek ± tek ve çift ± çift çifttir; tek ± çift tektir.
• Bir çarpan çiftse çarpım çifttir; bütün çarpanlar tekse çarpım tektir.
• Negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir.
• -2² = -4, (-2)² = 4; parantez işareti belirler.
• Terim sayısı = (son - ilk) ÷ artış + 1; toplam = terim sayısı × (ilk + son) ÷ 2.
• 1'den n'ye toplam n(n + 1) ÷ 2; ilk n çiftin toplamı n(n + 1); ilk n tekin toplamı n².

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste bir sayının çift olup olmadığına son basamağına bakarak karar verdik: son basamağı 0, 2, 4, 6 ya da 8 olan sayı çifttir. Bir sayının her basamağı bunun gibi bir bilgi taşır ve sayıyı basamaklarının değerlerine ayırmak birçok sorunun anahtarıdır. Ders 2.1.4, "Basamak kavramı ve çözümleme", rakam ile sayı arasındaki farkı, basamak değerini ve iki ya da üç basamaklı sayıları çözümleyerek kurulan soruları ele alıyor.