Sayı kümeleri ve sayı doğrusu

Kanca

Bir apartmanın asansöründe düğmeler aşağıdan yukarı sıralanır: -2, -1, 0, 1, 2, 3. Eksi katlar otoparktır, sıfır giriş katıdır. Asansör -2'den 3'e çıkarken kaç kat geçer? Peki bir termometre sabah -3,5 dereceyi, öğlen 2,7 dereceyi gösteriyorsa sıcaklık bu arada kaç tam dereceden geçmiştir?

İki soru da aynı şeyi ister: sayıları bir çizgi üzerinde sıraya dizmek ve aralarındaki sayıları saymak. KPSS matematiğinin ilk adımı da budur. Bu ders, sayıları ait oldukları kümelere ayırmayı ve onları bir doğru üzerinde yerleştirmeyi öğretiyor.

Büyük resim

İnsanlar önce saymak için sayılar kullandı: bir, iki, üç. Sonra "hiç" için sıfıra, borç ve eksi sıcaklık için negatif sayılara, bir bütünün parçaları için kesirlere ihtiyaç duyuldu. Her ihtiyaç yeni bir sayı kümesi doğurdu ve her yeni küme bir öncekini içine aldı. Bu yüzden sayı kümeleri iç içe geçmiş halkalar gibidir: doğal sayılar tam sayıların, tam sayılar rasyonel sayıların içindedir.

Sayı doğrusu ise bu kümeleri görünür kılan araçtır. Her sayıya doğru üzerinde bir nokta karşılık gelir; sağa gidildikçe sayılar büyür. Bir sayının hangi kümede olduğunu bilmek ve doğru üzerinde nerede durduğunu görmek, sonraki bütün ünitelerin, işlemlerden problemlere kadar, ortak temelidir.

Kavram çekirdeği

Doğal sayılar ve sayma sayıları

Doğal sayılar, sıfırdan başlayıp birer birer artan sayılardır: N = {0, 1, 2, 3, ...}. Sıfırı içermeyen biçimine sayma sayıları denir: {1, 2, 3, ...}. Okulda ve KPSS'de kullanılan tanımda sıfır bir doğal sayıdır; bu yüzden en küçük doğal sayı 0, en küçük sayma sayısı 1'dir.

Tam sayılar

Tam sayılar, doğal sayılara negatif sayıları ekler: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Sıfırdan büyük olanlar pozitif tam sayılar, sıfırdan küçük olanlar negatif tam sayılardır. Sıfır ne pozitiftir ne negatif; iki grubu ayıran sınırdır. En büyük negatif tam sayı -1, en küçük pozitif tam sayı 1'dir.

Rasyonel ve irrasyonel sayılar

Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılardır: 3/4, -2/5, 7 (yani 7/1), 0,25 (yani 1/4). Bir rasyonel sayının ondalık açılımı ya sonludur (0,25) ya da belli bir rakam grubunu sonsuza dek tekrar eder (0,333... ya da 0,1212...). Tekrar eden ondalıklar da rasyoneldir, çünkü bir kesre çevrilebilir: 0,333... = 1/3.

İrrasyonel sayılar ise a/b biçiminde yazılamayan sayılardır. Ondalık açılımları sonsuza kadar sürer ve hiçbir rakam grubu düzenli olarak tekrar etmez. Tam kare olmayan sayıların karekökleri (√2, √5) ve π bu kümenin bilinen örnekleridir. π için kullanılan 3,14 ya da 22/7 yalnız birer yaklaşık değerdir; π'nin kendisi bir kesir değildir.

Gerçek sayılar ve kümelerin ilişkisi

Rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek (reel) sayıları oluşturur: R. Bir gerçek sayı ya rasyoneldir ya irrasyoneldir; ikisi birden olamaz. Kümelerin ilişkisi şöyle özetlenir: her sayma sayısı bir doğal sayıdır, her doğal sayı bir tam sayıdır, her tam sayı bir rasyonel sayıdır, her rasyonel sayı bir gerçek sayıdır. İrrasyonel sayılar da gerçek sayılardır, ama rasyonel sayılarla hiçbir ortak elemanları yoktur.

Bu kapsama ilişkisi yalnız bir yönde çalışır. Her tam sayı rasyoneldir, ama her rasyonel sayı tam sayı değildir: 1/2 rasyoneldir, tam sayı değildir. Sınavda "her ... bir ...dır" biçimindeki önermeler bu yön farkını sınar.

Sayı doğrusu

Sayı doğrusunda sıfır bir başlangıç noktasıdır; pozitif sayılar sağda, negatif sayılar soldadır ve sağa gidildikçe sayılar büyür. Pozitif sayılarda büyük olan sağdadır: 5 > 2. Negatif sayılarda ise sıfıra daha uzak olan daha soldadır, yani daha küçüktür: -5 < -2. Kancadaki asansörde -2. kat, -1. kattan aşağıdadır.

Kesirleri doğru üzerine yerleştirmek için önce hangi iki tam sayının arasında olduklarına bak. -3/2, yani -1,5, -2 ile -1'in tam ortasındadır. Negatif kesirleri sıralarken de aynı kural geçerlidir: -3/4 = -0,75, -2/3 ≈ -0,67 ve -1/2 = -0,5 olduğuna göre küçükten büyüğe sıra -3/4 < -2/3 < -1/2'dir. Ondalığa çevirmek, kesirleri sıralamanın en güvenilir yoludur.

Aralıktaki tam sayıları saymak

İki sayı arasındaki tam sayıları saymak, sınavın sık sorduğu bir işlemdir. Kancadaki termometre -3,5 ile 2,7 arasında gezdi; bu aralıktaki tam sayılar -3, -2, -1, 0, 1, 2'dir, yani altı tanedir. En güvenilir yol, aralığın içindeki en küçük ve en büyük tam sayıyı bulup aradakileri saymaktır.

Uçlar tam sayıysa ve uçlar sayılmıyorsa kısa bir formül işe yarar: a ile b arasındaki (a ve b hariç) tam sayıların sayısı b - a - 1'dir. -5 ile -1 arasında -1 - (-5) - 1 = 3 tam sayı vardır: -4, -3, -2. Kancadaki asansör de böyle sayılır: -2'den 3'e çıkarken arada 3 - (-2) - 1 = 4 kat geçer, yani -1, 0, 1 ve 2. Uçlar dahilse sayı b - a + 1 olur. Formülü kullanmadan önce uçların dahil olup olmadığını soru kökünden mutlaka oku.

Görsel harita

Kapsama sırası

1. Sayma sayıları doğal sayıların içindedir.
2. Doğal sayılar tam sayıların içindedir.
3. Tam sayılar rasyonel sayıların içindedir.
4. Rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayıları oluşturur.
5. Rasyonel ile irrasyonel kümelerinin ortak elemanı yoktur.

Sınav gözüyle

Sayı kümeleri soruları çoğunlukla bir sınıflandırma ister: "Aşağıdakilerden hangisi rasyonel değildir?" ya da "Hangisi doğal sayıdır?" Bu sorularda çeldirici, biçimi yanıltan sayılardır. √16 kök işareti taşıdığı için irrasyonel sanılabilir, ama 4'e eşittir ve bir doğal sayıdır. 0,333... sonsuz olduğu için irrasyonel sanılabilir, ama devirlidir ve rasyoneldir. Bir sayıyı sınıflandırmadan önce onu en sade biçimine getir.

Sayı doğrusu sorularında ise en sık hata negatif sayıları sıralamaktır. -7 sayısı 7 rakamı büyük olduğu için -2'den büyük sanılabilir; oysa sıfırdan daha uzaktadır ve daha küçüktür. Aralıktaki tam sayıları sayarken de uçların dahil olup olmadığını gözden kaçırmak, cevabı bir ya da iki farkla kaydırır.

Hafıza kancaları

• "Sıfır doğaldır, ama pozitif değildir" — en küçük doğal sayı 0, en küçük pozitif tam sayı 1.
• "Halkalar içe doğru" — sayma ⊂ doğal ⊂ tam ⊂ rasyonel ⊂ gerçek.
• "Devirli de rasyoneldir" — 0,333... = 1/3.
• "Önce sadeleştir, sonra sınıflandır" — √16 = 4.
• "Negatifte uzak olan küçüktür" — -7 < -2.

Mini test

1. (kolay) Aşağıdakilerden hangisi bir doğal sayı değildir?

A) -1 B) 0 C) 7 D) 12 E) 100

2. (kolay) Aşağıdakilerden hangisi irrasyonel bir sayıdır?

A) √9 B) 0,25 C) -4 D) √5 E) 2/3

3. (orta) -3,5 ile 2,7 arasında kaç tam sayı vardır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 8

4. (orta) -2/3, -1/2 ve -3/4 sayılarının küçükten büyüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) -1/2 < -2/3 < -3/4 B) -2/3 < -1/2 < -3/4 C) -1/2 < -3/4 < -2/3 D) -3/4 < -1/2 < -2/3 E) -3/4 < -2/3 < -1/2

5. (sınav) Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) Her tam sayı bir doğal sayıdır. B) Her rasyonel sayı bir tam sayıdır. C) Her doğal sayı bir rasyonel sayıdır. D) Sıfır pozitif bir tam sayıdır. E) √16 irrasyonel bir sayıdır.

Cevaplar

1. A — -1 negatif bir tam sayıdır; doğal sayılar sıfırdan başlar.
2. D — 5 tam kare değildir, bu yüzden √5 irrasyoneldir; √9 = 3, 0,25 = 1/4, -4 ve 2/3 rasyoneldir.
3. B — Aralıktaki tam sayılar -3, -2, -1, 0, 1 ve 2'dir.
4. E — Ondalık değerler -0,75, yaklaşık -0,67 ve -0,5'tir; sıfıra en uzak olan en küçüktür.
5. C — Doğal sayılar tam sayıların, tam sayılar da rasyonel sayıların içindedir; öbür ifadeler kapsama yönünü ters kurar ya da sıfırı ve √16'yı yanlış sınıflandırır.

Özet kartı

• Doğal sayılar 0'dan başlar; sayma sayıları 1'den.
• Tam sayılar negatifleri de içerir; sıfır ne pozitif ne negatiftir.
• Rasyonel sayılar a/b (b ≠ 0) biçiminde yazılır; ondalıkları sonlu ya da devirlidir.
• İrrasyonel sayıların ondalığı sonsuz ve devirsizdir: √2, √5, π.
• Gerçek sayılar rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir.
• Sayı doğrusunda sağa gidildikçe sayılar büyür; negatiflerde sıfıra uzak olan küçüktür.
• a ile b arasında (uçlar hariç) b - a - 1 tam sayı vardır; uçlar dahilse b - a + 1.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Sayıları tanıdık ve sıraya dizdik. Sıradaki adım, bu sayılarla işlem yapmak. Ama birden çok işlemin bir arada geçtiği bir ifadede hangi işlemin önce yapılacağı, sonucu tamamen değiştirebilir: 2 + 3 × 4 ifadesinin sonucu 20 değil 14'tür. Ders 2.1.2, "Dört işlem ve işlem önceliği", dört işlemi ve parantez, çarpma-bölme, toplama-çıkarma arasındaki öncelik sırasını ele alıyor.