Dört işlem ve işlem önceliği

Kanca

Bir kafede kasiyer hesabı çıkarıyor: iki çay ve üç simit. Çay 5 lira, simit 4 lira. Kâğıda "2 × 5 + 3 × 4" yazıyor. Yanındaki çırak hesap makinesine soldan sağa basıyor: 2 çarpı 5 eşittir 10, artı 3 eşittir 13, çarpı 4 eşittir 52. Kasiyer gülüyor: "Müşteriye 52 lira mı ödeteceksin? Hesap 22."

Çırağın hatası çarpmada ya da toplamada değil, sıradadır. Aynı sayılar, aynı işlemler; yalnız sıra değişince sonuç da değişir. Bu derste dört işlemi ve uzun bir ifadede hangi işlemin önce yapılacağını ele alıyoruz.

Büyük resim

Dört işlem, matematiğin bütün yapısının üzerinde durduğu zemindir. Toplama ve çıkarma bir şeyi artırmayı ve azaltmayı, çarpma tekrarlanan toplamayı, bölme ise eşit paylaşmayı anlatır. KPSS'de bu işlemlerin her biri tek başına zor değildir; zorluk, uzun bir ifadede doğru sırayı izlemek ve hesabı hızla, hatasız bitirmektir.

İşlem önceliği bir kural değil, bir anlaşmadır: herkesin aynı ifadeden aynı sonucu çıkarması için konmuştur. Kasiyerin yazdığı "2 × 5 + 3 × 4" ifadesi, iki çayın tutarıyla üç simidin tutarının toplamını anlatır; çarpmaların önce yapılması bu anlamı korur. Bu ders önce işlemlerin özelliklerini, sonra öncelik sırasını, en sonda da hesabı kısaltan yolları ele alıyor.

Kavram çekirdeği

İşlemlerin özellikleri

Toplama ve çarpmada sayıların yeri değiştirilebilir: 3 + 5 = 5 + 3, 4 × 7 = 7 × 4. Buna değişme özelliği denir. Üç sayı toplanır ya da çarpılırken hangi ikisinin önce işleme gireceği de sonucu değiştirmez: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Buna birleşme özelliği denir.

Çıkarma ve bölmede bu özellikler yoktur: 10 - 4, 4 - 10'a eşit değildir; 12 ÷ 3, 3 ÷ 12'ye eşit değildir. Bu fark, işlem önceliğinde "soldan sağa" kuralının neden önemli olduğunu açıklar.

Çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği hesaplamada en çok işe yarayan özelliktir: a × (b + c) = a × b + a × c. Örneğin 45 × 102 = 45 × 100 + 45 × 2 = 4.500 + 90 = 4.590.

Sıfır ve bir de özel davranır. Bir sayıya sıfır eklemek ya da bir sayıyı birle çarpmak onu değiştirmez. Bir sayıyı sıfırla çarpmak sonucu sıfır yapar. Sıfırın bir sayıya bölümü sıfırdır, ama bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır; sıfıra bölme yapılmaz.

İşlem önceliği

Birden çok işlemin geçtiği bir ifadede işlemler şu sırayla yapılır. Önce parantez içi. Sonra üslü ifadeler (bunlar Ünite 2.4'te ayrıntılı işlenecek). Ardından çarpma ve bölme, soldan sağa. En son toplama ve çıkarma, soldan sağa.

Kasiyerin hesabı bu sırayı izler: 2 × 5 + 3 × 4 ifadesinde önce iki çarpma yapılır, 10 ve 12; sonra toplanır, 22. Çırak ise soldan sağa her işlemi geldiği sırayla yaptı ve 52 buldu.

Soldan sağa kuralı

En çok gözden kaçan kural, aynı düzeydeki işlemlerin soldan sağa yapılmasıdır. Çarpma bölmeden, toplama çıkarmadan önce gelmez; aynı düzeydedirler ve hangisi soldaysa önce o yapılır.

12 ÷ 3 × 2 ifadesinde önce bölme yapılır, çünkü soldadır: 4 × 2 = 8. Çarpmayı önce yapan aday 12 ÷ 6 = 2 bulur ve yanılır. Aynı biçimde 20 - 8 + 2 ifadesinde önce çıkarma yapılır: 12 + 2 = 14; toplamayı önce yapan 20 - 10 = 10 bulur. Parantez bu sırayı değiştirmek için vardır: 48 ÷ (4 × 2) = 6, ama 48 ÷ 4 × 2 = 24.

Kesir çizgisi bir parantezdir

Bir kesirde pay ve paydanın her biri ayrı bir parantez gibi davranır. (8 + 4) / (5 - 2) ifadesinde önce pay ve payda ayrı ayrı hesaplanır: 12 / 3 = 4. Kesir çizgisinin altındaki ve üstündeki ifadeyi tek bir sayı gibi düşünmek, payı ya da paydayı yarıda kesip işlem yapma hatasını önler.

Hesabı kısaltmak

KPSS'de süre kısıtlı olduğu için uzun çarpımları kısaltmak önemlidir. Dağılma özelliği bir sayıyı yuvarlak bir sayıya yaklaştırmayı sağlar: 99 × 47 = 100 × 47 - 47 = 4.700 - 47 = 4.653. Birleşme özelliği ise kolay çarpılan çiftleri bir araya getirir: 25 × 36 = 25 × 4 × 9 = 100 × 9 = 900, ya da 17 × 25 × 4 = 17 × 100 = 1.700.

Seçenekleri hızla elemek için son basamağa bakmak da bir kısaltmadır. 99 × 37 çarpımının son basamağı 9 × 7 = 63'ün son basamağı olan 3'tür; seçeneklerde son basamağı 3 olmayanlar baştan elenir.

Görsel harita

Bir ifadeyi hesaplama sırası

1. Parantezleri ve kesir çizgisinin altını-üstünü ayrı ayrı hesapla.
2. Varsa üslü ifadeleri hesapla.
3. Çarpma ve bölmeleri soldan sağa yap.
4. Toplama ve çıkarmaları soldan sağa yap.
5. Uzun çarpımlarda dağılma ve birleşme özelliğiyle kısalt; son basamakla seçenek ele.

Sınav gözüyle

İşlem önceliği soruları çoğu zaman birkaç işlemin art arda yazıldığı tek bir ifadeyle gelir: "3 × (4 + 2) - 6 ÷ 2 işleminin sonucu kaçtır?" Bu sorularda çeldiriciler, yanlış sırayla yapılan hesapların sonuçlarıdır: işlemleri soldan sağa düz yapan, bölmeyi çarpmadan sonraya bırakan ya da parantezi atlayan adayın bulacağı sayılar seçeneklerde bekler.

Bu yüzden seçeneklerde gördüğün bir sayı, hesabının doğru olduğunu göstermez; yalnız o hesabın bir seçeneğe karşılık geldiğini gösterir. Sonucu bulduktan sonra sırayı bir kez daha gözden geçirmek, özellikle soldan sağa kuralını denetlemek, bu çeldiricileri boşa çıkarır.

Hafıza kancaları

• "Parantez, üs, çarpma-bölme, toplama-çıkarma" — öncelik sırası.
• "Aynı düzeyde soldan sağa" — 12 ÷ 3 × 2 = 8.
• "Kesir çizgisi bir parantezdir" — payı ve paydayı ayrı hesapla.
• "Yuvarlağa yaklaş" — 99 × 47 = 4.700 - 47.
• "Sıfıra bölünmez" — sıfırın bölümü sıfır, sıfıra bölme tanımsız.

Mini test

1. (kolay) 5 + 6 × 3 işleminin sonucu kaçtır?

A) 33 B) 23 C) 29 D) 21 E) 18

2. (kolay) 24 ÷ 4 × 2 işleminin sonucu kaçtır?

A) 3 B) 8 C) 12 D) 48 E) 6

3. (orta) 3 × (4 + 2) - 6 ÷ 2 işleminin sonucu kaçtır?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

4. (orta) 99 × 37 çarpımının sonucu kaçtır?

A) 3.663 B) 3.604 C) 3.698 D) 3.761 E) 3.567

5. (sınav) (36 - 4 × 5) ÷ (2 + 6) + 3 × 2 işleminin sonucu kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 7 D) 10 E) 8

Cevaplar

1. B — Önce çarpma: 6 × 3 = 18; sonra toplama: 5 + 18 = 23.
2. C — Bölme ve çarpma soldan sağa: 24 ÷ 4 = 6, 6 × 2 = 12.
3. D — Parantez 6, çarpma 18, bölme 3; sonuç 18 - 3 = 15.
4. A — 100 × 37 - 37 = 3.700 - 37 = 3.663; son basamak 3 olan tek seçenek de budur.
5. E — Parantezler 36 - 20 = 16 ve 8; 16 ÷ 8 = 2, 3 × 2 = 6; sonuç 2 + 6 = 8.

Özet kartı

• Toplama ve çarpmada değişme ve birleşme özelliği vardır; çıkarma ve bölmede yoktur.
• Dağılma: a × (b + c) = a × b + a × c; hesabı kısaltmanın ana aracıdır.
• Sıfırın bölümü sıfırdır; bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
• Öncelik: parantez, üs, çarpma-bölme, toplama-çıkarma.
• Aynı düzeydeki işlemler soldan sağa yapılır.
• Kesir çizgisinin altı ve üstü ayrı birer parantezdir.
• Son basamak hesabı, seçenekleri hızla elemeyi sağlar.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu dersteki bütün örnekler pozitif sayılarla kuruldu. Oysa sayı doğrusunun yarısı negatif sayılardan oluşur ve negatif bir sayıyla çarpmak ya da bölmek sonucun işaretini değiştirir. Ders 2.1.3, "Tek-çift, pozitif-negatif ve ardışık sayılar", sayıların tek ya da çift olmasının ve pozitif ya da negatif işaretinin işlemlerde nasıl davrandığını ve ardışık sayıların toplamını kısa yoldan bulmayı ele alıyor.