Koşullu önermeler ve “kesinlikle doğrudur” mantığı

Kanca

Valilik bir duyuru yapıyor: "Kar yağarsa okullar tatil edilir." Ertesi sabah okulların tatil edildiğini öğreniyorsun. Kar yağmış mıdır?

Çoğu insan hemen "evet" der. Oysa duyuru yalnız karın ne doğuracağını söylüyor; okulların başka bir nedenle, örneğin bir su kesintisi yüzünden tatil edilmesini yasaklamıyor. Kar yağdığını bu bilgiyle kesin olarak bilemezsin. Ama okulların açık olduğunu öğrenseydin, kar yağmadığını kesin olarak söyleyebilirdin. Bu ders, "ise" ile kurulan cümlelerin hangi sonuçlara izin verip hangilerine vermediğini, sözel mantık setlerinin "kesinlikle doğrudur" sorularında bu farkın nasıl kullanıldığını öğretiyor.

Büyük resim

Sözel mantık setlerinin bir kısmı ipuçlarını koşul cümleleriyle verir: "Arda katılırsa Burcu da katılır", "Cem katılmazsa Derya katılır". Bu cümlelerin her biri bir koşul önermesidir: bir durum (koşul) gerçekleşirse başka bir durum (sonuç) da gerçekleşir. Matematikte bu yapı "p ise q" diye yazılır.

Koşul önermesinden dört farklı çıkarım yapılabilir gibi görünür, ama yalnız ikisi geçerlidir. Sınav, geçersiz iki çıkarımı çeldirici olarak kullanmayı sever. Ayrıca bu derste, 1.11.2 ve 1.11.3'te birden çok çözüm veren setlerde kullandığımız "kesinlikle doğrudur", "olabilir" ve "kesinlikle yanlıştır" ayrımı da kurallarıyla birlikte tamamlanıyor.

Kavram çekirdeği

Koşul ve sonuç

"Kar yağarsa okullar tatil edilir" önermesinde "kar yağar" koşul, "okullar tatil edilir" sonuçtur. Önerme yalnız şunu söyler: koşul gerçekleşmişse sonuç da gerçekleşmiştir. Koşulun gerçekleşmediği durumda ne olacağı hakkında hiçbir şey söylemez.

Bu yüzden önermeyi okurken iki soru sor. Koşul gerçekleşti mi? Gerçekleştiyse sonuç kesindir. Sonuç gerçekleşmedi mi? Gerçekleşmediyse koşul da gerçekleşmemiştir; çünkü koşul gerçekleşmiş olsaydı sonuç da gerçekleşirdi.

İki geçerli, iki geçersiz çıkarım

Koşul önermesinden yapılabilecek dört çıkarımı "p ise q" yapısı üzerinden sırala.

Birinci çıkarım geçerlidir: p gerçekleşti, o hâlde q gerçekleşir. "Kar yağdı; okullar tatil." İkinci çıkarım da geçerlidir: q gerçekleşmedi, o hâlde p gerçekleşmedi. "Okullar açık; kar yağmamış." Bu ikinci çıkarıma önermenin karşıt tersi denir ve önermenin kendisiyle eşdeğerdir: "p ise q" ile "q değilse p değil" aynı bilgiyi taşır.

Üçüncü çıkarım geçersizdir: q gerçekleşti, o hâlde p gerçekleşti. "Okullar tatil; kar yağmış." Bu, önermenin karşıtını (q ise p) doğru saymaktır. Dördüncü çıkarım da geçersizdir: p gerçekleşmedi, o hâlde q gerçekleşmedi. "Kar yağmadı; okullar açık." Bu, önermenin tersini (p değilse q değil) doğru saymaktır. Kancadaki yanılgı üçüncü çıkarımdır.

"Ancak", "yalnızca" ve yön değişimi

Bazı sözcükler koşulun yönünü tersine çevirir ve sınavın en ince tuzaklarından birini kurar. "Bilet alırsan konsere girersin" önermesi, bileti girişin koşulu yapar. "Ancak bilet alırsan konsere girersin" önermesi ise bileti girişin gereği yapar: konsere girdiysen bilet almışsındır. Başka bir deyişle "ancak p ise q" önermesi "q ise p" anlamına gelir.

"Yalnızca", "sadece" ve "-madıkça" yapıları da aynı yönü kurar: "Bilet almadıkça konsere giremezsin" önermesi, "konsere girdiysen bilet almışsındır" demektir. Bu sözcükleri gördüğünde önermeyi önce "q ise p" biçimine çevir, sonra iki geçerli çıkarımı uygula.

Zincir kurma

İki koşul önermesi ortak bir halkayla birbirine bağlanabilir. "Arda katılırsa Burcu katılır" ve "Burcu katılırsa Cem katılmaz" önermeleri birlikte "Arda katılırsa Cem katılmaz" sonucunu verir. Zincir karşıt terslerle geriye doğru da yürür: "Cem katıldıysa Burcu katılmamıştır; Burcu katılmadıysa Arda da katılmamıştır."

Zincirler, "kesinlikle doğrudur" sorularının en güçlü aracıdır. Bir kişinin katılıp katılmadığını doğrudan söyleyen bir ipucu olmasa bile, iki zincirin iki ucu aynı sonuca varıyorsa o sonuç kesindir. Mini testteki setin üçüncü sorusu tam olarak bunu sınar.

Kesinlikle doğru, olabilir, kesinlikle yanlış

Birden çok duruma izin veren setlerde üç kalıp sorulur ve her biri olası durumlara farklı biçimde bakar. "Kesinlikle doğrudur" denen bilgi, olası durumların hepsinde doğrudur. "Olabilir" denen bilgi, en az bir durumda doğrudur. "Kesinlikle yanlıştır" denen bilgi ise hiçbir durumda doğru değildir.

Bu tanımlar bir sınama yolu da verir. Bir seçeneğin "kesinlikle doğru" olmadığını göstermek için onu yanlış yapan tek bir olası durum bulmak yeter. Bir seçeneğin "kesinlikle yanlış" olmadığını göstermek için ise onu doğru yapan tek bir olası durum bulmak yeter. Sınavda seçenekleri elerken bu tek karşı örneği aramak, bütün durumları baştan çıkarmaktan daha hızlıdır.

Görsel harita

Koşullu set çözüm sırası

1. Her koşul önermesini "p ise q" biçiminde yaz; "ancak, yalnızca, -madıkça" varsa yönü çevir.
2. Her önermenin karşıt tersini yanına yaz.
3. Ortak halkalarla zincir kur.
4. Sayı koşullarıyla (en az, en fazla) birlikte olası durumları çıkar.
5. "Kesinlikle", "olabilir", "kesinlikle yanlış" sorularını durumların hepsine, en az birine ve hiçbirine göre cevapla.

Sınav gözüyle

Koşullu önerme sorularında doğru cevap çoğu zaman karşıt terstir ve çeldiricilerin en güçlüsü karşıttır. "Arda katılırsa Burcu katılır" önermesinin altında "Burcu katıldıysa Arda katılmıştır" seçeneği kulağa doğru gelir, ama geçersizdir. "Burcu katılmadıysa Arda katılmamıştır" seçeneği ise ilk okuyuşta dolambaçlı görünür, ama tek geçerli sonuçtur.

İkinci tuzak "ancak" sözcüğüdür. "Ancak Burcu katılırsa Arda katılır" önermesini "Burcu katılırsa Arda katılır" diye okuyan aday, yönü ters kurar. Bu sözcüğü gördüğünde önermeyi yeniden yazmadan seçeneklere geçme.

Hafıza kancaları

• "Koşul varsa sonuç var" — kar yağdı, okullar tatil.
• "Sonuç yoksa koşul yok" — okullar açık, kar yağmamış.
• "Sonuç var diye koşul var denmez" — karşıt geçersizdir.
• "Ancak yönü çevirir" — ancak p ise q, q ise p demektir.
• "Hepsinde doğru, birinde doğru, hiçbirinde doğru değil" — kesinlikle, olabilir, kesinlikle yanlış.

Mini test

Aşağıdaki bilgilere göre 1–5. soruları cevaplayınız.

Arda, Burcu, Cem ve Derya'dan bazıları bir toplantıya katılmıştır. Toplantıya en az iki kişi katılmıştır. Arda katılırsa Burcu da katılır. Cem katılmazsa Derya katılır. Burcu katılırsa Cem katılmaz.

1. (kolay) Arda toplantıya katıldıysa aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Cem katılmıştır. B) Burcu katılmıştır. C) Derya katılmamıştır. D) Cem ile Burcu katılmıştır. E) Toplantıya yalnız Arda katılmıştır.

2. (kolay) Burcu toplantıya katılmadıysa aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Cem katılmamıştır. B) Derya katılmamıştır. C) Arda katılmamıştır. D) Arda katılmıştır. E) Toplantıya üç kişi katılmıştır.

3. (orta) Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Arda katılmıştır. B) Cem katılmamıştır. C) Burcu katılmıştır. D) Derya katılmıştır. E) Toplantıya en az üç kişi katılmıştır.

4. (orta) Cem toplantıya katıldıysa toplantıya kaç kişi katılmıştır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) Kesin olarak bilinemez

5. (sınav) Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

A) Arda ile Derya toplantıya katılmıştır. B) Cem katılmış, Arda katılmamıştır. C) Burcu katılmış, Arda katılmamıştır. D) Toplantıya üç kişi katılmıştır. E) Cem ile Burcu toplantıya birlikte katılmıştır.

Cevaplar

1. B — "Arda katılırsa Burcu katılır" önermesinde koşul gerçekleşmiştir; sonuç kesindir.
2. C — Aynı önermenin karşıt tersi: Burcu katılmadıysa Arda da katılmamıştır.
3. D — Cem katılmadıysa Derya katılır. Cem katıldıysa Burcu katılmamıştır, Burcu katılmadıysa Arda da katılmamıştır; toplantıda en az iki kişi olduğu için ikinci kişi Derya'dır. İki durumda da Derya katılmıştır. Olası katılımlar Cem-Derya, Burcu-Derya ve Arda-Burcu-Derya'dır; öbür seçenekler bunlardan en az birinde yanlıştır.
4. A — Cem katılınca Burcu ve Arda katılamaz; en az iki kişi koşulu Derya'yı ekler. Toplantıda Cem ve Derya, yani iki kişi vardır.
5. E — "Burcu katılırsa Cem katılmaz" önermesi ikisinin birlikte katılmasına hiçbir durumda izin vermez. A, D (Arda-Burcu-Derya), B (Cem-Derya) ve C (Burcu-Derya) en az bir durumda gerçekleşir.

Özet kartı

• "p ise q" önermesi: koşul gerçekleşirse sonuç gerçekleşir; koşul gerçekleşmezse bir şey söylemez.
• Geçerli çıkarımlar: p ise q; q değilse p değil (karşıt ters).
• Geçersiz çıkarımlar: q ise p (karşıt); p değilse q değil (ters).
• "Ancak, yalnızca, -madıkça" yönü çevirir: "ancak p ise q" = "q ise p".
• Ortak halkalı önermeler zincir kurar; zincir karşıt terslerle geriye de yürür.
• Kesinlikle doğru: bütün durumlarda; olabilir: en az bir durumda; kesinlikle yanlış: hiçbir durumda.
• Bir seçeneği elemek için tek bir karşı örnek durum yeter.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste bütün bilgiler cümlelerle verildi: "Arda katılırsa", "Cem katılmazsa". Bazı setlerde ise bilginin bir kısmı bir tabloda, bir şemada ya da bir grafikte durur ve sözel ipuçları bu görseli okumayı gerektirir. Ders 1.11.5, "Şekil, tablo ve grafikle verilen sözel mantık", görsel olarak verilen verinin nasıl okunacağını ve sözel ipuçlarıyla nasıl birleştirileceğini ele alıyor.