Kapasitans

Açılış sahnesi

Perşembe sabahı, Bartın. Nem alma cihazının haznesi gece yağan yağmurdan sonra dolmak üzere. Dünkü milimetrik kâğıdın yanına iki düzenek kurulmuş. Birincisi yalıtkan ayaklar üstünde karşılıklı duran, yirmi santimetre çaplı iki alüminyum disk; üstteki diskin yüksekliği ince dişli bir vidayla ayarlanıyor. İkincisi bir deney tahtası: kalemden kalın, bin mikrofaradlık silindir biçimli bir kapasitör, on kiloohmluk bir direnç, dokuz voltluk bir pil ve bir anahtar.

Tomris Hanım çok ölçerin kapasitans kademesini disklere bağlıyor. Aralık dört milimetreyken ekranda 70 pikofarad dolayında bir sayı beliriyor. Kartal vidayı çevirip aralığı ikiye indiriyor; sayı 140'a çıkıyor. Bir milimetrede 280'e varıyor. Kartal disklere eğilip bakıyor. "Arada yalnız hava var. Ölçer neyi sayıyor? Yaklaştırınca neden büyüyor?"

Tomris Hanım cevap yerine deney tahtasının anahtarını kapatıyor. Voltmetrenin ibresi sıfırdan kalkıyor, önce hızlı, sonra giderek ağır tırmanıyor. On saniye sonra 5,7 voltu gösteriyor; yarım dakika sonra dokuza yaklaşmış ama henüz varmamış.

Bu derste ne olacak

Kartal'ın sorusunu biriken yükün gerilime oranıyla cevaplayacak, bu oranı levha alanına, aralığa ve aradaki maddeye bağlayacağız. Depolanan enerjiyi ve ibrenin neden ağırlaştığını hesapladıktan sonra aynı bağıntıyı hücre zarına uygulayıp ölçülen değerle karşılaştıracağız; iki sayı birebir tutmayacak.

Metin

Karşılıklı iki yüzey

Anahtar kapanınca pil, bir diskteki elektronları öbür diske taşır. Taşınan her elektron bir yüzeyde fazladan eksi yük, öbüründe aynı büyüklükte artı yük bırakır; yükün korunumunu modül açılırken tanımlamıştık. Diskler arasındaki hava yalıtkandır, yük aralığı atlayamaz. Yükler yüzeylerin birbirine bakan yanlarında toplanır, çünkü karşı diskteki zıt yük onları çeker. Yığıldıkça aradaki potansiyel farkı büyür ve pilin gerilimine eşitlenince taşıma durur.

Ölçerin saydığı, her volt başına yüzeyde kaç coulomb biriktiğidir. OpenStax'in University Physics kitabı kapasitansı bu oranla tanımlar; College Physics aynı tanımı "volt başına depolanan yük" diye verir. İki kitap birimi de aynı biçimde yazar: 1 F = 1 C/V.

Deney tahtasındaki kapasitör dolduğunda 9,0 voltta 0,0090 coulomb taşıyor olsun. Kapasitansı C = 0,0090 ÷ 9,0 = 0,0010 F, yani bin mikrofaraddır. Kartal'ın disklerindeki 140 pikofarad, avucundaki kapasitörün yaklaşık yedi milyonda biridir. Oran, direnç gibi düzeneğin sabitidir: gerilim ikiye katlanınca yük de ikiye katlanır.

Kompliyansı esnek damardaki akışı işlerken C = ΔV ÷ ΔP diye tanımlamış, lateks hortumun basınç başına aldığı hacmi ölçmüştük. Kapasitans aynı kalıbın elektrikteki karşılığıdır: hacmin yerine yük, basıncın yerine gerilim geçer. Ohm Yasası dersindeki benzetmede boş kalan yer, esnek duvarın geçici olarak tuttuğu suydu; devrede o işi kapasitör görür.

Aralık, alan ve aradaki madde

Düz, geniş ve birbirine yakın iki diskte aradaki alan hemen hemen düzgündür. University Physics boşlukta C = ε₀A ÷ d verir; College Physics araya bir yalıtkan konduğunda aynı bağıntıyı κ katsayısıyla çarpar. Modülün ilk dersinde bu katsayıya bağıl elektrik geçirgenliği (εᵣ) adını vermiş, boşluğun geçirgenliği ε₀'ı da NIST tablosundan, yuvarlanınca 8,854 × 10⁻¹² F/m olarak almıştık.

C = ε₀ × εᵣ × A ÷ d

Alan büyüdükçe yük yayılacak yer artar ve kapasitans büyür. Aralık küçüldükçe ise aynı yük, daha kısa bir mesafede aynı alanı kurar. Modülün ikinci dersinde düzgün alan için V = E × d bağıntısını kurmuştuk; alanı yüzeydeki yük belirlediğine göre, aralığı yarıya indirmek aynı yük için gerilimi yarıya indirir. Aynı gerilim için iki kat yük gerekir; Kartal'ın ekranındaki ikiye katlanma budur.

Disklere uygulayalım. Çap yirmi santimetre, yarıçap 0,10 metre, alan π × 0,10² ≈ 0,0314 m². Aralık 2,0 milimetre ve arada hava varken, havanın bağıl geçirgenliği 1'e çok yakın olduğundan:

C = 8,854 × 10⁻¹² × 0,0314 ÷ 0,0020 ≈ 1,39 × 10⁻¹⁰ F

Bu 139 pikofarad eder. Dört milimetrede yaklaşık 70, bir milimetrede 280 bulunur.

Araya bir madde konunca modülün ilk dersinde tanımladığımız bağıl elektrik geçirgenliği (εᵣ) devreye girer. Moleküller alanda kutuplanıp içerideki alanı zayıflatır; aynı yük daha küçük gerilim kurar, kapasitans εᵣ katına çıkar. College Physics'in tablosu teflon için 2,1, su için 80 verir; Wikipedia'nın bağıl geçirgenlik tablosu da teflona aynı 2,1'i yazar. Aralığı tümüyle dolduran bir teflon levha disklerin arasına sürülse ekrandaki sayı iki katını biraz aşardı. Salı günkü oluğun tuzlu suyu ise işe yaramaz; iyonları yükü bir diskten öbürüne taşır ve kapasitör boşalır.

Alanda bekleyen enerji

Yükü karşı diske taşımak için harcanan iş kaybolmaz. University Physics bu enerjinin levhalar arasındaki elektrik alanında durduğunu yazar. Kitap onu üç eşdeğer biçimde verir:

U = ½ × Q × V = ½ × C × V² = Q² ÷ (2C)

Yarım katsayısını College Physics basit bir gerekçeyle açıklar. İlk taşınan yük hiç gerilim görmez, sonuncusu tam gerilimi görür. Dolum boyunca ortalama gerilim V'nin yarısıdır ve taşınan toplam yük bu ortalamayla çarpılır.

Deney tahtasındaki bin mikrofaradlık kapasitör dokuz volta dolduğunda U = ½ × 0,0010 × 9,0² = ½ × 0,0010 × 81 ≈ 0,041 joule saklar.

Art arda ve yan yana, bu kez tersine

Ohm Yasası dersinde eşdeğer direnci kurarken seri bağlı dirençlerin doğrudan, paralel bağlıların terslerinin toplandığını görmüştük. Kapasitörler kuralı ters çevirir. University Physics ile College Physics formülleri aynı biçimde yazar: paralel bağlı kapasitörlerde C = C₁ + C₂ + …, seri bağlılarda 1 ÷ C = 1 ÷ C₁ + 1 ÷ C₂ + ….

Nedeni geometridedir. Yan yana bağlanan iki kapasitör, uçlarında aynı gerilimi paylaşır; bu, levha alanını büyütmek demektir. Art arda bağlananlarda ise her kapasitör aynı yükü taşır, gerilim aralarında bölünür; bu da aralığı uzatmaya benzer.

İki bin mikrofaradlık kapasitör yan yana bağlanırsa eşdeğer 1000 + 1000 = 2000 mikrofarad olur. Art arda bağlanırlarsa 1 ÷ C = 1 ÷ 1000 + 1 ÷ 1000 = 0,0020, yani C = 1 ÷ 0,0020 = 500 mikrofarad bulunur. Ohm Yasası dersinde iki on ohmluk direnç art arda 20, yan yana 5 ohm vermişti; sayılar yer değiştirdi.

İbre neden ağırlaşıyor

Anahtar kapandığı anda kapasitör boştur; pilin dokuz voltunun tamamı dirence düşer ve akım en büyük değerindedir. Yük biriktikçe kapasitörün gerilimi büyür, dirence kalan pay küçülür, akım azalır ve dolum yavaşlar.

Bu yavaşlamanın ölçeği tek bir çarpımdır. Direnç ile kapasitansın çarpımına zaman sabiti (time constant) denir: τ = R × C. College Physics ohm ile faradın çarpımının saniye verdiğini ayrıca yazar. Tomris Hanım'ın tahtasında τ = 10.000 × 0,0010 = 10 saniyedir.

University Physics, dolan bir kapasitörün bir zaman sabiti sonra son değerinin 1 − 1 ÷ e ≈ 0,632'sine, boşalan birinin başlangıç değerinin 0,368'ine indiğini verir; College Physics aynı iki sayıyı gerilim için yazar. Dokuz voltun 0,632'si yaklaşık 5,7 volttur, Kartal'ın onuncu saniyede okuduğu değer budur. Her yeni zaman sabitinde kalan açığın aynı payı kapanır; eğri dokuza hiç tam dokunmaz.

Bir zarın iki yüzü

Lipit çift tabakasının hidrokarbon kuyruklardan oluşan ortası, Hidrofobik Etki dersinde gördüğümüz gibi suyu dışarıda tutar; elektrik açısından bu orta kat bir yalıtkandır. Zarın iki yanındaki iyonlu sıvı ise salı günkü tuzlu oluk gibi akım taşır. Dizilim disklerinkiyle aynıdır. Stony Brook Üniversitesi'nin nörofizyoloji ders metni çift tabakanın ideal bir kapasitöre yakın davrandığını yazar; Rob Phillips'in "Membranes by the Numbers" derlemesi zarı paralel levha gibi hesaplar.

Zarın birim alan başına kapasitansı için sık verilen sayı yaklaşık 1 µF/cm²'dir. Ders metni ve Phillips bu değeri ölçülen tipik değer olarak verir. Gentet, Stuart ve Clements'in 2000 yılında Biophysical Journal'da yayımladığı ölçüm, üç ayrı nöron türünde 0,9 µF/cm² bulur. Ölçüm yöntemi bu dersin iki parçasını birleştirir: hücreden koparılan bir zar parçasına ani bir gerilim basamağı uygulanır, dolum akımının üstel sönümünden toplam kapasitans çıkarılır ve yama alanına bölünür.

Ders metni hidrokarbon çekirdeğin bağıl geçirgenliğini 2,1, Phillips 2 verir; suyun seksenine göre çok düşük. Kalınlıkta kaynaklar ayrışır: Wikipedia'nın lipit çift tabakası maddesi hidrofobik çekirdeği tipik olarak 3 ile 4 nanometre, Phillips zarın tamamını 5 nanometre, ders metni etkin çekirdeği 3 nanometrenin altında verir. Hesap için 4 nanometreyi varsayım olarak alalım:

C ÷ A = 8,854 × 10⁻¹² × 2,0 ÷ (4,0 × 10⁻⁹) ≈ 4,4 × 10⁻³ F/m²

Bir santimetrekare 10⁻⁴ metrekare olduğundan bu 0,44 µF/cm² eder. Kalınlık 3 nanometre alınırsa 0,59, 5 nanometre alınırsa 0,35 bulunur. Ölçülen değer ise 0,9 ile 1 arasındadır; en yakın varsayımla bile iki kata yakın bir açık kalır. Ters yönden, 1 µF/cm²'yi bu geçirgenlikle verecek aralık 8,854 × 10⁻¹² × 2,0 ÷ 0,010 ≈ 1,8 nanometredir; Wikipedia ile Phillips'in verdiği kalınlıklardan belirgin biçimde incedir. Phillips de derlemesinde 5 nanometre ile 0,4 µF/cm² hesaplar ve ölçülen 1 µF/cm²'yi hemen ardına yazar; farkı açıklamaz. Karşılaştırma için Stephen White'ın 1970'te aynı dergide yayımladığı yapay zar ölçümü 20 °C'de 0,559 µF/cm² bulur; basit model yapay zara, gerçek hücre zarına olduğundan daha yakın düşer. Bu dersin kaynakları farkın nedenini göstermediği için burada bir neden önermiyoruz; mertebe tutar, katsayı tutmaz.

Zarın taşıdığı yük

Kapasitans bir zarı doldurmak için kaç iyonun yer değiştirmesi gerektiğini de hesaplatır. Aşağıdaki gerilim bir zar potansiyeli değeri değildir; yalnız hesabın girdisi olarak seçilmiştir. Bir santimetrekarelik zar 1 mikrofarad olsun, iki yüzü arasındaki fark da örneğin 0,1 volt alınsın. Biriken yük Q = C × V = 1 × 10⁻⁶ × 0,1 = 1 × 10⁻⁷ coulombdur. Tek yüklü iyon sayısı Q ÷ e ile bulunur:

1 × 10⁻⁷ ÷ (1,602 × 10⁻¹⁹) ≈ 6,2 × 10¹¹

Bir santimetrekare 10¹⁴ nanometrekaredir. Bölersek 10¹⁴ ÷ (6,2 × 10¹¹) ≈ 160, yani her 160 nanometrekareye tek bir fazla iyon düşer.

Diskler ayrılınca

Tomris Hanım vidayı sonuna kadar gevşetiyor; üst disk yükseldikçe ekrandaki sayı da eriyor. Deney tahtasında anahtar ters çevrilince voltmetrenin ibresi dokuzdan aşağı süzülüyor, onuncu saniyede üçün biraz üstünde duruyor. Kartal milimetrik kâğıdın boş köşesine bir çizgi çekiyor: bir yanda "iletken", ortada "yağ", öbür yanda "iletken"; altına "4 nm → 0,44, ölçülen 0,9" yazıp iki sayının arasına bir soru işareti koyuyor.

Kendini sına

1. Alanı 0,050 m² olan iki levha arasında 0,50 milimetrelik hava var. Kapasitansı hesapla. Aralık iki katına çıkarılırsa ne olur? Araya bağıl geçirgenliği 2,1 olan bir levha aralığı dolduracak biçimde konursa?
2. 470 mikrofaradlık bir kapasitör 22 kiloohmluk bir dirençle doluyor. Zaman sabiti kaç saniyedir? Bir zaman sabiti sonra 12 voltluk kaynağın yaklaşık kaç voltuna ulaşılır?
3. 200 ve 300 mikrofaradlık iki kapasitörün seri ve paralel eşdeğerini bul. Aynı sayıları ohm olarak alıp dirençlerle kıyasla.
4. Zar kalınlığı 3 nanometre, çekirdeğin bağıl geçirgenliği 2,1 alınırsa birim alan kapasitansı kaç µF/cm² çıkar? Ölçülen değerle farkı kaç kattır?

Bir sonraki derse köprü

Zarın iki yüzünde biriken yükün bir gerilim kurduğunu gördük; bu gerilimin iyonları nasıl ittiğini ise sormadık. Konsantrasyon Gradyanı dersinde yüksüz bir maddenin kimyasal potansiyeli yüksek yerden düşük yere geçtiğini tanımlamıştık. Elektrokimyasal Gradyan dersi, yüklü bir iyon için bu derişim farkına zar gerilimiyle gelen elektriksel bir terimin nasıl ekleneceğini, iki itişin aynı ya da zıt yönde olabileceğini ve toplamın, yani elektrokimyasal potansiyelin, bir iyonun zarın hangi yanına geçeceğini nasıl belirlediğini soracak.