Goldman Denklemi

Açılış sahnesi

Salı sabahı, Bartın. Nem alma cihazı yine uğulduyor. Tezgâhta bir deney tahtası duruyor: iki kalem pil, her birinin önünde döner düğmeli bir potansiyometre; iki kol aynı iki noktada birleşip çok ölçere bağlanıyor. Pillerden biri ters takılmış. Kartal birinin yanına kurşun kalemle "K", öbürünün yanına "Na" yazmış.

Tomris Hanım iki düğmeyi de ortaya getiriyor; ekran sıfıra yakın. Sonra "Na" kolunun düğmesini sonuna kadar çeviriyor; o koldan geçen yol daralıyor ve ekran eksi bir buçuğa yaklaşıyor. Düğmeyi geri alıp "K" kolununkini çevirince ekran artı yöne kayıyor.

"Hangi pilin yolu açıksa gerilim onun değerine gidiyor," diyor Kartal. Dünkü kâğıttaki soruyu gösteriyor. "Zar da böyle mi karar veriyor? Dört iyonun her biri bir pil, her kanal bir düğme?"

"Çok yaklaştın," diyor Tomris Hanım. "Ama tahtadaki devre ortalama alıyor, zar tam olarak almıyor. Farkı bugün sayıyla göreceğiz."

Bu derste ne olacak

Tek iyonluk dengeden birkaç iyonun aynı anda geçtiği zara geçeceğiz. Goldman–Hodgkin–Katz gerilim denklemini yazıp klorürün neden ters yerde durduğunu göstereceğiz, geçirgenlik katsayısını iyonların birbirine oranı olarak kullanacağız. Model tabloyla iki senaryo hesaplayacak, sonucun hangi denge potansiyeline yaklaştığını ve bunun neden bir ağırlıklı ortalama olmadığını göreceğiz. Sonda denklemin varsayımlarına bakacağız.

Metin

Denge yerine kararlı hâl

Nernst Denklemi dersinde denge potansiyelini tek bir iyonun net geçişini sıfırlayan gerilim olarak tanımlamış, model hücrenin dört iyonu için dört ayrı sayı bulmuştuk. Zarın bir anda tek bir gerilimi vardır; o gerilim en fazla bir iyonun denge potansiyeline eşit olabilir. Geri kalan her iyon için elektrokimyasal potansiyel farkı sıfırdan ayrıdır ve o iyon zardan net olarak akmayı sürdürür. Potasyum −95 mV'un üstündeki bir gerilimde dışarı, sodyum +61 mV'un altındaki bir gerilimde içeri sızar.

Bu durumda sıfıra inen şey tek tek iyonların akısı değil, zardan geçen toplam elektrik akımıdır. Dışarı çıkan artı yük ile içeri giren artı yük birbirini tuttuğunda gerilim yerinde kalır. Hodgkin ile Katz 1949 makalesinde bunu vurgular: sistem dengede olmadığı için termodinamik denklemler uygulanamaz, aranan sayı net iyon akımının bulunmadığı gerilimdir. İyonlar akmayı sürdürdükçe derişimler de yavaşça kayar; bu derste derişimleri sabit tutacağız, onları kimin sabit tuttuğunu ise modülün son dersine bırakacağız.

Denklem ve ters duran klorür

Hodgkin ile Katz'ın 1949'da yazdığı ve bugün Goldman–Hodgkin–Katz gerilim denklemi diye anılan bağıntı, gerilimi iç eksi dış olarak verir:

V = (RT ÷ F) × ln [(P_K[K⁺]dış + P_Na[Na⁺]dış + P_Cl[Cl⁻]iç) ÷ (P_K[K⁺]iç + P_Na[Na⁺]iç + P_Cl[Cl⁻]dış)]

Katyonların payda dış, paydada iç derişimi durur; klorürde sıra terstir, çünkü yük sayısı eksidir. Nernst denkleminde klorür için z = −1 yazınca önündeki eksi işaret, logaritmanın içini ters çevirmekle aynı işi görür: −(RT ÷ F) × ln (dış ÷ iç) = (RT ÷ F) × ln (iç ÷ dış). Bütün iyonları tek bir RT ÷ F katsayısının altında toplamak için anyonun iç derişimi paya, dış derişimi paydaya taşınır. Osvaldo Alvarez ile Ramon Latorre'nin Journal of General Physiology'deki 2017 derlemesi denklemi aynı biçimde aktarır ve Goldman'ın 1943 makalesindeki bir denklemle biçimce eşdeğer olduğunu belirtir.

Alvarez ile Latorre'ye göre David Goldman 1943'te aynı dergide yayımladığı "Potential, impedance, and rectification in membranes" makalesinde aslında akımın bir yönde öbüründen kolay geçmesini, yani doğrultmayı açıklamaya çalışıyordu. Hodgkin ile Katz, Journal of Physiology'nin 108. cildindeki makalede "Goldman (1943)" diye andıkları bu akım denkleminden gerilim ifadesini çıkarıp sodyumun sinir etkinliğindeki rolünü sınadılar.

Geçirgenlik katsayısından orana

Basit Difüzyon dersinde geçirgenlik katsayısını akının derişim farkına oranı olarak tanımlamış, çözünürlük–difüzyon modelinde P = D × K ÷ d diye açmıştık: zarın içindeki difüzyon katsayısı, bölüşüm katsayısı ve zar kalınlığı. Denklemdeki P'ler aynı büyüklüktür. Hodgkin ile Katz makalenin ekinde her iyonun geçirgenlik sabitini zar kalınlığı, iyonun zar içindeki hareketliliği ve bölüşüm katsayısıyla kurar; Wikipedia'nın maddesi de P'yi difüzyon katsayısının zar kalınlığına bölümü olarak yazar, birimi hızdır. O derste yüksüz moleküller yalnız derişim farkıyla geçiyordu; burada aynı katsayının yanına bir elektrik alanı eklenir.

Denklemin pratik bir kolaylığı var. Pay ile paydanın her terimini P_K'ya bölersek oran değişmez: P_K'nın yerine 1, P_Na'nın yerine P_Na ÷ P_K, P_Cl'nin yerine P_Cl ÷ P_K gelir. Gerilimi bulmak için geçirgenliklerin mutlak değerini bilmek gerekmez; birbirlerine oranları yeter.

Hodgkin ile Katz dinlenim hâlindeki kalamar aksonu için P_K : P_Na : P_Cl = 1 : 0,04 : 0,45 oranını kullandı; Alvarez ile Latorre'nin derlemesi de aynı üç sayıyı aktarır. Makale bu sayıların deneme yanılmayla bulunduğunu ve denklemin kaba bir yaklaşım olduğunu açıkça yazar; yüksek dış potasyumlu ölçümlere 1 : 0,025 : 0,3 oranının daha iyi uyduğunu da not eder. Wikipedia'nın dinlenim potansiyeli maddesi ise sağlıklı bir hayvan hücresinde sodyum geçirgenliğinin potasyumunkinin yaklaşık yüzde beşi ya da daha azı olduğunu söyler. Oranlar dokuya ve ölçüme göre değişir.

Birinci hesap: dinlenim oranlarıyla

Model tablo Nernst Denklemi dersindekidir: potasyum iç 140, dış 4; sodyum iç 15, dış 145; klorür iç 10, dış 110 mmol/L. Oran 1 : 0,04 : 0,45'tir. Memeli modeli derişimlerle kalamar oranlarını birleştiren bu karma bir hesap girdisidir; sonuç bir hücrenin ölçümü değildir.

Pay: 1 × 4 + 0,04 × 145 + 0,45 × 10 = 4 + 5,8 + 4,5 = 14,3. Payda: 1 × 140 + 0,04 × 15 + 0,45 × 110 = 140 + 0,6 + 49,5 = 190,1. Oran 14,3 ÷ 190,1 ≈ 0,0752'dir ve on tabanlı logaritması yaklaşık −1,124 eder. 37 °C'de on katlık oranın karşılığı 61,5 mV olduğundan V ≈ 61,5 × (−1,124) ≈ −69 mV bulunur.

Sonuç potasyumun −95 ile sodyumun +61 mV'luk denge potansiyelleri arasına, potasyuma çok daha yakın düşer. Klorürün −64 mV'luk denge potansiyeli sonuca yakın olduğundan klorürü çıkarmak az şey değiştirir: P_Cl = 0 ile oran 9,8 ÷ 140,6 ≈ 0,0697, gerilim yaklaşık −71 mV olur. Oranı değiştirmek de sonucu birkaç milivolt oynatır: 1 : 0,025 : 0,3 ile yaklaşık −75 mV, 1 : 0,05 : 0,45 ile yaklaşık −67 mV çıkar. Hiçbiri potasyumun denge potansiyeline ulaşmaz.

İkinci hesap: sodyum geçirgenliği büyüyünce

Şimdi yalnız P_Na'yı değiştirelim; bu bir hesap senaryosudur. P_Na dinlenim değerinin 20 katına, 0,04 × 20 = 0,8'e çıksın. Pay 4 + 0,8 × 145 + 4,5 = 124,5, payda 140 + 0,8 × 15 + 49,5 = 201,5 olur. 124,5 ÷ 201,5 ≈ 0,618, logaritması yaklaşık −0,209'dur ve V ≈ 61,5 × (−0,209) ≈ −13 mV bulunur. Sodyum potasyumla neredeyse eşit geçirgen olunca gerilim sıfıra yakın bir yere taşınır.

Hodgkin ile Katz etkin sinir için 1 : 20 : 0,45 oranını, sodyumun potasyumdan yirmi kat geçirgen olduğu durumu da kullandı; Alvarez ile Latorre aynı katı aktarır. Bunu model tabloya uygulayalım. Pay 4 + 20 × 145 + 4,5 = 2908,5, payda 140 + 20 × 15 + 49,5 = 489,5'tir. 2908,5 ÷ 489,5 ≈ 5,94, logaritması yaklaşık 0,774 eder; V ≈ 61,5 × 0,774 ≈ +48 mV. Sonuç işaret değiştirip sodyumun +61 mV'luk denge potansiyeline yaklaşır, ama ona varmaz: potasyum ve klorür hâlâ geçirgendir ve gerilimi kendi yanlarına çekmeyi sürdürür.

Tek iyon kalınca Nernst

P_Na ve P_Cl sıfır olsun. Yalnız potasyum terimleri kalır, P_K sadeleşir ve oran 4 ÷ 140'a iner: V = (RT ÷ F) × ln (4 ÷ 140) ≈ −95 mV, yani potasyumun denge potansiyeli. Yalnız sodyum geçirgen olsaydı sonuç 145 ÷ 15 oranından +61 mV çıkardı. Hodgkin ile Katz bunu denklemin iki üstünlüğünden biri sayar: geçirgenliklerden biri öbürlerine göre çok büyük yapıldığında denklem termodinamik açıdan doğru biçime iner. Wikipedia'nın dinlenim potansiyeli maddesi de sodyum ve klorür iletkenlikleri sıfırsa zar geriliminin potasyumun Nernst potansiyeline indiğini yazar. Nernst denklemi, Goldman denkleminin tek iyonlu özel durumudur.

Yaklaşma var, ortalama yok

Geçirgenliği büyüyen iyon gerilimi kendi denge potansiyeline doğru çeker; tezgâhtaki devrenin gösterdiği de budur. Ama sonuç, denge potansiyellerinin geçirgenlikle ağırlanmış ortalaması değildir. Klorürsüz dinlenim hesabında bunu sınayalım. Geçirgenlikle ağırlanmış bir ortalama (1 × (−95) + 0,04 × 60,6) ÷ 1,04 ≈ −89 mV verirdi. Goldman denklemi aynı girdilerle yaklaşık −71 mV verir; aradaki fark on sekiz milivolttur. Denklemde ağırlığı P ile derişimin çarpımı taşır ve bu çarpımlar önce toplanır, logaritma sonra alınır. Dışarıda bol bulunan sodyumun küçük geçirgenliği, 145 ile çarpıldığı için pay tarafında potasyumun terimini aşar. Tezgâhtaki devre ise gerçekten iletkenlikle ağırlanmış ortalama alır.

Sabit alan ve denklemin sınırları

Düzgün bir alanda alanın gerilimin mesafeye bölümü olduğunu, akımı ve gerilimi tanımladığımız derste görmüştük. Goldman zarın içindeki alanı her noktada aynı saydı: gerilim zar boyunca düz bir çizgiyle düşer. Hodgkin ile Katz bunu iyonların yalnız difüzyon ve alanın etkisiyle hareket ettiği kabulüyle birlikte aktarır; Alvarez ile Latorre, zar kenarındaki derişimin sulu çözeltidekiyle doğru orantılı alındığını ekler.

Hodgkin ile Katz, iyonlar zardaki taşıyıcılara bağlanıyorsa ya da akımın kayda değer kısmını başka iyonlar taşıyorsa denklemin kesin sonuç veremeyeceğini yazar. Alvarez ile Latorre, iletkenliğin yüksek derişimde doyduğu, zar yüzeyindeki yüklerin etkili olduğu ve iyon karışımlarının beklenmedik davrandığı sistemleri sayar; bağımsız hareket kabulü bu yerlerde bozulur. Kalsiyum gibi iki değerlikli iyonlar klasik biçime aynı şekilde girmez: Wikipedia bu iyonlarda farklı terimler çıktığını belirtir, Alvarez ile Latorre kuramın 1958'de Paul Fatt ile Bernard Ginsborg tarafından ayrı bir çözümle genişletildiğini aktarır.

Hesap yalnız pasif geçişleri sayar. Aktif Taşıma dersinde sodyum–potasyum pompasının her döngüde net bir artı yükü dışarı çıkardığını görmüştük; bu elektrojenik payın gerilime nasıl eklendiği modülün son dersinde ele alınacak.

Düğmeler ortada kalınca

Kartal milimetrik kâğıda iki sütun açıyor: birine ortalamanın −89'unu, öbürüne denklemin −71'ini yazıyor. Tomris Hanım düğmeleri yeniden ortaya getiriyor.

"Devre pilleri iletkenlikle ortalıyor," diyor. "Zar derişimleri önce topluyor, logaritmayı sonra alıyor."

Kartal dünkü dört satırın altına bugünkü sayıları ekliyor: −69, −13, +48. Sonra potasyumun oku dışarı, sodyumunki içeri bakan küçük bir hücre çiziyor ve yanına bir soru bırakıyor: "İkisi de hiç durmadan akıyorsa, derişimleri yerinde tutan ne?"

Kendini sına

1. Model tabloyla ve 1 : 0,04 : 0 oranıyla hesabı yeniden yap; sonra P_Na'yı sıfıra indir. İki sonuç arasındaki fark hangi terimden geliyor?
2. Klorürün iç derişimi 10 yerine 30 mmol/L alınırsa, 1 : 0,04 : 0,45 oranıyla sonuç hangi yöne ve yaklaşık kaç milivolt kayar? Klorürün denge potansiyeli bu değişiklikle ne olur?
3. P_K ile P_Na eşit, P_Cl sıfır olsun. Goldman denkleminin sonucunu ve iki denge potansiyelinin basit ortalamasını hesapla; ikisini karşılaştır.

Bir sonraki derse köprü

Potasyum dışarı, sodyum içeri sızmayı sürdürürken derişimleri kim yerinde tutuyor, ve elektrotla ölçülen gerilim bu hesapla aynı sayıyı veriyor mu? Dinlenim Zar Potansiyeli dersi bunu soracak. Sodyum–potasyum pompasının her döngüde dışarı taşıdığı fazladan yük, pasif akımların sıfırladığı toplama nasıl eklenir ve gerilimi hangi yöne, ne kadar iter? Ölçülen değerle Goldman hesabı arasında kalan fark hangi varsayımlardan, hangi eksik terimlerden doğar?