Doppler Etkisi

Açılış sahnesi

Cuma öğleden sonrası, Niğde. Optik laboratuvarının pencereleri caddeye bakıyor. Selda Hanım tezgâha küçük bir sesli uyarıcı bırakıyor: kalem pille çalışan, kibrit kutusu büyüklüğünde, dün konuştukları türden bir piezoelektrik kristalle tiz ve düz bir ton çıkaran bir parça. Uyarıcıyı bir metrelik sağlam bir ipin ucuna bağlıyor ve ipi Tunç'a uzatıyor.

Tunç odanın ortasında durup ipi başının üstünde yatay bir çember çizecek biçimde çeviriyor. Pencerenin önündeki Selda Hanım'a ulaşan ses artık düz değil; her turda bir yükselip bir alçalıyor, dalgalı bir uğultuya dönüşüyor. Tunç ise aynı sesi çemberin merkezinden sabit duyuyor. Tam o sırada caddeden bir ambulans geçiyor. Sireni yaklaşırken tiz, önlerinden geçtiği anda aşağı düşüyor ve uzaklaşırken kalın bir sesle sönüyor.

Tunç ipi yavaşlatıyor. "Bende ses hiç değişmedi," diyor. "Size dalgalı geldi, bana dümdüz. Uyarıcı aynı uyarıcı. Kimin kulağı doğru?"

Bu derste ne olacak

İkisinin de doğru duyduğunu göstereceğiz. Hareket eden bir kaynağın ya da gözlemcinin algılanan frekansı neden değiştirdiğini kuracak, yansıtıcıdan dönen yankıda kaymanın neden iki kat olduğunu ve neden açıya bağlı kaldığını hesaplayacağız. Sonra bu küçük farkın neden kulakla duyulabildiğini ve darbeli ölçümün ona neden bir üst sınır koyduğunu nitel olarak göreceğiz.

Metin

Dalga tepeleri sıkışınca

Ultrason Dalgaları dersinde sesin ortamda sıkışma ve seyrelme bölgeleri halinde ilerlediğini, hızın ortama bağlı olduğunu görmüştük. Uyarıcı saniyede belli sayıda sıkışma üretiyor. Kaynak dururken bu sıkışmalar her yöne eşit aralıklarla yayılır. Kaynak bir yöne doğru hareket ediyorsa, bir sonraki sıkışmayı biraz ileriden salar; önündeki tepeler birbirine yaklaşır, arkasındakiler açılır. Hız ortamın özelliği olduğu için değişmez. Değişen dalga boyudur ve v = f × λ bağıntısına göre, önde duran bir kulağa saniyede daha çok tepe çarpar.

Gözlemci hareket ettiğinde sonuç benzer ama nedeni başkadır. Tepeler aynı aralıklarla dizilmiştir; kaynağa doğru yürüyen kulak onlara kendisi koşar ve birim zamanda daha çok tepeyle karşılaşır.

OpenStax'ın üniversite fiziği kitabı olayı kaynağın ya da gözlemcinin hareketinden doğan gözlenen frekans değişimi olarak tanımlar. Wikipedia'nın Doppler etkisi maddesi de aynı genel bağıntıyı verir: f = f₀ × (v ± v_g) ÷ (v ∓ v_k). Burada v ortamdaki ses hızı, v_g gözlemcinin, v_k kaynağın ortama göre hızıdır; yaklaşma durumunda işaretler frekansı büyütecek biçimde seçilir.

Olay adını Avusturyalı fizikçi Christian Doppler'den alır. St Andrews Üniversitesi'nin MacTutor matematik tarihi arşivi, Doppler'in bu fikri 25 Mayıs 1842'de Prag'daki Kraliyet Bohemya Bilimler Derneği'nde sunduğunu yazar; Wikipedia'nın maddesi de çalışmayı 1842'ye ve aynı başlığa verir. Çalışmanın konusu ses değil, çift yıldızların renkli ışığıydı. MacTutor, Doppler'in öngörüsünün yön olarak doğru olduğunu ama yıldızların hızında renk değişiminin fark edilemeyecek kadar küçük kaldığını belirtir. Sesle sınanması 1845'e kalır: iki kaynak da, trende çalan müzisyenlerin notasının yaklaşırken tiz, uzaklaşırken pes duyulduğunu kaydeden bir deneyi anlatır.

Caddeden geçen siren

Ambulansı sayıya dökelim. Gözlemci kaldırımda durduğu için v_g sıfırdır ve bağıntı f = f₀ × v ÷ (v ∓ v_k) biçimine iner. Hesap girdisi olarak sirenin 700 Hz'lik bir ton çaldığını ve aracın 25 m/s, yani saatte 90 kilometreyle gittiğini alalım; havadaki ses hızı Ultrason Dalgaları dersindeki gibi 343 m/s olsun.

Yaklaşırken kulağa ulaşan frekans 700 × 343 ÷ (343 − 25) = 700 × 343 ÷ 318 ≈ 755 Hz'dir. Uzaklaşırken 700 × 343 ÷ (343 + 25) = 700 × 343 ÷ 368 ≈ 652 Hz'e iner. Araç önden geçerken kulak yaklaşık 100 hertzlik bir düşüş duyar. Oranın büyüklüğünü aracın hızı ile sesin hızı arasındaki oran belirler: 25 ÷ 343 ≈ 0,073. OpenStax aynı hesabı 150 Hz'lik bir tren düdüğüyle yapar ve 35 m/s'de yaklaşırken 167, uzaklaşırken 136 Hz bulur; iki örnekte de kayma yüzde birkaçın üstündedir ve kulak onu rahatça seçer.

Laboratuvardaki dalgalanma da bununla açıklanır. Pencere önündeki Selda Hanım'a göre uyarıcı her turda bir kez yaklaşıp bir kez uzaklaşıyordu. Merkezdeki Tunç'a olan uzaklık ise hiç değişmiyordu; uyarıcı hızlı gidiyordu, ama hızı her an ipe dik, yani Tunç'a giden doğrultuya dik kalıyordu. Kaymayı hızın büyüklüğü değil, aradaki uzaklığı değiştiren bileşeni belirler. İkisi de doğru duymuştu.

Yankıda iki kez kayan frekans

Ultrason cihazında kaynak ile alıcı yerinde durur; hareket eden, dokunun içindeki yansıtıcıdır. Kanda bu yansıtıcılar kırmızı kan hücreleridir. Kayma burada iki aşamada oluşur. Başlıktan çıkan dalga, hareket eden hücreye bir gözlemci gibi çarpar ve hücre onu kaymış bir frekansla alır. Hücre bu dalgayı geri yansıtırken bu kez hareket eden bir kaynak gibi davranır ve kayma bir kez daha eklenir.

Radiopaedia'nın Doppler etkisi sayfası sonucu tek satırda verir: kayma = 2 × f₀ × v × cos θ ÷ c. Sigakis ile Rajajee'nin yoğun bakım ekokardiyografisi kitabından alınan bir bölüm aynı bağıntıyı yazar ve 2 çarpanını çift kayma diye açıklar: birincisi hedefte, alyuvarda, ikincisi yansıyan dalga başlığa dönerken.

Bağıntıda açının kosinüsü, uyarıcının ipte öğrettiğini matematiğe çevirir. Radiopaedia en büyük kaymanın 0 derecede, yani demet hareketle aynı doğrultudayken oluştuğunu ve hareket demete dik olduğunda hiç kayma görülmediğini yazar; ekokardiyografi kitabı da cos 90° = 0 olduğunu ve bu açıda hız ölçümünün tümüyle yitirildiğini belirtir.

Megahertzten duyulan sese

Şimdi başlığa ve kana dönelim: başlık 5 MHz'de çalışsın, kan 0,30 m/s ile aksın. Bu hız, Reynolds Sayısı dersinde aortun ortalama akışı için iki kaynaktan aldığımız 0,27 ve 0,30 m/s değerlerinin büyüğüydü; burada bir kişinin ölçümü değil, klinik ölçüm yerine geçmeyen bir hesap girdisidir.

θ = 0° için Δf = 2 × (5 × 10⁶) × 0,30 ÷ 1540 ≈ 1948 Hz, yaklaşık 1,9 kilohertz. θ = 60° için cos 60° = 0,5 olduğundan kayma 974 Hz'e iner. θ = 90° için sıfırdır. Gönderilen frekansla karşılaştırınca kayma küçüktür: 1948 ÷ (5 × 10⁶) ≈ 0,00039, yani on binde dört. Oran yalnız hız ile ses hızına bağlıdır: 2 × 0,30 ÷ 1540. Sirende bu oran 0,073'tü; kanda ondan iki yüz kata yakın küçüktür.

Sağlama için OpenStax'ın örneği: 2,50 MHz'lik ultrason 20,0 cm/s ile başlığa yaklaşan kana gönderiliyor. Bağıntı 2 × (2,5 × 10⁶) × 0,20 ÷ 1540 ≈ 649 Hz verir. Kitap aynı 649 Hz'i iki basamakta bulur: önce kana ulaşan, sonra başlığa dönen frekans.

Ultrason Dalgaları dersinde kulağın duyabildiği bandı yirmi hertzden yirmi kilohertze uzanan bir aralık olarak almıştık. 1948 ve 649 Hz bu aralığın içindedir: başlığın kendisi kulağın binlerce kat üstünde çalışır, ama dönen yankı ile gönderilen dalga arasındaki fark tam duyulabilecek bölgeye düşer. OpenStax bu farkın işitilebilir aralıkta olduğunu, yükseltilip uygulayıcıya sesli geri bildirim olarak verilebildiğini yazar. Wikipedia'nın Doppler ultrasonografisi maddesi de akıştaki ani yön değişimlerinin cihazda işitilebilir sesler ürettiğini belirtir. Aynı hesabı Reynolds Sayısı dersindeki kılcal hızıyla, 0,33 mm/s ile yapalım: 2 × (5 × 10⁶) × 0,00033 ÷ 1540 ≈ 2,1 Hz. Bu, kulağın alt sınırının yaklaşık onda biridir. Hız 0,30 ÷ 0,00033 ≈ 900 kat küçülünce kayma da aynı oranda küçülür.

Sürekli dinlemek ya da aralıklı sormak

Kaymayı yakalamanın iki yolu vardır. Sürekli dalga (continuous wave) Doppler'inde başlıktaki bir eleman hiç durmadan ses gönderir, yanındaki bir başkası hiç durmadan dinler. Echocardiographer.org'un örtüşme sayfası bu düzende dinleme için beklenen bir süre olmadığını ve ölçülebilecek kaymaya bir sınır konmadığını yazar. Bedeli derinliktir: demet boyunca hangi uzaklıktaki hücrenin kaydırdığı ayırt edilemez, çünkü yankının ne zaman yola çıktığı bilinmez.

Darbeli (pulsed wave) Doppler, Ultrason Dalgaları dersindeki darbe–eko ilkesini geri getirir. Kısa bir darbe gönderilir ve yalnız belli bir süre sonra dönen yankı dinlenir; süre derinliği seçer. Wikipedia'nın Doppler ultrasonografisi maddesi darbeli yöntemin sürekli dalgaya üstünlüğünün bu uzaklık bilgisi olduğunu, zaafının ise ölçümlerin örtüşmeden etkilenebilmesi olduğunu yazar.

Zaaf şuradan gelir: darbeli cihaz dönen dalgayı sürekli izlemez, her darbede bir kez yoklar. Aradaki kaymayı bu yoklamalardan kurar. Yoklama sıklığı kaymaya göre seyrek kalırsa kayma olduğundan küçük, hatta ters yönde görünür. Echocardiographer.org bu sınırı darbe tekrar frekansının yarısı olarak tanımlar ve aşıldığında spektral görüntünün ölçeğin öbür ucuna "sarıldığını" yazar. Ultrason Dalgaları dersinde IAEA'nın verdiği c ÷ (2z) sınırı burada yeniden işe karışır: derinlik arttıkça darbeler arasında yankının dönmesi için daha uzun beklemek gerekir, yoklama seyrekleşir ve ölçülebilecek kaymanın tavanı alçalır.

Işıkta aynı kayma

Doppler'in kendi sorusu ışıktı ve Elektromanyetik Spektrum dersindeki c = f × λ ilişkisinde de hareket frekansı kaydırır: uzaklaşan bir yıldızın ya da gökadanın ışığı daha uzun dalga boyuna, spektrumun kırmızı ucuna doğru kayar ve Wikipedia'nın maddesi gökbilimin bu kırmızıya ve maviye kaymayla cisimlerin bize yaklaşıp uzaklaştığını ölçtüğünü yazar.

İp yavaşlayınca

Tunç ipi indiriyor; uyarıcı yine düz tonuyla ötüyor. Tahtaya bir çember çizip merkezine kendi adını, dışına Selda Hanım'ın penceresini yazıyor. Yanına üç sayı ekliyor: 755 ve 652, sonra 1948. Altına "cos 90 = 0" yazıp çemberin merkezindeki adının altını çiziyor.

Selda Hanım dünkü mesafe ölçeri eline alıyor. "Bu alet yalnız yankının ne kadar geç döndüğünü okuyordu," diyor. "Bugün yankının tonunu da dinledik. Pazartesi ses yerine başka bir şey göndereceğiz, yankısını beklemeyeceğimiz bir şey. Karşı taraftan ne kadarının çıktığına bakacağız."

Kendini sına

1. 500 Hz'lik bir kornası olan araç 20 m/s ile duran bir gözlemciye yaklaşıyor, sonra uzaklaşıyor. Havada ses hızı 343 m/s iken gözlemcinin duyduğu iki frekansı bul.
2. 3 MHz'lik bir ultrason, başlıktan 0,20 m/s ile uzaklaşan bir yansıtıcıya 0° ve 60° açıyla gönderiliyor (hesap girdisi). Her iki açıda Doppler kaymasını işaretiyle birlikte hesapla.
3. Pencere önündeki gözlemci ipteki uyarıcıyı dalgalı duyarken merkezdeki kişi neden sabit bir ton duyar? Cevabı Doppler açısına dayandır.

Bir sonraki derse köprü

Doppler yöntemi dönen yankının frekansına baktı. X ışınına ve bilgisayarlı tomografiye geçildiğinde hiç yankı beklenmeyecek; ışının dokunun öbür yüzünden ne kadar sönük çıktığı ölçülecek. Soğurma ve Saçılma'dan tanıdığımız zayıflatma katsayısı dokunun kesitini gösteren bir görüntüye nasıl dönüşür, ve bu görüntünün gri tonlarını adlandıran Hounsfield birimi (Hounsfield unit) hangi maddeyi ölçü alır?