Ölçüm Belirsizliği

Açılış sahnesi

Kars, ikinci haftanın salısı, öğleden sonra dörde çeyrek var. Kalorifer bu kez erken yanmış, oda ilk kez sıcak. Nüzhet Hanım akreditasyon dosyasından çıkardığı boş bir formu tezgâha bırakıyor: sonuç sütununun yanında başlığı yalnız "±" olan dar bir sütun. A analizörünün sabah okuduğu kontrol örneği ilk satırda duruyor; gösterge 52,1, perşembenin doğrusuyla çevrilmiş sonuç 50,0.

Toprak kalemi alıp duraksamadan "± 0,158" yazıyor, salı günkü beş tekrarın standart sapmasını. "Bu, sütunun yalnız bir parçası," diyor. "Şişenin belgesindeki 0,25 bu sütunun neresinde?"

Bu derste ne olacak

Hata ile belirsizliği ayırıp belirsizliği iki yoldan değerlendireceğiz: tekrarların istatistiğinden ve başka bilgilerden. Ardından A'nın 50,0'lık sonucu için beş satırlık bir bütçe kuracak, satırları birleştirip genişletecek ve sonucu formun sütununa doğru basamakla yazacağız.

Metin

Hata bir fark, belirsizlik bir dağılım

Sistematik ve Rastgele Hata dersi hatayı bir sonucun referans değerden farkı olarak kurmuş, belirsizliği ayrı bir kavram diye kenara bırakmıştı. GUM iki sözcüğün eşanlamlı olmadığını, tümüyle farklı kavramları anlattığını ve birbirinin yerine kullanılmaması gerektiğini yazar. Hata bilinemeyen bir farktır: gerçek değer bilinseydi ölçmeye gerek kalmazdı.

Akademinin ilk ölçüm dersi ölçüm belirsizliğini bir sayının çevresindeki aralık olarak tanıtmıştı. Sözlük aynı sözcüğü daha dar bir tanımla kurar.

GUM bu ayrımın bir sonucunu da not eder: düzeltilmiş bir sonuç, bilinmeden, gerçek değere çok yakın olabilir, yani hatası ihmal edilebilir kalırken belirsizliği büyük olabilir. Belirsizlik sonucun ne kadar yanlış olduğunu değil, hakkımızdaki bilginin ne kadar eksik olduğunu ölçer.

Kalibrasyon dersinde A'daki 4,1'lik sapma 1,04'lük eğimle düzeltilmişti. Kılavuz bir sonucun bilinen bütün önemli sistematik etkiler için düzeltilmiş olduğunu varsayar, ama düzeltmenin kendisi de bir tahmindir: eğim tekrarlardan, kalibratörün değeri bir belgeden geldi. Düzeltmenin eksik bilinmesinden doğan pay, sözlüğün notuna göre belirsizliğe katılır. Düzeltilmemiş ama bilinen bir sistematik etkiyi belirsizliği büyüterek geçiştirmek ise GUM'un çok özel durumlar dışında kaçınılmasını istediği bir yoldur; bilinen sapma düzeltilir, düzeltmenin kalan payı bütçeye yazılır.

İki değerlendirme yolu

Toprak'ın yazdığı 0,158, belirsizliğin bir bileşenidir ve sözlük ona ulaşılan yola ad verir.

İki yol da bir standart sapmaya varır; sözlük bu biçimde anlatılan belirsizliğin adını standart ölçüm belirsizliği koyar. Fark verinin kaynağındadır, değerin güvenilirliğinde değil. İzlenebilirlik dersinin 0,25'i bir belgeden okunduğu için B tipidir; bir tek tüpü tekrar ölçmeden bütçeye girer.

Bazen elde yalnız bir sınır vardır. A analizörünün sonucu virgülden sonra tek basamak gösterir; ekranda 52,1 yazıyorsa gösterge 52,05 ile 52,15 arasında herhangi bir yerde olabilir ve aralığın içinde hiçbir nokta ötekinden olası değildir. GUM böyle bir durumda değerin sınırlar arasında eşit olasılıkla dağıldığını varsayar, yani dikdörtgen dağılım, ve yarı genişlik a iken standart belirsizliği a ÷ √3 diye verir. Eurachem rehberi de bir güven düzeyi belirtilmeden verilen "± a" sınırı için aynı bölmeyi önerir. Çözünürlük için yarı genişlik 0,05: 0,05 ÷ √3 ≈ 0,029.

Oda sıcaklığı da aynı biçimde girer. Nüzhet Hanım'ın defterinde, kaloriferin geç yandığı sabahlarla öğle arasında A'nın sonuçlarının ±0,2 içinde oynadığı yazıyor; dağılım hakkında başka bilgi yok. 0,2 ÷ √3 ≈ 0,115.

Bütçenin beş satırı

Kontrol örneğinin sonucu 50,0, tam alt kalibratörün düzeyinde. Burada hesap sadeleşir: doğru o noktada kalibratörün değerinden geçer ve eğimi değiştiren üst kalibratör sonucu yerinden oynatmaz. Göstergenin ölçeğinde kalan her oynama ise sonuca eğime bölünerek geçer. GUM bu çevirme oranına duyarlılık katsayısı (sensitivity coefficient) der; Duyarlılık dersindeki tanı duyarlılığıyla ortak yanı yalnız addır. Burada katsayı 1 ÷ 1,04 ≈ 0,96.

Bütçe örneğin kendi tekrarlanabilirliğiyle açılır. Kontrol bir kez ölçüldü ve A'nın tek okuma saçılması 0,158'di; eğime bölünen bu değer sonuç ölçeğinde 0,152 eder, 0,158 ÷ 1,04. Algılama sınırı dersinde kör tüplerin saçılması 0,149 çıkmıştı; sıfır dolayında ve 100 dolayında bu kadar yakın iki değer, saçılmayı 50'de de yaklaşık sabit saymaya dayanak verir. Varsayım bütçeye yazılır.

Doğrunun kendisi de bir satır ister. Alt kalibratörün göstergesi beş tekrarın ortalamasıydı ve ortalamanın saçılması tekrar sayısının kareköküyle küçülür. √5 ≈ 2,24 ve 0,158 ÷ 2,24 ≈ 0,071; eğim bunu sonuç ölçeğinde 0,068'e indirir.

Belgedeki 0,25 duyarlılık 1 ile olduğu gibi girer; sıcaklığın 0,115'i ile çözünürlüğün 0,029'u bütçeyi tamamlar. Tekrarlardan gelen iki satır A tipi, belgeden ve sınırlardan gelen üç satır B tipidir.

İzlenebilirlik dersinde zincirin halkalarını karelerin toplamının kareköküyle birleştirmiştik; aynı kural girdiler birbirinden bağımsız olduğunda bütçenin satırlarına da uygulanır. Kareler 0,0231, 0,0046, 0,0625, 0,0133 ve 0,0008; toplam ≈ 0,1044 ve bileşik standart belirsizlik √0,1044 ≈ 0,323. Beş satırın düz toplamı 0,614 olurdu.

Bütçeyi hangi satır taşıyor

Her satırın karesini toplama bölmek, payını verir. Kalibratör 0,0625 ÷ 0,1044 ≈ 0,60 ile toplamın yarısından fazlasını taşır. Kontrol örneğinin tekrarlanabilirliği 0,22, sıcaklık 0,13, doğrunun tekrarları 0,04, çözünürlük 0,01'in altında kalır.

Bu oranlar nereye emek harcanacağını söyler. İzlenebilirlik dersinde zincirin ortasındaki 0,16 yarıya indirilince toplamın yalnız 0,25'ten 0,21'e düştüğünü görmüştük; bugünkü bütçe aynı dersi tersinden verir. Kontrol örneği ikişer kez ölçülse tekrarlanabilirlik satırı 0,158 ÷ √2 ÷ 1,04 ≈ 0,107'ye iner ve bileşik belirsizlik 0,323'ten yalnız 0,305'e düşer. Kalibratörün belirsizliği yarıya, 0,125'e insin: bileşik belirsizlik ≈ 0,240 olur. Karelerin toplamında büyük terim küçükleri yutar.

Aynı araç Kalibrasyon dersinde açık kalan soruyu da kapatır. Kesme noktası iki ortalamadan hesaplanmıştı ve doğruyu sıfıra uzatmak alt ortalamanın oynamasını büyütür; yalnız tekrarlardan gelen payla kesme noktasının standart belirsizliği yaklaşık 0,097 çıkar. 0,1 ÷ 0,097 ≈ 1,0: kesme noktası kendi belirsizliği kadardır ve onu sıfırdan ayırmak için hiçbir dayanak yoktur. O derste hesaplanan 150,0 için bütçe başka bir biçim alır. Alt kalibratörün payı orada üçte bire düşer, 0,25'ten ≈ 0,083 kalır; üst bölmenin belgesi masaya gelmeden o satır doldurulamaz.

Birden büyük çarpan

Bileşik standart belirsizlik bir standart sapmadır. Formun "±" sütunu çoğunlukla daha geniş bir aralık ister.

GUM sonucu Y = y ± U biçiminde yazar ve U = k × u_c. Kılavuza göre sonucun dağılımı yaklaşık normalse ve bileşik belirsizliğin etkin serbestlik derecesi yeterince büyükse k = 2 yaklaşık yüzde 95, k = 3 yaklaşık yüzde 99 kapsama olasılığı olan bir aralık verir. Eurachem rehberi aynı çarpanı aynı koşulla önerir ve dağılım bilinmeden bu aralığın yüzde 95'lik bir güven aralığı sayılmamasını ister. Güven Aralığı dersinde kapsama olasılığını bir aralık kuralının özelliği olarak kurmuştuk; sözlük ölçüm için kapsam aralığı ve kapsam olasılığı terimlerini kullanır.

Formun satırı için U = 2 × 0,323 ≈ 0,646. Koşul burada tutuyor, çünkü bütçeyi az tekrara dayanan satırlar değil, değeri güvenilir sayılan bir belge taşıyor. t Dağılımı dersinde beş gözlemde, dört serbestlik derecesinde çarpanın 2,776 olduğunu görmüştük; GUM tablosu bunu 2,78, Eurachem tablosu 2,8 diye verir. Bütçe yalnız tekrarlanabilirlik satırından ibaret olsaydı aralığın yarı genişliği 2 × 0,152 ≈ 0,30 değil, 2,78 × 0,152 ≈ 0,42 olurdu. Çarpanın arkasındaki varsayım da raporun bir parçasıdır; kılavuz genişletilmiş belirsizlikle bildirilen her sonuçta k'nin değerinin yazılmasını ister.

Formun sütunu

Toprak formun satırını yeniden yazıyor: 50,00 ± 0,65 (k = 2). GUM bileşik ve genişletilmiş belirsizliğin en çok iki anlamlı basamakla verilmesinin genellikle yettiğini, sonucun da belirsizlikle tutarlı basamağa yuvarlanmasını söyler; Eurachem rehberi belirsizlik için ikiden fazla anlamlı basamağın nadiren gerektiğini yazar. 0,646 iki basamakla 0,65; sonuç da aynı yüzde birler basamağına iner. 50,00'ın son sıfırını gösterge değil, belirsizliğin basamağı yazdırır.

Tam Sayı, Kesir ve Ondalık dersinde ölçümün desteklemediği basamağı sahte kesinlik diye adlandırmıştık. "50,0000 ± 0,646107" o hatadır; "50 ± 0,65" ise tersini yapar ve belirsizliğin dar bıraktığı basamağı sonuçtan siler.

Tıbbi laboratuvarda aynı soru

Tıbbi laboratuvarlar için yazılmış ISO 15189 standardı akredite laboratuvarlardan ölçüm belirsizliğini kestirmelerini ister; Biochemia Medica'da yayımlanan bir değerlendirme ile Journal of Medical Biochemistry'deki bir başka inceleme bu gerekliliği ayrı ayrı aktarır. İki kaynak da iç kalite kontrol verisinin belirsizliğin kestiriminde kullanıldığını yazar. Biochemia Medica'daki değerlendirme bu yaklaşımı "yukarıdan aşağı" (top-down) diye adlandırır: belirsizlik bir bütün olarak ele alınır, önce en önemli kaynaklar gruplanır. Bir ay boyunca, reaktif partisi ve teknisyen değişirken ölçülen bir şişenin saçılmasına Doğruluk ve Kesinlik dersi ara kesinlik adını vermişti; uzun dönem kontrol verisi bu saçılmayı verir, aynı değerlendirme sapmanın payı için dış kalite değerlendirme programlarının malzemesini de sayar. Eurachem rehberi de yeterince uzun bir dönemde birikmiş yeterlik testi sonuçlarının belirsizliği hem denetlemeye hem kestirmeye yarayabileceğini yazar.

Sözlük, kullanım amacına göre üst sınır olarak belirlenen belirsizliğe hedef ölçüm belirsizliği der. Bir sonucun belirsizliği bir karar sınırının iki yanına taştığında ne yapılacağı Karar Sınırı dersinde, aynı kişinin iki sonucu arasındaki farkın ne zaman anlam taşıdığı Referans Değişim Değeri dersinde ele alınacak.

Form rafa kalkarken

Toprak formun kenarına küçük bir tablo çiziyor: beş satır, her birinin yanında payı; en üstte 0,60, en altta 0,01'in altı. 50,00 ± 0,65 (k = 2) satırının altına "saçılma 50'de 100'deki kadar varsayıldı" diye not düşüyor. Nüzhet Hanım tabloya bakıp yalnız üst satırı işaretliyor. "Yarın ikili ölçüm isteyecektin," diyor. "Önce bu belgenin üreticisine yaz."

Kendini sına

1. Bir bütçede dört tekrarın ortalamasından gelen bir satır (tekrar standart sapması 0,30), belgeden okunan 0,40'lık bir standart belirsizlik ve ±0,3 sınırıyla verilen, dağılımı bilinmeyen bir etki var (kurgusal hesap girdisi). Her satırın standart belirsizliğini, bileşik standart belirsizliği ve k = 2 ile genişletilmiş belirsizliği hesapla.
2. Aynı bütçede her satırın payını bul. Hangi satırı yarıya indirmek sonucu en çok değiştirir?
3. Bileşik belirsizlik 0,461 çıktıysa ve hesaplanan değer 12,3456 ise sonucu formun sütununa nasıl yazarsın?
4. Bütçeyi tek bir satır taşısaydı ve o satır beş tekrardan hesaplansaydı, k = 2 neden yetmezdi? Hata ile belirsizliğin farkını bu soru üzerinden anlat.

Bir sonraki derse köprü

Ölçüm Hatası Senaryoları dersi bir uygulama dersi olacak: kurgusal bir laboratuvarda ters giden ölçümler okura verilecek. Modül boyunca ölçüm sapmasını, kaba hatayı, kalibrasyon eğrisinin aralığını, kör sınırını ve bugün belirsizlik bütçesini adlandırdık. Soru şu: bir sonuç beklenmedik çıktığında, bütçenin hangi satırı bu sapmayı açıklayabilir, hangisi hiçbir bütçenin kapsamadığı bir yanılgıyı gösterir? Senaryoları okurken önce bütçeyi kur, sonra her şüpheyi bir satıra ya da satırların dışına yerleştir.