Kan Damarında Akış

Açılış sahnesi

Salı öğleden sonrası tezgâhta bir kova su, lastik bir el pompası, yani bir puar, ve puarın çıkışında ikiye ayrılan bir hat duruyor. Kollardan biri Poiseuille deneyinin cam borularından biri; öbürü ince duvarlı bir lateks hortum, ucunda yarıya kadar sıkılmış bir kıskaç. Fahriye Hanım cam kolu açıp puarı saniyede bir sıkıyor. Borunun ucundan su her sıkışta fışkırıyor, aralarda kesiliyor.

Sonra kolları değiştiriyor. Lateks hortum her sıkışta şişiyor, ardından yavaşça sönüyor; kıskacın ağzından çıkan su ise aralarda durmuyor, yalnız kabarıp azalıyor. Çağan kaşlarını çatıyor. "Poiseuille'de basınç sabitti, boru da esnemiyordu. Burada ikisi de yok. O hesaptan elimizde ne kaldı?"

Bu derste ne olacak

Poiseuille Yasası dersinin varsayımlarını kana taşıyacağız. Esneyen duvarın gerilimini hesaplayacak, esnekliğin kesik akışı nasıl yumuşattığını anlatacağız. Kararlı akış hesabının hangi damarlarda iş gördüğünü boyutsuz bir sayıyla bulacak, direncin ağda nerede toplandığına ve kanın ince borulardaki davranışına bakacağız.

Mekanizma

Esneyen duvar ne kadar gerilir

Poiseuille Yasası dersinde boruyu rijit saymış, yarıçapın basınçla değişmediğini varsaymıştık. Lateks hortum ise basınçla genişliyor, duvarı buna bir çekme kuvvetiyle direniyor. Yüzey Gerilimi dersinde damlanın içindeki fazla basıncı kuvvet dengesinden 2γ ÷ r diye bulmuştuk. Uzunluğu L olan bir hortum parçasını boyuna ikiye kesilmiş düşünelim. Basınç yarıları 2r × L büyüklüğündeki kesit üzerinden iter, duvar iki kesim kenarı boyunca, toplam 2L uzunlukta tutar. P × 2r × L = T × 2L eşitliğinden T = P × r çıkar. Silindir tek yönde eğri olduğu için damladaki 2 çarpanı düşer; HyperPhysics de aynı koşulda kürenin silindirin yarısı kadar gerilim taşıdığını yazar.

Yuvarlak bir fiziksel örnek olarak 100 milimetre cıvalık bir basınç farkı alalım; Basınç dersindeki çarpanla 100 × 133,32 ≈ 13.332 pascal eder. OpenStax'in fizik kitabının aort için kullandığı 10 milimetrelik yarıçapla gerilim 13.332 × 0,010 ≈ 133 N/m çıkar. Aynı kitabın 8 mikrometrelik kılcal çapından yarıçap 4 mikrometredir ve aynı basınçta gerilim 13.332 × 0,000004 ≈ 0,053 N/m olur. Oran yarıçapların oranıdır: 0,010 ÷ 0,000004 = 2500.

Birim, Yüzey Gerilimi dersinde suyun 0,0728 N/m'sini yazdığımız birimdir. Aort örneğindeki gerilim bunun 133 ÷ 0,0728 ≈ 1800 katı, kılcal örneğindeki ise suyun yüzey geriliminden bile küçüktür. Gerçek kılcalda basınç daha düşük olduğundan fark daha da büyür. Tennessee Üniversitesi'nin bir biyomatematik modülü, Knut Schmidt-Nielsen'in 1990 tarihli fizyoloji kitabına dayanarak aynı sonuca varır: kılcal küçük yarıçapı sayesinde ince duvarla yırtılmadan durur, büyük atardamar kalın duvar ister.

Hava odası: esneklik kesik akışı nasıl yumuşatır

Lateks kolda olan şu: puar her sıkışta hortuma su itiyor, ama kıskacın daralttığı ağız bu suyun hepsini o anda geçiremiyor. Kalan su duvarı gererek birikiyor; sıkış bitince duvar geri yaylanıp onu aradaki sessizlikte dışarı itiyor. Esnemeyen cam boruda böyle bir depo yoktur, giren su aynı anda çıkmak zorundadır.

Kurgusal bir ölçümde Çağan kıskacı kapatıp hortuma 5 mililitre su daha basıyor, manometre 10 milimetre cıvalık artış gösteriyor. Kompliyans 5 ÷ 10 = 0,5 mL/mmHg olur; cam boruda sıfıra yakındır. OpenStax'in anatomi-fizyoloji kitabı çapı 10 milimetreyi aşan atardamarları tipik olarak elastik sayar: her kasılmada genişler, ardından geri yaylanırlar.

Wikipedia'nın Windkessel etkisi maddesi, Almanca "hava odası" anlamındaki adın Otto Frank'ın 1899 makalesiyle yerleştiğini, benzetmenin kökünün ise 18. yüzyılda Stephen Hales'in andığı itfaiye pompalarının hava odası olduğunu aktarır. Dolaşımda bu işi büyük atardamarların duvarı görür: kasılmada çıkan kanın bir kısmı gerilen duvarda depolanır, gevşemede duvar onu ileri iter. Madde, bu depolamanın basınç salınımını sönümlediğini ve kalp gevşerken de akışı sürdürdüğünü yazar.

Atımlı akışta kararlı hesaptan ne kalır

Puarın her sıkışında basınç farkı yükselip düşüyor. Akışkan her an yeni basınca uyabilseydi Poiseuille'ün hesabı anlık olarak geçerli kalırdı. Uyum ise zaman alır. Yoğunluk ve Viskozite dersi kinematik viskoziteyi momentumun akışkan içinde yayılma hızı diye tanımlamıştı; duvarın yavaşlatıcı etkisi borunun ortasına bu yayılmayla ulaşır.

Wikipedia'nın maddesi sayıyı John Womersley'in 1955 tarihli Journal of Physiology makalesine bağlar. Sayı 1 civarında ya da altındaysa profil parabol kalır ve basınç farkıyla aynı fazda salınır; 10 civarında ya da üstündeyse ortada düzleşir, tıkaç gibi ilerler ve ortalama akış yaklaşık çeyrek çevrim geride kalır. Loudon ile Tordesillas'ın 1998 tarihli analizi de küçük değerlerde akışın basıncı adım adım izlediğini gösterir.

Saniyede bir atımı yuvarlak örnek alırsak ω = 2π × 1 ≈ 6,28 radyan/saniye olur. Reynolds Sayısı dersindeki kan değerleriyle ρ ÷ η = 1050 ÷ 0,002084 ≈ 503.800 s/m²; frekansla çarpıp karekök alınca yaklaşık 1779 m⁻¹ çıkar. Aortun 10 milimetrelik yarıçapıyla α ≈ 17,8 bulunur. OpenStax arteriyol iç çapını 30 mikrometreye kadar verir; 15 mikrometrelik yarıçapla α ≈ 0,027, kılcalın 4 mikrometresiyle ≈ 0,0071 olur. Wikipedia'nın tablosu aynı damarlar için 13,83, 0,0166 ve 0,00443 verir; yarıçap ve frekans seçimine göre sayı değişir, mertebe tutar.

Çağan'ın sorusunun cevabı buradadır. Arteriyolde ve kılcalda sayı birin çok altında kaldığı için kararlı akış hesabı atımın her anında kullanılabilir; aortta profil düzleşir ve akış geride kalır. Reynolds Sayısı dersinde aortta 2700 civarında, kılcalda binde bir mertebesinde bir sayı bulmuştuk. İkisi de damar küçüldükçe düşer ama farklı soruları cevaplar: Reynolds sayısı girdaba geçişi, Womersley sayısı salınan akışın parabolü koruyup korumadığını ölçer.

Dallanan ağ ve direncin toplandığı yer

Adveksiyon dersinde (L02-P07-M01-D07) süreklilik denklemini kurmuş, bütün kılcalların toplam kesitini yaklaşık 0,25 metrekare bulmuştuk. Kılcal sayısı buradan çıkar: 4 mikrometre yarıçaplı tek kılcalın kesiti π × (0,000004)² ≈ 5,03 × 10⁻¹¹ metrekaredir; 0,25 ÷ 5,03 × 10⁻¹¹ ≈ 5,0 × 10⁹, yani yaklaşık beş milyar kılcal. OpenStax'in fizik kitabı aort debisinden ve kılcal hızından aynı beş milyara varır.

Poiseuille Yasası dersinde yan yana borularda dirençlerin terslerinin toplandığını görmüştük. Tek bir kılcal gerçekten dirençlidir: aynı uzunlukta 15 mikrometrelik bir arteriyolle karşılaştırılırsa direnç oranı (15 ÷ 4)⁴ ≈ 198 olur. Ama beş milyar kılcal yan yana beslendiği için yatağın toplam direnci tek bir kılcalınkinin kat kat altına iner.

OpenStax'in anatomi-fizyoloji kitabı arteriyolleri hem direncin hem kan basıncı düzenlemesinin başlıca yeri sayar; Wikipedia'nın arteriyol maddesi de basınçla hızdaki en büyük değişimi arteriyolden kılcala geçişe koyar. Arteriyol çapındaki küçük bir değişiklik, dördüncü kuvvet yüzünden direnci büyük ölçüde değiştirir.

İnce boruda kan tek bir sıvı değildir

Poiseuille'ün son varsayımı Newton tipi akışkandı. Kanın kayma hızı arttıkça incelen bir akışkan olduğu, Yoğunluk ve Viskozite dersinin konusuydu. Damar daraldıkça buna ikinci bir ayrılık eklenir: boru çapı alyuvar boyutuna yaklaşır.

Wikipedia'nın Fåhræus etkisi ve hemoreoloji maddeleri, çapı yaklaşık 300 mikrometrenin altındaki borularda alyuvarların ortaya toplandığını, duvar yanında hücresiz ince bir plazma katmanı kaldığını anlatır. Ortası hızlı aktığı için alyuvarlar plazmadan hızlı ilerler ve borudaki alyuvar payı, yani hematokrit, boruyu besleyen haznedekinden düşük çıkar. Barbee ile Cokelet'in 1971 tarihli Microvascular Research makalesi olayı bu adla inceler.

Kayma en büyük değerine duvar yanında ulaşır ve orada viskozitesi düşük plazma durur; alyuvar çekirdeği bu kaygan kılıfın içinde kayar. Pries, Neuhaus ve Gaehtgens'in 1992 derlemesi olayı Martini ve arkadaşlarının 1930 ölçümüne ve Fåhræus ile Lindqvist'in 1931 makalesine bağlar, cam borularda 3,3 ile 1978 mikrometre arasındaki ölçümleri tek eğride toplar. Pries ile Secomb 2005'te viskozitenin 6 ile 7 mikrometre civarında en düşük değere indiğini yazar. Daha dar borularda alyuvarlar tek sıra hâlinde, biçim değiştirerek geçer ve viskozite yeniden hızla yükselir.

Modelin sınırı

Duvar gerilimi hesabında yarıçapı sabit tuttuk. Esneyen duvarda basınç yükselince yarıçap da büyür ve gerilim iki yoldan artar; artışın ne kadar olacağı duvar malzemesine bağlıdır ve lateksinki bir damarınkiyle aynı değildir. Damar duvarı ayrıca katmanlıdır, ince ve türdeş duvar varsayımı ancak yaklaşıktır.

Windkessel bütün atardamar ağacını tek bir depo ile tek bir dirence indirir; basınç dalgasının yayılmasını ve dallanmalardan yansımasını göremez. Wikipedia'nın maddesi de modelin dalga yayılımına ve yansımaya dayalı yaklaşımlarla büyük ölçüde aşıldığını yazar.

Womersley sayısını tek bir frekansla hesapladık. Gerçek atım, temel frekansla onun katlarındaki bileşenlerin toplamıdır ve her bileşenin kendi sayısı vardır; sayı frekansın karekökünü taşıdığı için dört kat hızlı bir bileşende √4 = 2 kat büyür. Çözüm ayrıca düz, dairesel bir boru ve viskozitesi sabit bir akışkan üzerine kuruludur.

Fåhræus–Lindqvist eğrisi cam borularda ölçüldü. Pries ile Secomb canlı damarların iç yüzünü 0,8 ile 1 mikrometre kalınlığında bir endotel yüzey katmanının kapladığını ve bunun ek direnç kattığını yazar. Dersteki yarıçaplar, hızlar ve basınç da temsilî ders kitabı değerleridir.

Bu ders neyi göstermiyor

Mekanizmanın tutarlılığı bir müdahaleyi desteklemiyor; kararı L01-P02 tasarımlarıyla üretilmiş kanıt destekler. Kanın viskozitesini ya da damar duvarının esnekliğini değiştirdiği söylenen hiçbir uygulama için buradan sonuç çıkmaz; böyle bir etkinin bir kişiye yarar sağladığını ancak sonuçları karşılaştıran çalışmalar sınayabilir.

Ders bir kişinin kan basıncını, alyuvar payını ya da damarlarını yorumlamak için ölçüt vermiyor. 100 milimetre cıvalık basınç ve 4 mikrometrelik yarıçap birer hesap girdisidir, normal ya da anormal bir değer değildir.

Kıskaç gevşeyince

Fahriye Hanım kıskacı sonuna kadar açıp puarı yeniden sıkıyor. Hortum artık neredeyse şişmiyor; su cam borudaki gibi fışkırıp kesiliyor. Kıskaç yarıya sıkılınca hortum yeniden kabarıyor. Tahtaya iki satır yazıyor: 133 ile 0,053, altına 17,8 ile 0,0071. En alta da "beş milyar kol, direnç önlerinde" diye ekliyor.

Kendini sına

1. Basınç farkı 13.332 pascal olan, yarıçapı 2 milimetre bir tüpün duvar gerilimini hesapla. Aynı basınçta 10 milimetrelik tüpünkiyle oranı kaçtır?
2. Kıskaç tamamen açılınca lateks kolda akış neden yeniden kesikleşir? Cevabı kompliyans ve direnç sözcükleriyle kur.
3. Atım frekansı iki katına çıksa aortta Womersley sayısı kaç kat değişir? Kararlı akış hesabı hangi damarlarda yine kullanılabilir?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste basıncı esneyen duvarın gerilimine bağladık. Yüzey Gerilimi dersinde ise küçük bir damlanın Laplace basıncının yarıçap küçüldükçe büyüdüğünü hesaplamıştık. Akciğerde Yüzey Gerilimi dersi bu iki çizgiyi birleştirecek: iç yüzü ince bir sıvı tabakasıyla kaplı, farklı büyüklükteki hava keselerinde küçük kese neden büyüğüne boşalmaz, ve akciğerin kendi sürfaktanı bu dengede hangi işi görür?