Reynolds Sayısı

Açılış sahnesi

Cuma akşamı, koridorun ışıkları yarı yarıya sönmüş. Pencere önündeki cam tankın suyu bir akvaryum ısıtıcısıyla öğleden beri ılıtılıyor; sarkıtılmış termometre 37 °C'yi gösteriyor. Perşembe sabahı Çağan, ipliğin bozulmadığı son vana konumunu bir bant parçasıyla işaretlemişti. Şimdi vanayı o bandın hizasına getiriyor ve alttaki ölçülü kabın yarım litreyi yine kırk saniyede doldurduğunu kronometreyle doğruluyor. Sabahki hız, sabahki boru.

Mavi iplik trompetten çıkıyor, borunun üçte birini düzgünce geçiyor, sonra birden kısa bir mavi bulut kabarıyor. Bulut akışla birlikte sürükleniyor, ardında yine ince bir iplik bırakıyor; birkaç saniye sonra bir başkası beliriyor. Çağan vanaya dokunmadan bir dakika izliyor. Bulutlar bazen boru bitmeden sönüyor, bazen çıkışa kadar gidiyor. "Perşembe sabahı bu ayarda iplik dümdüzdü," diyor. "Suyu ılıttık diye akış mı değişti?"

Bu derste ne olacak

Reynolds'ın tankta aradığı birleşik ölçütü bir oran olarak yazıp birimlerinin nasıl yok olduğunu göreceğiz. Oranı iki kuvvetin karşılaştırması olarak okuyacağız. Tankın perşembe sabahki ve bu akşamki akışlarını, Poiseuille borularını ve kanı aynı sayıyla ölçüp geçiş için tek bir eşik olmadığını tartışacağız.

Metin

Dört büyüklük tek kesirde

Reynolds'ın cam tankını tanıdığımız derste bir gözlem öne çıkmıştı: düzenin bozulduğu hız boru genişledikçe ve su ısındıkça düşüyordu. Isınan suyun değişen özelliği viskoziteydi. Bu gözlemleri bir araya getiren kesir şudur:

Re = ρ × v × D ÷ η

Burada ρ akışkanın yoğunluğu, v kesitteki ortalama hız, D borunun iç çapı, η dinamik viskozitedir. Hız, çap ya da yoğunluk büyüdükçe sayı büyür; viskozite büyüdükçe küçülür.

OpenStax'in fizik kitabı aynı sayıyı yarıçapla, 2 × ρ × v × r ÷ η biçiminde yazar; Wikipedia'nın maddesi çapla kurar. İki yazılış aynıdır.

Yoğunluk ve Viskozite dersindeki kinematik viskoziteyi hatırlayalım: ν = η ÷ ρ. Yerine koyunca sayı Re = v × D ÷ ν olur. Adveksiyon dersinde Péclet sayısı, akışın bir maddeyi taşıma hızını difüzyonunkiyle karşılaştırmıştı: v × L ÷ D. Reynolds sayısı aynı kalıbı momentum için kurar. Paydadaki ν, momentumun katmanlar arasında yayılma hızıdır; pay ise akışın momentumu sürükleyip götürme hızıdır.

Birimler nereye gidiyor

Boyut Analizi dersinde aynı boyuttaki iki niceliğin oranının birimsiz kaldığını görmüştük. Birimleri tek tek yazalım. Yoğunluk kg/m³, hız m/s, çap m'dir; payın birimi kg/m³ × m/s × m = kg/(m·s) eder. Pascal saniyeyi açarsak Pa = kg/(m·s²) olduğundan Pa·s = kg/(m·s) olur. Pay ile payda aynı birimdedir ve sadeleşir. OpenStax sayının birimsiz olduğunu açıkça yazar.

Birimsiz olmasının pratik bir sonucu vardır: sayı hangi birim sisteminde hesaplanırsa hesaplansın aynı çıkar. Santimetre, gram ve poazla hesaplayan bir öğrenci de metre, kilogram ve pascal saniyeyle hesaplayanla aynı sayıyı bulur.

Eylemsizlik ile sürtünmenin yarışı

Oranın neyi karşılaştırdığını kaba bir hesapla görebiliriz. Hızla ilerleyen bir su parçasının kendi yolunda gitmeye direnme eğilimi, yani eylemsizliği, birim hacim başına ρ × v² mertebesindedir. Viskoz gerilme ise viskozite çarpı kayma hızıdır; kayma hızı borunun çapı boyunca kabaca v ÷ D kadar olduğundan gerilme η × v ÷ D mertebesindedir. İkisini oranlayınca ρ × v² ÷ (η × v ÷ D) = ρ × v × D ÷ η çıkar. Wikipedia'nın maddesi de sayıyı eylemsizlik kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranı diye tanımlar.

Sayı küçükse viskozite kazanır. Bir su parçasını yana saptıran küçük bir kıpırtı, komşu katmanların sürtünmesiyle hemen sönümlenir ve akış katmanlı kalır. Sayı büyükse eylemsizlik kazanır: kıpırtı kendi hızıyla büyür, girdaba döner, girdap yeni girdaplar doğurur. Perşembe sabahki mavi ipliğin bir noktada dağılması bu yarışın sonucuydu.

Tankta iki sabah, bir akşam

Perşembe sabahı Çağan'ın 10 milimetrelik borusunda iplik saniyede 0,16 metrelik ortalama hızda bozulmadan kalmış, 0,64 metrede dağılmıştı; tanktaki suyu 20 °C alalım. Modülün ilk dersindeki NIST tablosu bu sıcaklıkta suya ρ = 998,2 kg/m³ ve η = 0,0010016 Pa·s verir.

Düzenli akışın sayısı 998,2 × 0,16 × 0,010 ÷ 0,0010016 ≈ 1590 çıkar. Dağılan akışınki 998,2 × 0,64 × 0,010 ÷ 0,0010016 ≈ 6380'dir. Birincisi düzenin yaygın olarak korunduğu bölgede, ikincisi girdapların sürdüğü bölgededir.

Bu akşam hız aynı, ama su 37 °C'de. Aynı tablo o sıcaklık için ρ = 993,3 kg/m³ ve η = 0,0006913 Pa·s verir. Sayı 993,3 × 0,16 × 0,010 ÷ 0,0006913 ≈ 2300'e çıkar. Yoğunluk binde beş kadar, viskozite yaklaşık üçte bir azalmıştır. Kinematik viskozitelerin oranı 1,0034 ÷ 0,6959 ≈ 1,44'tür: ılık suda aynı borunun, aynı Reynolds sayısına 1,44 kat daha yavaş akışla ulaşması beklenir. Reynolds'ın gördüğü, ısınan suda kritik hızın düşmesi, bu bölmenin sonucudur.

Tersinden de sorabiliriz: 2000 değerine hangi hızda ulaşılır? v = Re × η ÷ (ρ × D) yazılırsa, soğuk suda 2000 × 0,0010016 ÷ (998,2 × 0,010) ≈ 0,20 m/s, ılık suda 2000 × 0,0006913 ÷ (993,3 × 0,010) ≈ 0,14 m/s bulunur. Bantlı vana konumu, soğuk suda bu sınırın altında, ılık suda üstünde kalmıştır.

Tek bir çizgi değil, bir kuşak

Kaynaklar geçiş için farklı sayılar verir ve bunların çoğu birbiriyle çelişmez; farklı soruları cevaplar. OpenStax, borudaki akışın yaklaşık 2000'in altında laminer, yaklaşık 3000'in üstünde türbülanslı olduğunu yazar. Arada akış kararsızdır: küçük engeller ya da yüzey pürüzü onu türbülansa çevirebilir, akış iki durum arasında gelip gidebilir. Tam gelişmiş boru akışı için Wikipedia 2300 ile 2900'ü sınır alır. Aynı ansiklopedinin hemodinamik maddesi ise 2300'ün altını laminer, 4000'in üstünü türbülanslı sayar.

Kuşağın genişliği, Reynolds'ın tankında en çok özen gösterdiği koşula, suyun boruya nasıl girdiğine bağlıdır. Wikipedia'nın geçiş maddesi ile Marensi, Willis ve Kerswell'in 2019'da Journal of Fluid Mechanics'te yayımladığı çalışma burada birleşir. Reynolds bir deney dizisinde geçişi yaklaşık 2000'de, dış kıpırtıyı en aza indirdiği bir başkasında ise on bini aşan bir değerde bulmuştu. Aynı makale ile Trinh'in 2010 tarihli bir ön baskısı, Pfenninger'in 1961'de çok sıkı denetlenmiş bir düzenekte laminer akışı yüz bine kadar koruduğunu aktarır. Üst sınır, deneycinin sabrına ve düzeneğinin durgunluğuna göre yükselir.

Alt sınır ise daha kararlıdır. Avila ve arkadaşlarının 2011'de Science dergisinde yayımladığı çalışma bir soruyu cevapladı: türbülans hangi değerin altında eninde sonunda söner? Düşük değerlerde türbülans, borunun içinde akışla sürüklenen kısa girdap yamaları hâlinde görünür. Bu yamalar bir süre sonra kendiliğinden söner, ama bölünüp çoğalabilir de. Barkley ile arkadaşlarının 2015 tarihli makalesi de Xu ile arkadaşlarının 2017 tarihli ön baskısı da bu çalışmaya dayanarak aynı sayıyı aktarır: yaklaşık 2040'ın üstünde bölünme sönmeye baskın gelir ve türbülans kalıcılaşır. Çağan'ın ılık suda gördüğü, akışla sürüklenen ve kimi zaman sönen mavi bulutlar böyle yamalara benzer.

Poiseuille borularının sağlaması

Poiseuille Yasası dersindeki hesap akışın laminer olduğunu varsaymıştı; artık bunu denetleyebiliriz. Geniş borunun ortalama hızı 0,15 m/s, çapı 1 milimetreydi: 998,2 × 0,15 × 0,001 ÷ 0,0010016 ≈ 150. Dar boruda ortalama hız dörtte bire, 0,038 m/s'ye iner, çap da yarıya: 998,2 × 0,038 × 0,0005 ÷ 0,0010016 ≈ 19. İki sayı da geçiş kuşağının çok altındadır; o dersteki debi hesabı bu yüzden bu düzenekte geçerliydi.

Fahriye Hanım'ın o gün bıraktığı soru, aynı geniş borunun ılık suyla çalışmasıydı. Debi 1,45 kat artarken viskozite düşer, yoğunluk da biraz azalır; sayı yaklaşık 320'ye çıkar ve yine rahatça laminerdir. Yasanın sınırını bu sayı çizer: aynı düzenekte hızı birkaç kat artırmak ya da çapı büyütmek bizi 2000 yöresine taşıdığında, debi hesabı güvenilmez olur.

Aorttan kılcala

Aynı sayıyı kana uygulayalım. OpenStax'in fizik kitabı kanın yoğunluğunu 1050 kg/m³, 37 °C'deki tam kanın viskozitesini 0,002084 Pa·s verir. Aort için aynı kitabın örneği iç yarıçapı 10 milimetre alıp dakikada 5,0 litrelik kalp debisinden 0,27 m/s ortalama hız hesaplar; aynı yayıncının biyoloji kitabındaki değer ise 30 cm/s'dir. Wikipedia'nın hemodinamik maddesinin aort için verdiği 3 ile 5 santimetrekarelik kesit alanı da 2,0 ile 2,5 santimetre arasında bir çapa karşılık gelir. Çapı 0,020 metre alırsak sayı 1050 × 0,27 × 0,020 ÷ 0,002084 ≈ 2700 olur; 30 cm/s ile 3000 çıkar. Wikipedia'daki Reynolds sayısı tablosu aortu 10³ mertebesine koyar.

Kılcalda tablo tersine döner. OpenStax'in fizik kitabı kılcal çapını 8,0 mikrometre, oradaki hızı yaklaşık 0,33 mm/s verir; biyoloji kitabı 0,026 cm/s yazar, Wikipedia'nın kılcal maddesi çapı 5 ile 10 mikrometre arasına koyar. Sayı 1050 × 0,00033 × 0,000008 ÷ 0,002084 ≈ 0,0013 çıkar. Aort ile kılcal arasında oran 2700 ÷ 0,0013 ≈ iki milyondur.

Bu sayılar bir kişinin damarlarını değil, fiziğin mertebesini anlatır. Kanın viskozitesinin kayma hızıyla değiştiğini modülün ilk dersinde görmüştük. Viskozite iki katı alınsa sayı yarıya iner; aortun ortalama hızı da kalbin atım atım pompaladığı bir akışın zaman ortalamasıdır. Kılcalda ise kan düzgün bir sıvı gibi değil, hücreler taşıyan bir süspansiyon gibi davranır. Atımla dolup boşalan esnek bir damarda bu hesabın ne kadar tuttuğu, Kan Damarında Akış dersinin sorusu olacak.

Adını koyan ve ölçek benzerliği

Kesire Reynolds'ın adını, 1908'de Roma'daki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde bir akış kararlılığı bildirisi sunan Arnold Sommerfeld verdi. Rott'un 1990'da Annual Review of Fluid Mechanics'te yayımlanan tarih notu, Sommerfeld'in R'yi "Reynolds sayısı diyeceğimiz saf bir sayı" diye tanıttığını aktarır. Aynı not, Rayleigh'in bu fikri Reynolds'tan önce Stokes'a bağladığını yazar. Stokes adını Brown Hareketi dersindeki Stokes–Einstein bağıntısından tanımıştık.

Birimsiz bir sayının en güçlü kullanımı karşılaştırmadır. Wikipedia'nın maddesine göre geometrisi aynı iki akış, Reynolds sayıları da eşitse benzer davranır; mühendisler küçültülmüş modelleri bu yüzden gerçek boyuttaki akışı öngörmek için kullanır. Reynolds'ın yaklaşık bir inçlik borusu ile Çağan'ın 1 santimetrelik borusu, girişleri benzer ve sayıları eşit olduğunda aynı düzeni ya da aynı bulutları gösterir.

Isıtıcının fişi çekilince

Fahriye Hanım ısıtıcının fişini çekiyor ve vanayı bandın biraz gerisine alıyor. Kap bu kez kırk sekiz saniyede doluyor; mavi iplik trompetten borunun sonuna kadar yeniden düz uzanıyor. Çağan hızı hesaplayıp 1900 dolayında bir sayı buluyor. Bandın hizasına döndüğünde yamalar yeniden beliriyor. İkisi tahtaya iki sayı yazıyor: 1590 ve 2300. Fahriye Hanım aralarındaki boşluğu tebeşirle tarıyor.

Kendini sına

1. Oda sıcaklığındaki su, iç çapı 5 milimetre olan bir boruda 0,30 m/s ortalama hızla ilerliyor. Reynolds sayısını hesapla (ρ = 998,2 kg/m³, η = 0,0010016 Pa·s) ve akışın hangi bölgede olduğunu söyle.
2. Aynı akışkan, aynı hızla çapı iki katı olan bir borudan geçerse Reynolds sayısı nasıl değişir? Viskozitesi iki katı olan bir akışkan aynı borudan aynı hızla geçerse?
3. Bir ders kitabı geçişi 2000'de, bir başkası 2300'de başlatıyor. Bu iki kitaptan birinin yanlış olduğu sonucuna neden varamayız?

Bir sonraki derse köprü

Reynolds sayısında her kuvvet akışkanın içindeydi: eylemsizlik ile katmanlar arasındaki sürtünme. Sıvı havayla ya da başka bir sıvıyla karşılaştığında yeni bir kuvvet ortaya çıkar. Yüzey Gerilimi dersi şunu soracak: sıvı–hava sınırındaki moleküller neden içeridekilerden farklı çekilir, yüzey gerilimi neden birim uzunluk başına bir kuvvet olarak ölçülür, ve bu kuvvet hangi ölçekte eylemsizliği ve ağırlığı geride bırakır?