Hücre Boyutu ve Yüzey–Hacim Oranı

Pembeleşen küpler

Perşembe sabahı, dokuzu yirmi geçiyor. Poyraz geri dönmüş, histoloji laboratuvarının camları yine titriyor. Emel Hanım'ın tezgâhında, biyokimya laboratuvarından bir günlüğüne alınmış bir beher duruyor; içinde seyreltik bir sodyum hidroksit çözeltisi. Yanında, akşamdan dökülüp kesilmiş iki agar küpü var: birinin kenarı bir, ötekinin iki santimetre. Agarın içine fenolftalein karıştırılmış; bu boya bazla karşılaşınca pembeleşir.

"Çarşamba bir soru sordun," diyor Emel Hanım, küpleri çözeltiye bırakırken. "Bakteri neden küçük kalıyor? Cevabı mikroskopta değil, bu beherde arayacağız." Umay saati tutuyor. Birkaç dakika içinde iki küpün de yüzeyi pembeleşiyor, renk dışarıdan içeriye doğru ilerliyor. On dakika dolunca Emel Hanım küpleri çıkarıp pazartesinin jiletiyle ortadan ikiye kesiyor. Küçük küpün kesitinde beyaz yalnızca ortada ince bir çizgi olarak kalmış. Büyüğün ortasında ise geniş, bembeyaz bir kare duruyor, çevresinde pembe bir çerçeve. "Renk ikisine de aynı hızla girdi," diyor Emel Hanım. "Fark, gitmesi gereken yolda."

Bu derste ne olacak

Yüzey ile hacmin büyüme hızlarını hücre ölçeğinde hesaplayacak, bunu difüzyonun merkeze varış süresiyle birleştireceğiz. Sonra hücrelerin bu sınırla baş etme yollarına bakacağız: yassılaşmak ya da uzamak, zarı kıvırmak, bölünmek ve içini bölmelere ayırmak.

Metin

Aynı hesap, bu kez mikrometrede

Güç Yasaları dersinde (L02-P01-M02-D05) yüzey–hacim oranını tanımlamış, kenarı bir, iki ve dört santimetre olan doku küplerinde oranın 6, 3 ve 1,5'e indiğini hesaplamıştık. Kural uzunluk biriminden bağımsızdı; aynı hesabı hücrelerin boyuna taşıyalım. Kenarı 1 mikrometre olan bir küpün yüzeyi 6 × 1 × 1 = 6 mikrometrekare, hacmi 1 mikrometreküptür ve oran 6 ÷ 1 = 6'dır. Kenar 2 mikrometreye çıkınca yüzey 24, hacim 8 olur, oran 24 ÷ 8 = 3'e iner. Kenar 10 mikrometre olduğunda yüzey 600, hacim 1000 mikrometreküp olur ve oran 600 ÷ 1000 = 0,6'ya düşer.

Oranın birimi "mikrometrekare bölü mikrometreküp", yani bölü mikrometredir; bu yüzden oran kenarın tersiyle ölçeklenir. Genel yazımla küpte oran 6 ÷ a olur. Hücreler küpten çok küreye benzer ve OpenStax'in Biology kitabı küre için iki formülü verir: yüzey 4πr², hacim 4πr³ ÷ 3. Birincisini ikincisine böldüğümüzde π'ler ve r²'ler sadeleşir, geriye 3 ÷ r kalır. Wikipedia'nın yüzey–hacim oranı maddesi de küp için 6 ÷ a, küre için 3 ÷ r verir. Yarıçapı 1 mikrometre olan bir kürede oran 3, 10 mikrometre olanda 0,3'tür. Yarıçap on katına çıkınca hacmin her birimine düşen zar onda bire iner.

OpenStax bu sonucu hücre diliyle yazar: yarıçap büyüdükçe yüzey yarıçapın karesiyle, hacim küpüyle, yani çok daha hızlı artar; hücre büyüdükçe yüzey–hacim oranı düşer. Besin, oksijen ve iyon içeriye zardan girer, atıklar zardan çıkar; bunları kullanan ve üreten ise hacimdir.

Merkeze varış süresi

Geometri sorunun yalnız yarısıdır. Zardan içeri giren bir molekül hücrenin içinde de yol almak zorundadır, ve o yolu çoğunlukla ısıl hareketle, difüzyonla kat eder. Brown Hareketi dersinde tek boyutlu yayılma için t = x² ÷ (2D) bağıntısını kurmuş, sudaki glukozun difüzyon katsayısını 25 °C'de yaklaşık 6,7 × 10⁻¹⁰ metrekare bölü saniye almıştık. Paydadaki 2D bu durumda 1,34 × 10⁻⁹ olur.

Yarıçapı 5 mikrometre olan küresel bir hücrede zardan merkeze uzanan yol 5 × 10⁻⁶ metredir. Karesi 25 × 10⁻¹² eder ve 25 × 10⁻¹² ÷ 1,34 × 10⁻⁹ ≈ 0,019 saniye bulunur. Yarıçap 10 mikrometreye çıkınca pay 100 × 10⁻¹² olur ve süre 100 × 10⁻¹² ÷ 1,34 × 10⁻⁹ ≈ 0,075 saniyeye çıkar. Yarıçap iki katına çıktı, süre (10 ÷ 5)² = 4 katına.

Umay'ın agar küplerinde görülen de buydu: renk iki küpün yüzeyinden aynı hızla girdi, ama büyük küpün merkezi yüzeyden iki kat uzaktaydı ve oraya varmak için dört kat süre gerekiyordu. Bir hücre büyüdükçe iki şey aynı anda kötüleşir. Hacmin her birimine düşen zar azalır ve zardan giren molekülün en uzak noktaya varış süresi yarıçapın karesiyle uzar. Fick Yasası dersi bu ikisinin birlikte hücre boyuna bir tavan koyduğunu söylemişti.

Hesabın bir sınırı var. Glukozun katsayısı sudaki değerdir, oysa Fick Yasası dersinin kanıt kartı kalabalık hücre içinde basit orantının saptığını not etmişti. Sayılar bir tahmindir; yarıçap iki katına çıkınca sürenin dört katına çıkması ise katsayının değerinden bağımsızdır, çünkü D oranda sadeleşir.

Tipik boyutlar ve bir istisna

Hücrelerin çoğu bu sınırın içinde kalır. Prokaryot ve Ökaryot Hücre dersinde kaynakların tipik boy aralıklarını farklı çizdiğini, ortak kalanın yalnız yön olduğunu görmüştük: ökaryotlar genellikle daha iri hücrelerdir. Bakteri tarafında iki kaynak aynı bölgeyi gösterir. Jean-Marie Volland ve arkadaşlarının 2022'de Science'ta yayımladığı çalışmanın özeti çoğu bakterinin boyunu 2 mikrometre dolayında verir; Wikipedia'nın prokaryot maddesindeki 1 ile 10 mikrometrelik tipik aralık da bu değeri içerir. İki kaynak da en büyük bilinen örnekleri 750 mikrometreye kadar çıkarır.

Aynı Science makalesi bu tavanı delen bir bakteriyi tanımlar. Candidatus Thiomargarita magnifica'nın hücreleri ortalamada 9000 mikrometreyi aşar; Wikipedia'nın maddesi ortalama boyu bir santimetre verir, yani hücre çıplak gözle görülür. Yazarlar bu boyun bakteri hücresi için hesaplanan kuramsal sınırların birkaç mertebe üstünde olduğunu yazar.

Bakterinin bunu nasıl başardığı, dersin geri kalanının habercisidir. Wikipedia'nın maddesi ile Small Things Considered adlı mikrobiyoloji blogundaki tanıtım yazısı aynı resmi çizer: hücrenin hacminin çoğunu dev bir vakuol kaplar ve canlı sitoplazma duvarın hemen altında birkaç mikrometrelik ince bir katmana sıkışır. Hücre uzundur, ama her molekül zara birkaç mikrometre uzaklıktadır. Volland ve arkadaşları buna bir şey daha ekler: bakterinin DNA'sı ve ribozomları zarla çevrili bölmelerin içindedir. Prokaryotu tanımlarken "zarla sınırlanmış iç bölmeler taşımaz" demiştik; bu bakteri o tanımın sınırında durur.

Yassı, uzun, kıvrımlı

İnsan hücreleri de aynı geometriyle çalışır ve OpenStax'in Biology kitabı sınırı aşmanın yollarını sayar: hücre ya bölünür ya da zarını kıvırır, yassılaşır, ince ve uzun bir biçim alır ya da belirli işleri yapan organeller geliştirir.

Alyuvar yassılaşmanın örneğidir. OpenStax'in Anatomy and Physiology kitabı onu çevresi dolgun, ortası çok ince bir ikiçukur disk olarak tarif eder ve ortalama çapını 7 ile 8 mikrometre dolayında verir; Wikipedia'nın alyuvar maddesindeki 6,2 ile 8,2 mikrometrelik aralık bu değeri kapsar. İki kaynak da biçimin, hacmine göre geniş bir yüzey sağlayarak gaz alışverişini kolaylaştırdığını yazar. Prokaryot ve Ökaryot Hücre dersinde olgun alyuvarın çekirdek ve mitokondri taşımadığını anmıştık; hücre içini boşaltmış, biçimini ise gaz geçişine göre almıştır.

Sinir hücresi uzamanın örneğidir. OpenStax'in Biology kitabı bir motor nöronun aksonunun omurganın tabanından ayak parmaklarına, bir metre kadar uzanabildiğini yazar; Wikipedia'nın akson maddesi de siyatik sinirdeki aksonları bu yolla ve bir metreyi bulan boyla anar. Böyle bir hücrenin hacmi büyüktür, ama hacim ince bir silindir boyunca dağılmıştır. Uzun bir silindirin yan yüzeyi 2πrL, hacmi πr²L'dir; oran 2 ÷ r olur ve L sadeleşir. Akson uzadıkça oran değişmez; oranı büyüten yalnız incelmesidir.

Zar kıvrımları üçüncü yoldur. İnce bağırsağın iç yüzünü döşeyen hücrelerin bağırsak boşluğuna bakan zarı parmak gibi uzantılarla kaplıdır.

Wikipedia'nın mikrovillus maddesi ile OpenStax'in Anatomy and Physiology kitabı bu uzantıların yüzeyi büyüttüğünü yazar. Kaç kat büyüttüğünü önce kurgu bir geometriyle hesaplayalım. Bir hücrenin zarından 1 × 1 mikrometrelik düz bir kare parça alalım ve üstüne dört sıra dört, yani 16 silindir dikelim; her birinin yarıçapı 0,05, boyu 1 mikrometre olsun. Silindirin tepesi, dikildiği tabanın yerini tuttuğu için yeni yüzey yalnız yan yüzeydir: 2 × π × 0,05 × 1 ≈ 0,314 mikrometrekare. Kareye 16 × 0,314 ≈ 5,03 eklenir ve toplam 1 + 5,03 ≈ 6,03 mikrometrekare olur; aynı parça yaklaşık altı kat genişler. Eklenen hacim ise 16 × π × 0,05² × 1 ≈ 0,13 mikrometreküptür. Uzantıların boyu iki katına çıksa toplam 11,05'e varırdı.

Gerçek bağırsakta ölçülen yüzey ise kaynaklar arasında ayrışır. Ders kitapları ince bağırsağın dairesel kıvrımları, villusları ve mikrovillusları birlikte düşünüldüğünde iç yüzeyi yüzlerce metrekare olarak verir; OpenStax'in kitabı da bu mertebededir. Herbert Helander ile Lars Fändriks 2014'te Scandinavian Journal of Gastroenterology'de yayımladıkları çalışmada biyopsileri ışık ve elektron mikroskobunda ölçerek hesabı yeniden kurdular. Özetlerine göre sindirim kanalının bütün iç yüzeyi ortalama 32 metrekare dolayında çıktı; yayını duyuran ScienceDaily haberi de değeri 30 ile 40 metrekare arasında aktarır. Aradaki fark birkaç kattır ve ölçme yönteminden gelir. Mikrovillusun tek başına kaç kat kazandırdığını iki kaynağın doğruladığı bir sayıyla veremiyoruz; kıvrımın yüzeyi büyüttüğü ise tartışmasızdır.

Bölünmek ve bölmelere ayırmak

Bölünmenin geometrisi de hesaplanabilir. Bir küre, toplam hacmi değişmeden iki eşit küreye ayrılsın. Her yavru hacmin yarısını alır; hacim yarıçapın küpüyle ölçeklendiği için yavrunun yarıçapı annenin 1 ÷ ∛2 ≈ 0,794 katıdır. İki yavrunun toplam yüzeyi 2 × 0,794² ≈ 1,26 kat eder. Hacim aynı kaldı, zar yaklaşık dörtte bir büyüdü ve her yavrunun merkezi zara daha yakın. OpenStax'in "bölün ya da öl" diye özetlediği seçenek budur.

Son yol hücrenin içini düzenlemektir. OpenStax'in saydığı organeller ve Thiomargarita'nın zarlı bölmeleri aynı fikre işaret eder: iç zarlar, hücrenin içine yeni yüzeyler ve kendi içeriği olan ayrı ortamlar kurar. İç zarların hücrede neyi neyden ayırdığı sıradaki dersin sorusu olacak.

Kesitteki beyaz kare

Umay iki yarım küpü kâğıt havluya dizip cetvelle ölçüyor. Küçük küpte pembe her yandan merkeze neredeyse ulaşmış; büyükte beyaz kare hâlâ kenarının üçte biri kadar. Defterine "yarıçap × 2 → süre × 4" yazıyor, altına da kenarı 10 olan küpün oranını, 0,6'yı.

Emel Hanım bu arada iki lam çıkarıyor. İlki bir kan yayması: soluk ortalı, pembe diskler, hiçbirinde çekirdek yok. Öbürü ince bağırsaktan alınmış bir kesit. Büyük objektifte, bağırsak boşluğuna bakan hücrelerin serbest kenarında ince, parlak bir şerit görünüyor. "Fırçamsı kenar," diyor Emel Hanım. "Parmakları tek tek saymayı bekleme; pazartesinin ışık sınırını hatırla. Burada şerit görünüyor, kıllarını elektron mikroskobu ayırır." Umay okülerden başını kaldırıyor: "Bakteri küçük kalarak kurtuluyor. Biz büyüğüz, ama hücrenin içine duvarlar örüyoruz, değil mi?" Emel Hanım agar kalıntılarını çöpe atıp beheri biyokimyaya geri götürmek üzere ayırıyor.

Kendini sına

1. Kenarı 5 mikrometre olan bir küpün yüzey–hacim oranını hesapla ve bu dersteki 1, 2 ve 10 mikrometrelik küplerle karşılaştır. Oranın birimi neden "bölü mikrometre"dir?
2. Glukozun sudaki difüzyon katsayısıyla, yarıçapı 20 mikrometre olan küresel bir hücrede zardan merkeze varış süresini t = x² ÷ (2D) ile tahmin et. Sonucu 10 mikrometrelik hücreyle karşılaştır ve kaç kat olduğunu hesaplamadan önce söyle.
3. Kurgu mikrovillus hesabında uzantıların yarıçapını değiştirmeden sayısını 16'dan 32'ye çıkarsaydık yüzey kaç kat olurdu? Eklenen hacim nasıl değişirdi?
4. Alyuvar, akson ve Thiomargarita aynı sınırı üç farklı yolla karşılar. Her birinde zara olan uzaklığı küçük tutan geometrik özellik nedir?

Bir sonraki derse köprü

Umay'ın son sorusunda bir sezgi var: büyük bir hücre içine zarlar örerek yeni yüzeyler ve ayrı ortamlar kurabilir. Hücresel Bölmelendirme dersi bu sezgiyi sınayacak. Ökaryot hücrenin içini zarla çevrili organellere ayırmasına bölmelendirme (compartmentalization) denir; bu bölmeler yalnız yüzey mi kazandırır, yoksa birbiriyle karışmaması gereken kimyasal tepkimeleri de birbirinden mi ayırır?