Sistematik ve Rastgele Hata

Açılış sahnesi

Kars, çarşamba sabahı, sekizi on geçe. Kalite odasının kaloriferi yine geç yanmış; Toprak montunu çıkarmadan A analizörünün yeni çıktısını beyaz tahtanın önüne getiriyor. Nüzhet Hanım'ın dün istediği beş tekrar gece vardiyasında aynı referans malzeme şişesinden alınmış: 104,0; 104,3; 104,2; 103,8; 104,2. Toprak toplamı kafadan yapıp ortalamayı tahtaya yazıyor ve kalemi bir an havada tutuyor. Yine 104,1.

"Dünküyle birlikte on tekrar oldu," diyor, "ama kayma yerinden kıpırdamadı. Yirmiye çıkarsak?" Nüzhet Hanım cevap vermeden tahtanın sağ yarısını dikey bir çizgiyle bölüyor; sol bölmenin tepesine "tekrarla küçülen", sağınkine "tekrarla kalan" yazıp kalemi Toprak'a uzatıyor.

Bu derste ne olacak

Hatayı önce tek bir sonucun içinde iki bileşene ayırıp her birinin tekrar sayısı büyüdükçe nasıl davrandığını hesaplayacağız. Sabit ve orantısal kaymayı iki düzeyde karşılaştıracak, bilinen bir kaymanın nasıl telafi edildiğini göreceğiz. Son olarak hatanın sürecin hangi aşamasında doğduğuna ve bir yanılgının neden iki bileşenin hiçbirine girmediğine bakacağız.

Metin

Bir sonucun hatası iki parçaya bölünür

Doğruluk ve Kesinlik dersinde A'nın beş sonucunun ortalamasından referans değeri çıkarmış ve bu farka ölçüm sapması demiştik. Sözlük o maddeyi tek satırla tanımlıyordu: sistematik ölçüm hatasının tahmini. Tahmin edilen şeyin kendisini ise orada adıyla bırakmıştık. Önce daha geniş kavram gelir.

Toprak'ın şişesi birinci durumdadır: sertifikadaki 100,0 kabul edilmiş bir referanstır ve her tekil sonucun hatası bir çıkarmayla bulunur. Bir hastanın örneğinde böyle bir sertifika yoktur; hatanın var olduğu bilinir, büyüklüğü bilinmez. Sözlük bu hatayı tekrarlı ölçümlerdeki davranışına göre ikiye ayırır.

Sözlüğün notları iki tanımı bir toplamaya bağlar: ölçüm hatası, sistematik ve rastgele bileşenlerinin toplamıdır. A'nın bu sabahki 104,3'ünde hata 104,3 − 100,0 = 4,3'tür. Sistematik bileşenin tahmini olarak sapmayı, 4,1'i kullanırsak geriye rastgele parça olarak 4,3 − 4,1 = 0,2 kalır. B'nin salı günkü 97,2'sinde hata −2,8'dir; sapma 0,2 olduğundan rastgele parça yaklaşık −2,8 − 0,2 = −3,0'dır. A'nın hatası neredeyse tamamen kaymadan, B'ninki neredeyse tamamen savrulmadan oluşur. Sapma sınırlı tekrardan hesaplandığı için bu ayrıştırma da bir tahmindir.

Bu ikilik ilk kez bir çalışma tasarımında, Vaka serisi başlıklı derste (L01-P02-M01-D02) karşımıza çıkmıştı: seriyi büyütmek sonucu daraltıyor, ama yanlılığı yerinde bırakıyordu. Metroloji aynı mantığı tek bir cihazın tekrarlarına taşır.

Tekrar neyi küçültür

Ölçüm belirsizliğini ifade etme kılavuzu (GUM) rastgele hatayı telafi edilemez, ama gözlem sayısı artırılarak genellikle azaltılabilir bir büyüklük olarak tarif eder. Mekanizmayı Standart Hata dersinde (L02-P04-M02-D03) kurmuştuk: tekrarların ortalaması, tek tek sonuçlardan daha az oynar ve bu oynamanın ölçüsü, standart sapmanın tekrar sayısının kareköküne bölünmesiyle bulunur. Kılavuz aynı formülü ortalamanın deneysel standart sapması adıyla verir.

Salı günkü standart sapmaları sabit tutup tekrar sayısını büyütelim. Beş tekrarda bu oynama A için 0,071, B için 1,19 çıkmıştı. Yirmi tekrarda A'da 0,158 ÷ √20 ≈ 0,035, B'de 2,65 ÷ √20 ≈ 0,59 olur; yüz tekrarda 0,158 ÷ √100 ≈ 0,016 ve 2,65 ÷ √100 ≈ 0,27. Beş tekrardan yüze geçmek tekrar sayısını yirmiyle çarpar, oynamayı ise yalnız √20 ≈ 4,47'ye böler; oynamayı yarıya indirmek dört kat tekrar ister.

Tahtanın sağ bölmesi bu hesabın içinde hiç görünmez. A'nın 4,1'lik sapması beş tekrarda da, on tekrarda da, yüz tekrarda da 4,1 dolayında kalır, çünkü her yeni sonuç aynı kaymayı ortalamaya yeniden taşır. Değişen tek şey kaymanın ne kadar net göründüğüdür: 4,1 ÷ 0,071 ≈ 58 iken 4,1 ÷ 0,016 ≈ 259 olur. B'nin sorunu sabırla hafifler, A'nınki sabırla yalnız daha iyi ölçülür.

Kılavuz burada bir ayrımda ısrar eder: ortalamanın standart sapması ortalamanın rastgele hatası değildir, rastgele etkilerden doğan belirsizliğin bir ölçüsüdür. Hata bir sonucun referanstan uzaklığını söyleyen bir farktır; belirsizlik ise o sonuca ne kadar güvenilebileceğini gösteren bir aralıktır. İkisinin nasıl hesaplandığı ve bir sonuca nasıl yazıldığı Ölçüm Belirsizliği dersinin işi olacak.

Sabit kayma, orantılı kayma

Sistematik hatanın tanımındaki "tahmin edilebilir biçimde değişen" ibaresi boş durmaz. Eurachem'in yöntem doğrulama kılavuzuna göre ölçüme karışan bir girişim iki biçimde iz bırakabilir. Birinde etki analitin miktarından bağımsızdır ve bir arka plan gibi her sonuca aynı miktarı ekler; kılavuz buna sabit etki der. Ötekinde etki sinyalle birlikte büyür ve orantısal etki adını alır. Wikipedia'nın gözlem hatası maddesi de aynı ayrımı yapar: sistematik hata sabit olabilir ya da gerçek değerle, örneğin bir yüzde olarak, ilişkili olabilir. İki biçim aynı cihazda birlikte de bulunabilir.

Farkı görmek için iki düzeyli kurgusal bir referans malzeme düşünelim: değerleri 50,0 ve 200,0. Birinci cihazın hatası sabit, her sonuca 2,0 ekliyor. 50,0 düzeyinde 52,0, 200,0 düzeyinde 202,0 okur; göreli hata 2,0 ÷ 50,0 = 0,04 ve 2,0 ÷ 200,0 = 0,01 olur. İkinci cihazın hatası orantısal, her değeri 1,02 ile çarpıyor. 50,0'ı 51,0, 200,0'ı 204,0 okur; mutlak hata 1,0'dan 4,0'a çıkarken göreli hata iki düzeyde de 4,0 ÷ 200,0 = 0,02'dir. Düşük düzeyde sabit hatalı cihaz daha uzağa düşer, yüksek düzeyde orantısal olan. Aradaki 100,0 düzeyinde ise ikisi de tam 102,0 okur ve tek bir düzeyde bakan biri iki cihazı ayırt edemez.

Toprak'ın şişesi de tek bir düzeydir. A'nın 4,1'lik kayması her sonuca eklenen sabit bir 4,1 de olabilir, her sonucu 104,1 ÷ 100,0 = 1,041 ile çarpan orantısal bir etki de. Bu şişeden alınan yüz tekrar da soruyu cevaplamaz. İki okuma 200,0 düzeyinde ayrılır: sabit hata 204,1, orantısal hata yaklaşık 208,2 verir. Ayırt etmenin tek yolu, değeri bilinen başka bir düzeyi ölçmektir.

Düzeltme ve yanlış biçimi

Sabit ve orantısal hatalar burada karşılığını bulur: sabit olan eklemeyle, orantısal olan çarpanla giderilir. Orantısal hatalı cihazın 204,0'ı için 204,0 ÷ 1,02 = 200,0 ve 51,0 için 51,0 ÷ 1,02 = 50,0 bulunur. Aynı hatayı yalnız yüksek düzeyde görüp sabit sanan biri her sonuçtan 4,0 çıkarırsa, düşük düzeyde 51,0 − 4,0 = 47,0 elde eder. Düzeltmeden önce 1,0 olan hata, düzeltmeden sonra −3,0'a büyümüştür. Yanlış biçimde uygulanan düzeltme, kaymayı gidermek yerine yönünü çevirir.

Belirsizlik kılavuzu, düzeltmenin kendi değeri de bir tahmin olduğu için onun belirsizliğinin sonuçta kaldığını hatırlatır. Çarpanın ve terimin hangi ölçüm standartlarıyla kurulacağı Kalibrasyon dersinde işlenecek.

Hata nerede doğar

Bir laboratuvar sonucu cihazın içinde başlamaz. Laboratuvar tıbbı yazını toplam test sürecini analiz öncesi (preanalytical), analitik ve analiz sonrası (postanalytical) aşamalara ayırır. Plebani'nin 2007 tarihli değerlendirmesinde analiz öncesi zincir test isteğinden kan almaya ve örneğin laboratuvara taşınmasına, analiz sonrası zincir hekimin sonucu okuyup yorumlamasına uzanır. Cureus'ta 2024'te yayımlanan bir derleme de analiz öncesinden örnek alma saatini ve santrifüjün gecikmesini, analiz sonrasından sonuç kaybını ve aktarım (transcription) hatasını örnek verir.

Preanalitik değişkenliği analitik ve biyolojik değişkenlikten ilk kez Gözlem, Ölçüm ve Yorum başlıklı derste ayırmıştık. Bu dersin iki bileşeni o üç aşamanın her birinde ortaya çıkabilir. Bir servisin örnekleri her gün aynı uzunlukta bir bekleyişten sonra santrifüje giriyorsa, o servisin sonuçlarını hep aynı yana kaydıran bir sistematik hata doğabilir. Bekleme süresi günden güne rastlantısal değişiyorsa aynı neden rastgele hata gibi davranır. Bileşenin adını hatanın kaynağı değil, tekrarlardaki davranışı belirler.

Aykırı değer ile kaba hata

Toprak tahtayı silmeden önce Nüzhet Hanım ona gece vardiyasının el defterini uzatıyor. B'nin satırlarından birinde 120,3 yazıyor; cihaz ekranının kaydında aynı satır 102,3. Rakamlar yer değiştirmiş. Aynı sayfada 98,8 olması gereken bir sonuç 98,3 diye geçirilmiş, ama o satır dikkati hiç çekmiyor.

Sözlük, ölçüm hatasının üretim hatası ya da yanılgıyla karıştırılmamasını ister. Belirsizlik kılavuzu kayıt ya da çözümleme sırasındaki kaba hataları (gross error, blunder) ayrıca anar: büyükleri verilerin gözden geçirilmesiyle genellikle yakalanır, küçükleri rastgele değişim gibi görünebilir ve belirsizlik ölçüleri onları kapsamaz. Eurachem kılavuzu da kaba hataları doğruluk ve belirsizlik kavramlarının dışında tutar. 120,3 bir analiz sonrası kaba hatadır ve öteki sonuçlardan belirgin biçimde uzak düştüğü için göze batar. 98,3 de kaba hatadır, ama B'nin geniş dağılımının ortasında kalır ve hiçbir eşik onu işaretlemez.

Aykırılığı, Aykırı Değer başlıklı derste (L02-P03-M02-D08) gözlemin kendi niteliği olarak değil, onu bir eşikle karşılaştıran kararın ürünü olarak tanımlamıştık. Kaba hata ise bir nedendir. İkisi örtüşebilir de ayrışabilir de: 120,3 hem aykırıdır hem yanılgıdır; 98,3 yalnız yanılgıdır; kararlı bir cihazda gerçekten uzağa düşmüş bir tekrar yanılgı olmadan aykırı olabilir. NIST'in istatistik el kitabı aykırı değerlerin veri kaydı hakkında bilgi taşıyabileceği için dikkatle incelenmesini ister; Eurachem de bir aykırı değeri ek ölçümle denetlemeden çıkarmanın güvenli olmadığını söyler. Toprak'ın 120,3'ü için denetim tek bir bakıştır: cihaz ekranındaki kayıt.

Tahta silinmeden önce

Toprak "tekrarla küçülen" sütununa B'nin 1,19'undan 0,27'sine inen çizgiyi, "tekrarla kalan" sütununa A'nın 4,1'ini yazıyor. En alta bir soru düşüyor: "4,1 eklenen mi, çarpan mı? Bu şişe söylemiyor." Nüzhet Hanım defterdeki iki satırı kırmızıyla düzeltiyor.

"Yirmiye çıkarsak ne olurdu?" diye soruyor sonra, Toprak'ın sabahki sorusunu ona geri vererek. Toprak tahtaya 0,158 ÷ √20 yazıyor ve cevabı hesaplamadan önce söylüyor: A'nın dağılımı daralır, kayması aynı kalır. Nüzhet Hanım başını sallıyor ve buzdolabının alt rafındaki, üzerinde iki ayrı değer yazan şişeyi gösteriyor.

Kendini sına

1. Değeri 80,0 olan bir referans malzeme tek bir cihazda ölçülüyor ve bu cihazın sapması daha önce 1,5 olarak tahmin edilmiş (kurgusal hesap girdisi). Bir tekil sonuç 82,1 çıkıyor. Ölçüm hatasını, sistematik bileşenin tahminini ve kalan rastgele parçayı hesapla.
2. Bir cihazın standart sapması 3,0 ise ortalamanın standart sapmasını 0,6'ya indirmek için kaç tekrar gerekir? Aynı cihazın 2,0'lık sapması bu tekrar sayısında ne olur?
3. Bir cihaz 50,0 düzeyinde 53,0, 200,0 düzeyinde 212,0 okuyor. Hata sabit mi, orantısal mı, yoksa ikisinin karışımı mı? Gerekçeni iki düzeyin mutlak ve göreli hatasıyla göster.
4. Bir defterde geçirilmiş yanlış bir rakam hangi durumda aykırı değer olarak yakalanır, hangi durumda yakalanmaz? Bu dersteki iki örnekten yola çık.

Bir sonraki derse köprü

Çarşamba sabahının 4,1'i tek bir şişenin tek düzeyinde ölçüldü ve eklenen bir terim mi, çarpan bir etken mi olduğu açık kaldı. Sözlük kalibrasyonu, ölçüm standartlarının sağladığı değerlerle cihazın gösterdiği değerler arasında bir ilişki kurup bu ilişkiyi sonraki sonuçlara uygulamak diye tanımlar ve bu ilişkinin bazen yalnız toplamsal ya da çarpımsal bir düzeltmeden ibaret olabileceğini not eder. Bir sonraki dersin sorusu buradan açılıyor: değerleri birbirinden farklı birkaç kalibratör (calibrator) ölçüldüğünde ortaya çıkan kalibrasyon eğrisi, sabit bir kaymayı orantısal olandan nasıl ayırır ve cihazın bir sonraki hasta örneğinde gösterdiği değeri nasıl sonuca çevirir?