Tek Ölçümden Trende Geçiş

Açılış sahnesi

Erzincan, aynı salı, öğleden sonra üçü yirmi geçe. Kâğıt şeritler hâlâ toplantı odasının masasında. Sadiye Hanım beyaz tahtaya altı sayı yazıyor: 110, 114, 113, 118, 121, 124. "Bunlar G-12'nin değil," diyor. "Ama gelecek baharda G-12'ye benzeyen biri böyle bir seri getirebilir. Her salıyı bir öncekiyle karşılaştır."

Atlas hesap makinesini alıyor. En büyük adım beş birim ve hiçbir çizgi 9,4'lük sınırı geçmiyor. Sonra ilk sayı ile son sayının arasına uzun bir çizgi çekip duraksıyor. "Bu çizgi geçiyor. Hangisine inanacağız?"

Sadiye Hanım cevap vermek yerine sabahki şeridi gösteriyor. "Bir de şunu düşün. G-07'nin 107'si serinin en yükseğiydi, ardından 93 geldi. O inişin ne kadarını 107'nin kendisi hazırladı?"

Bu derste ne olacak

İki sonucun farkı artık bir sınıra bağlı; bu ders ikiden fazla sonuca geçecek. Seri ortalamasının taşıdığı fazla bilgiyi hesaplayacak, küçük adımların birikmesini ve her adımı ayrı sınamanın bedelini göreceksin. Sonra doğrusal eğime ve kontrol çizelgesine bakacak, uçta duran bir sonuçtan sonraki inişin ne kadarının beklendiğini formülle bulacaksın.

Mekanizma

Ortalamanın bildiği

Vasani ve arkadaşları kişi içi değişkenliği, her bireyin kendine özgü homeostatik denge noktasının etrafındaki rastgele iniş çıkış diye tanımlar. Denge noktasının kendisi doğrudan ölçülemez; her salının sonucu ona dalgalanmanın ve cihazın payı eklenerek ulaşır. Modülün ilk dersinde G-07'nin on salısını ortalayıp 100'ü bu noktanın kestirimi saymış, tek bir sonucun toplam dağınıklığını yüzde 5,0 bulmuştuk.

Standart Hata dersinin kuralı burada kişinin kendi serisine uygulanır: ortalamanın belirsizliği, tek ölçümün dağınıklığının örneklem büyüklüğünün kareköküne bölümüdür. On sonuçta 5,0 ÷ √10 ≈ 1,58; tek bir sonuca göre 1 ÷ √10 ≈ 0,32 katına iner. Dört sonuçta 5,0 ÷ 2 = 2,5 olur. Lund, Hyltoft Petersen ve Fraser'ın 2019'da Annals of Clinical Biochemistry'de yayımladığı dinamik RCV modeli de denge noktasını ilk dört seri sonucun ortalamasıyla doğrular ve sonraki sonuçları tek bir önceki sonuçla değil, önceki sonuçların ortalamasıyla karşılaştırır.

Bu, önceki dersteki sınırın neden geniş olduğunu da açıklar. İki tek sonucun farkında her iki uç kendi gürültüsünü getirir; karşı tarafı bir ortalama olan farkta ise o tarafın gürültüsü √n kadar küçülmüştür. Kural, sonuçların aynı denge noktasından bağımsız dalgalanmalarla gelmesini ister; denge noktası seri boyunca kayıyorsa ortalama sabit bir şeyin kestirimi olmaktan çıkar.

Adımlar küçük, toplam büyük

Tahtadaki serinin adımları 4, −1, 5, 3 ve 3 birimdir. En büyüğü 5 ÷ 113 ≈ 0,044, yani yüzde 4,4; G-12 için hesaplanan 9,4'lük sınırın yarısına ulaşmaz. İlk ile son sonucun farkı ise 14'tür: 14 ÷ 110 ≈ 0,127, yani yüzde 12,7 ve sınırın yaklaşık 1,35 katı. Ardışık karşılaştırmaların hiçbiri bir yöne süren hareketi görmez, çünkü her biri önceki salıyı sıfır noktası sayar ve birikimi her hafta siler.

Ölçümün Temelleri modülünün son görevinde aynı yapıyla karşılaşmıştık: kontrol örneği beş gün üst üste biraz yükselmiş, sınır yalnız beşinci gün aşılmıştı. Orada kaynak cihazın kaymasıydı; burada kişinin denge noktası da olabilir.

İlk sonucu sabit tutup her yeni sonucu onunla karşılaştırmak birikimi görür, ama başka bir bedel öder. Lund, Petersen, Fraser ve Sölétormos 2015'te yayımladıkları iki simülasyon çalışmasında RCV kavramını ikiden fazla sonuca uygulamanın yanlış pozitif sayısını artırdığını gösterir; birikimli yanlış alarm olasılığını sabit tutmak için sınırı sonuç sayısı ve toplam CV ile genişleten çarpanlar hesaplamışlardır. Çoklu Karşılaştırma dersinde aile boyu hata oranını tek bir karara hizmet eden test ailesi için tanımlamıştık. On salılık bir serinin karşılaştırmaları da böyle bir ailedir; aynı noktaları paylaştıkları için bağımsız da değildirler ve artışın büyüklüğü basit bir üs hesabıyla değil, simülasyonla bulunur.

Bütün noktalar birlikte

Birikimi görmenin bir yolu, altı noktanın hepsinden tek bir doğru geçirmektir. Regresyon Doğrusu dersinde eğimi çapraz çarpımlar toplamının x'in sapma kareleri toplamına bölümü olarak kurmuştuk. Haftaları 0'dan 5'e numaralayınca x'in ortalaması 2,5, sonuçların ortalaması yaklaşık 116,7 olur. Çapraz çarpımlar toplamı 48, sapma kareleri toplamı 17,5 çıkar; eğim 48 ÷ 17,5 ≈ 2,74, yani haftada yaklaşık 2,7 birim.

Eğim adımların gürültüsünü ortalar: −1'lik geri adım doğrunun çevresindeki artıklardan biri olur. Katsayıların Yorumu dersindeki eğimin standart hatası burada da hesaplanabilir; artıkların standart sapması yaklaşık 1,39, eğimin standart hatası yaklaşık 0,33 çıkar ve eğim bunun sekiz katından fazladır. Formül artıkların bağımsız olduğunu varsayar; bir kişinin ardışık salıları birbirine benziyorsa standart hata olduğundan küçük görünür.

Aynı soruya endüstriden gelen ikinci bir araç da vardır. Wikipedia'daki kontrol çizelgesi maddesi aracı 1920'lerde Bell Laboratuvarları'nda çalışan Walter A. Shewhart'a bağlar: bir süreç istatistiği zamana karşı çizilir, bir merkez çizgisi ile üst ve alt kontrol sınırları eklenir; sınırın dışına düşen nokta ya da sınırların içindeki rastgele olmayan örüntü yeni bir değişkenlik kaynağının işareti sayılır. Benneyan, Lloyd ve Plsek 2003 derlemesinde çizelgeyi istatistiksel süreç kontrolünün temel aracı sayar; çıkış noktası, hiçbir şey yapılmasa da bir sonraki ölçümün iyileşmiş ya da kötüleşmiş görünebilmesidir.

Bir kişiye uygulandığında merkez çizgisi denge noktasının kestirimi, sınırlar ise kişinin kendi dalgalanmasıdır. Tennant ve arkadaşlarının 2007 tarihli sistematik derlemesi, klinik değişkenlerin bireysel hastada kontrol çizelgesiyle izlenmesini inceleyen yalnız yedi çalışma bulmuş ve bu kullanımı umut verici ama büyük ölçüde az araştırılmış saymıştır. Buradan alınacak ilke şu: tek noktanın uzaklığı ile noktaların dizilişi ayrı bilgilerdir.

Uçtan dönüş

Açılıştaki ikinci soru serinin tek bir noktasına bakar. L01'de sonradan oldu, o hâlde ondan oldu yanılgısını işlerken ortalamaya dönüşü görmüş ve insanların bir çareye en kötü anlarında başvurmasına başvuru anı sorunu demiştik. Barnett, van der Pols ve Dobson 2005'te etkinin ölçüm hatası büyüdükçe ve izlem başlangıç değerine göre seçilmiş bir alt grupta incelendikçe belirginleştiğini yazar.

Ostermann, Willich ve Lüdtke 2008'de BMC Medical Research Methodology'de iki ölçümün ortak ortalama ve ortak varyansla iki değişkenli normal dağıldığı durumda ikinci ölçümün, birincinin y₁ çıktığı bilindiğinde beklenen değerini μ + ρ × (y₁ − μ) diye yazar. Wikipedia'daki ortalamaya dönüş maddesi aynı ilişkiyi standart sapma birimiyle verir: birinci ölçüm ortalamanın t standart sapma üstündeyse ikincinin beklenen değeri r × t standart sapma üstündedir. Burada r, aynı kişilerin iki ölçümü arasındaki test–tekrar ilintisidir.

Kurgu bir tarama düşün: grubun ortalaması 100, iki salı arasındaki ilinti 0,7. İlk ölçümde 115 çıkan bir alt grubun ikinci ölçümdeki beklenen ortalaması 100 + 0,7 × 15 = 110,5'tir. Hiçbir şey yapılmadan 4,5 birimlik bir düşüş beklenir; bu, başlangıçtaki uzaklığın 4,5 ÷ 15 = 0,3'ü, yani 1 − r kadarıdır.

Tek kişi için hesap daha keskindir. G-07 için 100'ü gerçek denge noktası sayarsak ve salılar arasındaki dalgalanmalar birbirinden bağımsızsa, kişinin kendi içinde bir sonraki sonucu önceki sonuçtan hiçbir bilgi almaz ve beklenen değeri doğrudan denge noktasıdır. 107'nin ardından beklenen iniş 7 birimdir; gözlenen iniş 14'tü. İnişin 7 ÷ 14 = 0,5'i, yani yarısı yalnız 107'nin uçta olmasından beklenirdi. Kalan yarı, 93'ün denge noktasının öbür yanındaki kendi dalgalanmasıdır ve önceki derslerde onun için başka bir aday da kenar notuna yazılmıştı.

Seriyi seri yapan koşullar

Bütün bu hesaplar ardışık sonuçların aynı ölçülen büyüklüğün tekrarları olmasına dayanır ve modülün önceki dersleri bunu güvenceye almıştı. Kan hep sabah yedide alınmıştı, çünkü günlük ritmin 6 birimlik salınımı karışık saatlerde toplam dağınıklığı büyütüyordu. Çalışma ağustos sonu ile kasım başı arasına sığdırılmıştı, çünkü yıllık döngü uzun bir pencerede tırmanan bir seri üretebilirdi. Son yemekten sonraki süre kaydedilmiş, önceki gün yorucu egzersiz ile son yedi gündeki ateş için föye iki sütun açılmıştı. Örnekleme saati her hafta biraz kayarsa tahtadaki gibi bir eğim kişide hiçbir şey değişmeden de çıkabilir. Guldhaug'un ekibi de kopeptin üzerine yaptığı biyolojik değişkenlik çözümlemesinden önce veride eğilim denetimi yaptığını bildirir; eğilim orada ayıklanacak bir bozucudur.

Modelin sınırı

• Seri ortalamasının standart hatası ve eğimin standart hatası ardışık sonuçların birbirinden bağımsız olduğunu varsaydı; ardışık salılar birbirine benziyorsa iki sayı da olduğundan küçük çıkar.
• Doğrusal eğim değişimin sabit hızda sürdüğünü kabul etti. Bir basamak biçiminde tek seferlik kayma ya da yön değiştiren bir hareket düz bir doğruyla iyi özetlenmez.
• Ortalamaya dönüş formülü iki değişkenli normal dağılım, iki ölçümde ortak ortalama ve ortak varyans istedi; çarpık dağılan bir büyüklükte ya da ortalaması iki ölçüm arasında değişen bir grupta aynı biçimde işlemez.
• Kontrol çizelgesi yalnız ilke olarak anıldı; sınırların hangi çarpanla çizileceği ve hangi örüntü kurallarının kullanılacağı burada ele alınmadı.

Bu ders neyi göstermiyor

Mekanizmanın tutarlılığı bir müdahaleyi desteklemiyor; kararı L01-P02 tasarımlarıyla üretilmiş kanıt destekler. Bir sonucun ardından gelen düzelmenin ne kadarının ortalamaya dönüş olduğunu hesaplamak, geri kalanın bir uygulamadan geldiğini göstermez; bunu yalnız karşılaştırma grubu olan bir tasarım ayırabilir. Ders izleme için bir sıklık, eşik ya da analit önermiyor.

Tahtadaki eğri

Atlas altı noktadan geçen doğruyu çizip yanına "2,74 / hafta, bağımsızlık varsayımıyla" yazıyor. G-07'nin şeridinde 107 ile 93 arasındaki çizginin ortasına küçük bir işaret koyup "7 beklenen" notunu düşüyor. Sadiye Hanım yöntem taslağının sonuna şunu yazıyor: "Seri sonuçlar tek tek değil birlikte değerlendirilir; kullanılan yöntem, karşılaştırma sayısı ve örnekleme koşullarının seri boyunca değişip değişmediği raporda yazılır."

Modülü toplarken

Bu modülün sorusu tek bir sonucun ne kadar oynayabileceğiydi. Cevap önce kişinin içinde arandı: denge noktası ve çevresindeki dalgalanma. Sonra kişiler arasındaki uzaklığa, saatin ve mevsimin salınımlarına, açlığa, egzersize ve geçmekte olan hastalığa geçildi. Referans değişim değeri bu payları iki sonucun farkına topladı; son adım sınırı zamana yaydı. Bir sayının anlamı, onu üreten koşullar kadar yanındaki öteki sayılara da bağlıdır.

Kendini sına

1. Tek bir sonucun toplam CV'si yüzde 6'dır. Dokuz sonucun ortalamasının standart hatası kaçtır? Tek sonuca göre kaçta birine iner?
2. 50, 52, 51, 53, 55 serisinde, ardışık farkların en büyüğünün yüzdesini ve ilk ile son sonuç arasındaki yüzde farkı hesapla. Sınır yüzde 8 ise hangisi aşar? Haftaları 0'dan 4'e numaralayıp doğrusal eğimi bul.
3. Bir grubun ortalaması 60, iki ölçüm arasındaki ilinti 0,5'tir. İlk ölçümde 80 çıkanların ikinci ölçümdeki beklenen ortalaması kaçtır? İlinti 0,9 olsaydı ne değişirdi?
4. Ardışık sonuçlarda her yeni sonucu ayrı ayrı sınamanın yanlış alarm olasılığını neden büyüttüğünü, aile boyu hata oranı kavramıyla açıkla.

Bir sonraki derse köprü

Buraya kadar her sonuç aynı kişinin kendi geçmişiyle tartıldı. Oysa laboratuvar raporunun yanındaki aralık bir kişiden değil, bir gruptan gelir. Referans Aralıkları modülünü açacak Referans Popülasyonu dersi şu soruyu soracak: bir aralığı kurmak için hangi referans bireyler seçilir, referans popülasyonu hangi ölçütlerle tanımlanır ve bu seçim, aralığın kimi tarif ettiğini nasıl belirler?