Eşleştirme ve gruplama soruları

Kanca

Bir okulun spor gününde altı öğrenci iki takıma ayrılıyor: Kırmızı ve Mavi, her takımda üç kişi. Öğretmenin notları şöyle: Ayşe ile Bora aynı takımda olmayacak. Cenk, Ayşe'nin takımında olacak. Duru Mavi takımda. Ege ile Filiz aynı takımda olacak.

Bu soruda kimse birinci ya da sonuncu değil; sıra yok. Herkesin tek bir eşi de yok; bir takımda üç kişi var. 1.11.1'deki birebir ızgara da 1.11.2'deki şerit de bu yapıya tam oturmaz. Burada sorulan, kimin kiminle aynı kutuya girdiğidir. Bu derste böyle setlerin çözüm yolu kuruluyor: önce birlikte olması gerekenleri paketle, sonra paketleri kutuların kapasitesine göre yerleştir.

Büyük resim

Gruplama sorularında kişiler ya da nesneler birkaç gruba dağıtılır: takımlar, kulüpler, raflar, otobüsler. Eşleştirmeden farkı, bir gruba birden çok kişinin girebilmesidir. Bu yüzden ızgaradaki "her sütunda tek ✓" kuralı burada işlemez; yerini sayı koşulları alır: "her takımda üç kişi", "satranç kulübünde tam iki kişi", "her kulüpte en az bir kişi".

Gruplama setlerinin ipuçları üç türlüdür. Birliktelik ipuçları iki kişiyi aynı gruba bağlar. Ayrılık ipuçları iki kişiyi farklı gruplara koyar. Sayı ipuçları ise bir grubun kaç kişi alabileceğini söyler. Çözümün anahtarı, bu üç türü bir arada kullanmaktır: birlikte olması gerekenler bir paket olur, paketin büyüklüğü ise hangi gruba sığabileceğini belirler.

Kavram çekirdeği

Grup tablosu

Gruplama setinde tablo, ızgaranın biraz değişmiş bir biçimidir. Satırlara kişileri, sütunlara grupları yaz; her satırda yine tek ✓ vardır, çünkü her kişi tek bir gruptadır. Ama sütunlarda birden çok ✓ olabilir. Her sütunun altına o grubun alabileceği kişi sayısını yaz ve doldukça say. Bir sütun dolunca o sütunun kalan boş kutuları ✗ olur.

Önce paketle

Birliktelik ipuçları en güçlü ipuçlarıdır, çünkü iki kişiyi tek bir birime dönüştürür. "Cenk, Ayşe'nin takımında" ve "Ege ile Filiz aynı takımda" ipuçları iki paket kurar: Ayşe-Cenk ve Ege-Filiz. Bundan sonra altı kişi değil, iki paket ve iki tek kişi (Bora, Duru) yerleştirilir.

Paketin büyüklüğü ile grubun kapasitesi karşılaştırılır. Her takım üç kişi alır. Ayşe-Cenk paketine Ege-Filiz paketi katılamaz, çünkü takım dört kişi olur. Bu tek gözlem, iki paketin farklı takımlarda olduğunu kesinleştirir.

Ayrılık ipuçları ve sabitler

Ayrılık ipuçları paketleri birbirinden uzak tutar. "Ayşe ile Bora aynı takımda değil" ipucu, Bora'yı Ayşe-Cenk paketinin dışına iter. Bora öbür takıma, yani Ege-Filiz paketinin yanına gider; o takım üç kişiyle dolar: Bora, Ege, Filiz. Duru'ya Ayşe-Cenk paketinin yanı kalır.

Sabit ipucu en sonda takımların adlarını belirler. "Duru Mavi takımda" ipucuna göre Duru'nun takımı, yani Ayşe, Cenk ve Duru, Mavi takımdır. Bora, Ege ve Filiz Kırmızı takımdadır. Dikkat edilirse sabit ipucu ilk işlenseydi de sonuç değişmezdi, ama paketler kurulmadan Duru'nun yanına kimin geleceği belli olmazdı.

Sayı koşullarının dili

Sayı ipuçları üç biçimde gelir ve her biri ayrı işlenir. "Tam iki kişi" bir eşitliktir: sütun iki ✓ alınca kapanır, ikiden az kalırsa çözüm geçersizdir. "En az bir kişi" bir alt sınırdır: hiçbir grup boş kalamaz, ama kaç kişi alacağı açık kalır. "En fazla üç kişi" bir üst sınırdır: sütun üçe ulaşınca kapanır.

"Her kulüpte en az bir kişi var" gibi bir koşul tek başına zayıf görünür, ama setin sonuna doğru çoğu zaman belirleyici olur: son kişileri yerleştirirken boş kalan bir grup varsa, kalan kişilerden biri mutlaka oraya gitmelidir.

Birden çok çözümle çalışmak

1.11.2'deki şeritlerde olduğu gibi, gruplama setleri de çoğu zaman tek bir dağılım vermez. Bu durumda olası dağılımları vaka vaka çıkar. En verimli yol, en büyük paketi ya da en kısıtlı kişiyi seçip onun gidebileceği grupları tek tek denemektir. Her vaka, öbür ipuçlarıyla birlikte ya bir ya da birkaç dağılım verir ya da çelişkiyle düşer. Bütün vakalar çıkınca sorular bu dağılımlara karşı sınanır.

Görsel harita

Gruplama sorusu çözüm sırası

1. Grupları, her grubun kapasitesini ve "en az, en fazla, tam" koşullarını yaz.
2. Birliktelik ipuçlarıyla paketleri kur.
3. Paket büyüklüğünü kapasiteyle karşılaştır; sığmayan birleşmeleri ele.
4. Ayrılık ipuçlarıyla paketleri ve tek kişileri ayır; sabit ipuçlarıyla grupların adlarını yerleştir.
5. Birden çok dağılım kalırsa en kısıtlı kişiden başlayarak vakaları çıkar ve hepsini sakla.

Sınav gözüyle

Gruplama setlerinde en sık hata, sayı koşulunu çözümün sonunda kontrol etmeyi unutmaktır. Aday ipuçlarına uyan bir dağılım bulur, ama bir grubun boş kaldığını ya da "tam iki kişi" koşulunun üç kişiyle aşıldığını fark etmez. Her dağılımı bitirdiğinde sütun sayılarına bir kez daha bakmak bu hatayı önler.

İkinci hata, ayrılık ipucunu bir birliktelik bilgisine çevirmektir. "Kaan ile Lale farklı kulüplerde" ipucu, Kaan'ın nerede olduğunu söylemez; yalnız Lale ile aynı yerde olmadığını söyler. İki grup varsa bu ipucu güçlüdür: biri birindeyse öbürü ötekindedir. Üç grup varsa yalnız bir kutuyu kapatır.

Hafıza kancaları

• "Birliktelik paket kurar" — Ayşe-Cenk, Ege-Filiz.
• "Kapasite de ipucudur" — üç kişilik takıma dört kişi girmez.
• "Tam, en az, en fazla: üç ayrı sayı" — eşitlik, alt sınır, üst sınır.
• "Ayrılık yalnız bir kutuyu kapatır" — iki grup yoksa yerini söylemez.
• "Bitince sütunları say" — her dağılımı sayı koşuluyla denetle.

Mini test

Aşağıdaki bilgilere göre 1–5. soruları cevaplayınız.

Gül, Hasan, İpek, Kaan ve Lale; satranç, tiyatro ve müzik kulüplerinden yalnız birine katılmıştır. Her kulüpte en az bir kişi vardır. Satranç kulübünde tam iki kişi vardır. Gül ile Hasan aynı kulüptedir. İpek tiyatro kulübünde değildir. Kaan ile Lale farklı kulüplerdedir. Hasan müzik kulübünde değildir.

1. (kolay) Gül hangi kulüpte olamaz?

A) Satranç B) Tiyatro C) Müzik D) Satranç ve tiyatro E) Hiçbiri

2. (kolay) Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Gül satranç kulübündedir. B) Lale müzik kulübündedir. C) Tiyatro kulübünde bir kişi vardır. D) Kaan ile Lale'den biri müzik kulübündedir. E) İpek müzik kulübündedir.

3. (orta) İpek satranç kulübündeyse aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) Kaan satranç kulübündedir. B) Gül ile Hasan tiyatro kulübündedir. C) Lale müzik kulübündedir. D) Kaan müzik kulübündedir. E) Lale satranç kulübündedir.

4. (orta) Aşağıdakilerden hangisi bilinirse kulüplere dağılım kesin olarak belirlenir?

A) Lale'nin müzik kulübünde olduğu B) Gül'ün satranç kulübünde olduğu C) İpek'in müzik kulübünde olduğu D) Hasan'ın tiyatro kulübünde olduğu E) Kaan'ın tiyatro kulübünde olduğu

5. (sınav) Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

A) Hasan ile İpek aynı kulüptedir. B) Kaan satranç kulübündedir. C) Lale tiyatro kulübündedir. D) Gül tiyatro kulübündedir. E) İpek müzik kulübündedir.

Cevaplar

1. C — Hasan müzikte değildir ve Gül onunla aynı kulüptedir; Gül de müzikte olamaz.
2. D — Set dört dağılıma izin verir. Gül-Hasan satrançtaysa İpek müziğe gider ve Kaan ile Lale tiyatro ve müziğe dağılır. Gül-Hasan tiyatrodaysa İpek satrançtadır ve Kaan ile Lale'den biri satranca, öbürü müziğe gider. Dört dağılımın hepsinde Kaan ya da Lale müziktedir.
3. B — İpek satrançtaysa Gül-Hasan satranca giremez, çünkü satrançta tam iki kişi vardır ve paket iki kişiliktir; Hasan müzikte de olamadığı için ikisi tiyatroya gider.
4. E — Kaan'ın tiyatroda olduğu yalnız bir dağılımda gerçekleşir: Gül ve Hasan satrançta, Kaan tiyatroda, İpek ve Lale müzikte. Öbür bilgilerin her biri iki dağılıma uyar.
5. A — İpek ya müzikte ya satrançtadır, Hasan ise bu iki kulübün hiçbirinde İpek'le birlikte bulunmaz: Hasan satrançtayken İpek müziğe, Hasan tiyatrodayken İpek satranca gider.

Özet kartı

• Gruplamada bir gruba birden çok kişi girer; sütunlarda sayı koşulları geçerlidir.
• Grup tablosu: satırda kişiler, sütunda gruplar, sütun altında kapasite.
• Birliktelik ipuçları paket kurar; paketin büyüklüğü kapasiteyle karşılaştırılır.
• Ayrılık ipuçları iki gruplu sette güçlüdür, üç gruplu sette yalnız bir kutuyu kapatır.
• "Tam", "en az" ve "en fazla" üç ayrı sayı koşuludur; her dağılımın sonunda denetlenir.
• Birden çok dağılım varsa en kısıtlı kişiden başlayarak vakalar çıkarılır ve hepsi saklanır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Mini testin üçüncü sorusu bir koşulla başlıyordu: "İpek satranç kulübündeyse". Bu soruyu çözerken bir önerme kurduk: İpek satrançtaysa Gül ile Hasan tiyatrodadır. Sözel mantık setlerinin önemli bir kısmı böyle "ise" önermeleriyle verilir ve bu önermelerden neyin çıkıp neyin çıkmadığı sanıldığından daha inceliklidir. Ders 1.11.4, "Koşullu önermeler ve 'kesinlikle doğrudur' mantığı", "ise" cümlelerinin hangi sonuçlara izin verdiğini ve hangi çıkarımların yanıltıcı olduğunu ele alıyor.