Poiseuille Yasası

Açılış sahnesi

Cuma, öğle arasından hemen sonra. Dünkü cam tank pencerenin önünde, içine sarkıtılmış termometresiyle bekliyor; ılık su deneyi akşama kalmış. Fahriye Hanım tezgâhın öbür ucuna daha küçük bir düzenek kurmuş: bir sehpanın üstünde yan tarafında taşma ağzı olan bir su şişesi, şişenin dibinden çıkan kısa bir hortum ve hortumun ucuna takılabilen iki ince cam boru. Taşma ağzı sayesinde şişedeki su yüzeyi borunun çıkışından hep on santimetre yukarıda kalıyor. Borular yirmi santimetre uzunluğunda; birinin iç çapı bir milimetre, öbürününki yarım milimetre.

Çağan geniş boruyu takıp altına ölçülü bir silindir koyuyor, kronometreyi başlatıyor. Beş dakika sonra silindirde 36 mililitre su birikmiş. "Öbürünün deliği yarısı kadar," diyor, "demek on sekiz mililitre gelir." Dar boruyu takıp aynı beş dakikayı bekliyor. Silindirin dibinde, çizgilerin ancak ikisini geçen bir su var: iki mililitreyle biraz fazlası. Çağan dar boruyu ışığa tutup tıkanıklık arıyor; boru temiz.

Bu derste ne olacak

Borudaki akışkanı iç içe silindirlere bölüp kuvvetleri dengeleyerek hız profilini, oradan debiyi çıkaracağız ve Çağan'ın dar borusunu hesapla açıklayacağız. Akış direncini tanımlayıp art arda ve yan yana borulara uygulayacağız. Varsayımlarla ve yasanın iki adıyla kapatacağız.

Metin

İç içe silindirlere binen kuvvetler

Laminer ve Türbülanslı Akış dersinde borudaki akışı iç içe geçmiş ince silindirler gibi düşünmüştük: duvara değen katman durur, içeridekiler birbirinin içinden kayar. Şimdi bu silindirlerden birini, yarıçapı borununkinden küçük bir s olan su çubuğunu, zihnimizde ayıralım. Arkasındaki yüzeye yüksek basınç, önündekine düşük basınç biner. Aradaki fark ΔP ise çubuğu ileri iten kuvvet, farkın çubuğun uç yüzeyinin alanıyla çarpımıdır: ΔP × π × s².

Çubuğun yan yüzeyi ise dışındaki daha yavaş katmana sürtünür. Kayma gerilmesini modülün ilk dersinde viskozite ile kayma hızının çarpımı olarak tanımlamıştık. Burada kayma hızı, hızın yarıçap boyunca ne kadar dik değiştiğidir, ve fren kuvveti bu gerilmenin çubuğun yan yüzeyiyle, 2 × π × s × L ile çarpımıdır; L borunun uzunluğudur. Akış kararlıysa çubuk hızlanmaz, iki kuvvet birbirini dengeler.

Dengeden çıkan sonuç sadedir: kayma hızı, borunun ortasında sıfırdan başlayıp duvara doğru yarıçapla doğru orantılı büyür. Bu eğimi ortadan duvara kadar toplayınca hız profili çıkar: v(s) = ΔP × (r² − s²) ÷ (4 × η × L). Burada r borunun iç yarıçapı, η viskozitedir. Duvarda s = r olduğu için hız sıfırdır; kaymama koşulu kendiliğinden sağlanmıştır. Ortada s = 0'dır ve hız en büyük değeri olan ΔP × r² ÷ (4 × η × L)'ye ulaşır. Önceki derste nitel olarak çizdiğimiz burnu önde eğri, işte bu paraboldür.

Çağan'ın geniş borusuna uygulayalım. On santimetrelik su sütununun basıncı, Basınç dersindeki ρgh hesabıyla 998,2 × 9,81 × 0,10 ≈ 979 pascal eder; bu da 979 ÷ 133,32 ≈ 7,3 milimetre cıvadır. Yarıçap 0,50 milimetre, 20 °C'deki suyun viskozitesi 1,0016 × 10⁻³ pascal saniye, uzunluk 0,20 metre. Tepe hızı 979 × (5,0 × 10⁻⁴)² ÷ (4 × 1,0016 × 10⁻³ × 0,20) ≈ 0,31 m/s çıkar.

Ortalamadan debiye

Parabol kesit üzerinde toplanınca ortalama hız, tepe hızının tam yarısı çıkar. Hagen–Poiseuille bağıntısını anlatan Wikipedia maddesi de, türetmeyi adım adım veren mühendislik başvuru sitesi tec-science de bu yarıyı aynı biçimde yazar. Önceki derste ortadaki mürekkebin ortalamadan hızlı gittiğini söylemiştik; farkın büyüklüğü böylece belli oldu. Geniş boruda ortalama hız 0,31 ÷ 2 ≈ 0,15 m/s'dir.

Debi, ortalama hız ile kesit alanının çarpımıdır. Alan π × r², ortalama hız ΔP × r² ÷ (8 × η × L) olduğundan ikisinin çarpımı şu yasayı verir:

Q = ΔP × π × r⁴ ÷ (8 × η × L)

Dördüncü kuvvetin nereden geldiği türetmede görünür. Yarıçapın karelerinden biri kesit alanından gelir: geniş bir boru aynı hızda daha çok su taşır. Öbür karesi hızdan gelir: geniş boruda ortadaki katmanlar frenleyen duvardan uzaktadır ve daha hızlı akar. İki etki çarpılınca yarıçap dördüncü kuvvete çıkar.

Geniş borunun debisini hesaplayalım. Pay 979 × π × (5,0 × 10⁻⁴)⁴ ≈ 979 × 1,96 × 10⁻¹³ ≈ 1,92 × 10⁻¹⁰, payda 8 × 1,0016 × 10⁻³ × 0,20 ≈ 1,60 × 10⁻³ eder; Q ≈ 1,92 × 10⁻¹⁰ ÷ 1,60 × 10⁻³ ≈ 1,20 × 10⁻⁷ m³/s, yani saniyede 0,12 mililitre. Beş dakikada 0,12 × 300 = 36 mililitre birikir.

Yarım milimetrenin bedeli

Dar boruda yarıçap yarıya inmişti. Basınç farkı, viskozite ve uzunluk aynı kaldığı için debi yalnız r⁴ ile değişir ve (1 ÷ 2)⁴ = 1 ÷ 16 katına düşer. Geniş borunun beş dakikalık 36 mililitresi 36 ÷ 16 = 2,25 mililitreye iner; Çağan'ın silindirinin dibinde gördüğü de buydu. Onun beklediği on sekiz mililitre, debinin yarıçapla doğru orantılı olduğu bir dünyanın sonucuydu.

Küçük daralmalar da hissedilir. Yarıçap yalnız onda bir azalıp 0,9 katına inerse debi 0,9⁴ ≈ 0,66 katına düşer, yani üçte birini kaybeder. OpenStax'in fizik kitabı soruyu tersinden, aynı basınç farkında debinin yarıya inmesi için yarıçapın ne kadar küçülmesi gerektiğini sorar; cevap, 0,5'in dördüncü kökü olan 0,841'dir. Kitap bu hesabı bir atardamar örneği üzerinden kurar. Burada yalnız geometrisiyle ilgileniyoruz: yarıçapın altıda birinden az bir azalması, geçen hacmi yarıya indirmeye yetiyor.

Öbür büyüklüklerin etkisi daha yumuşaktır. Boruyu 0,40 metreye uzatmak debiyi yalnız yarıya indirir: saniyede 0,12 ÷ 2 = 0,06 mililitre. Isınan suyun viskozitesi düşer; Yoğunluk ve Viskozite dersindeki tabloya göre 37 °C'lik suyunki 0,6913 × 10⁻³ Pa·s'dir. η paydada durduğu için ılık suyla geniş borunun debisi saniyede 0,12 × 1,0016 ÷ 0,6913 ≈ 0,17 mililitreye çıkar.

Akış direnci

Yasayı bir oran olarak da yazabiliriz. Basınç farkını debiye bölersek geriye yalnız borunun ve akışkanın özelliklerinden oluşan bir büyüklük kalır.

OpenStax'in fizik kitabı debiyi Q = (P₂ − P₁) ÷ R diye, anatomi ve fizyoloji kitabı da basınç farkının dirence bölümü olarak yazar. Direnç büyük R, yarıçap küçük r ile gösterilir. Geniş borunun direnci 8 × 1,0016 × 10⁻³ × 0,20 ÷ 1,96 × 10⁻¹³ ≈ 8,2 × 10⁹ Pa·s/m³'tür. Sağlamasını tanımın kendisiyle yapabiliriz: 979 ÷ 1,20 × 10⁻⁷ ≈ 8,2 × 10⁹. Dar borunun direnci bunun on altı katı, yaklaşık 1,3 × 10¹¹'dir.

ΔP = Q × R yazılışı elektrikteki bir bağıntıya benzer. Wikipedia'nın hidrolik benzetme maddesi basıncı gerilime, debiyi akıma, borudaki daralmayı dirence karşılık getirir; Pfitzner'in 1976'da Anaesthesia dergisindeki tarih yazısı da yasayı Ohm yasasıyla karşılaştırarak anlatır. Elektrik tarafını ve benzetmenin nerede bozulduğunu Ohm Yasası dersi kuracak.

Art arda ve yan yana borular

Çağan dar boruyu geniş borunun ucuna ekleyip suyu ikisinden birden geçirirse ne olur? Aynı su önce birinden, sonra öbüründen geçer; debi ikisinde de aynıdır ve toplam basınç farkı iki borudaki düşüşlerin toplamıdır. ΔP = Q × R her boru için ayrı yazılıp toplanınca art arda borularda dirençlerin toplandığı görülür: R₁ + R₂. Burada toplam direnç geniş borununkinin 1 + 16 = 17 katıdır ve debi saniyede 0,12 ÷ 17 ≈ 0,0071 mililitreye düşer. Zincirin en dar halkası sonucu neredeyse tek başına belirler.

Yan yana beslenen borularda basınç farkı ortaktır, debiler toplanır. Bu kez dirençlerin tersleri toplanır: 1 ÷ R = 1 ÷ R₁ + 1 ÷ R₂. Geniş ile dar boru yan yana konduğunda toplam debi saniyede 0,12 + 0,0075 ≈ 0,127 mililitre olur; dar kol pek az şey ekler. Yarım milimetrelik borudan on altı tane yan yana konursa, bir milimetrelik tek boru kadar su geçirirler. Damar ağaçlarının bu kurallara nasıl uyduğu, yasanın kanda ne ölçüde tuttuğuyla birlikte Kan Damarında Akış dersinin konusu olacak.

Varsayımların listesi

Türetmenin her adımı bir varsayıma dayanıyordu. Katmanlar karışmadan kayıyordu, yani akış laminerdi. Akışkan Newton tipiydi, bu yüzden η'yı her katmanda aynı aldık. Boru rijit, düz ve dairesel kesitliydi; yarıçapı basınçla değişmiyordu. Akış zamanla değişmiyor, çubuklar hızlanmıyordu. Boru çapına göre uzundu; girişte profilin henüz parabole oturmadığı kısa bölge hesaba katılmadı. Wikipedia'nın maddesi de tec-science'ın türetmesi de aynı koşulları sayar.

Bunlardan biri bozulduğunda yasa sessizce yanlış sayı üretir. Türbülanslı akışta girdaplar fazladan enerji harcar ve aynı basınç farkı daha az su geçirir; akışın hangi koşulda laminer kalacağını ise sıradaki ders sayıya dökecek. Kan, esneyen ve dallanan damarlarda, kalbin kesik kesik ittiği bir akışla ilerler; alyuvarlar taşıyan bir sıvı olarak viskozitesi de kayma hızıyla değişir. Bu farkların yasayı nerede zorladığını Kan Damarında Akış dersi ayrıntısıyla işleyecek.

Hagen'in ve Poiseuille'ün boruları

Yasanın iki adı, iki bağımsız deney dizisinden gelir. Paris'te hekim ve fizyolog olarak çalışan Jean Léonard Marie Poiseuille, kan dolaşımıyla uğraşan biriydi. Bilim biyografileri sözlüğündeki maddesine ve Pfitzner'in yazısına göre 1828'deki doktora tezinde atardamar basıncını cıvalı bir manometreyle ölçmüştü; Basınç dersinde tanıdığımız milimetre cıva, onun çalışmalarında da basıncın birimiydi. Kılcallardaki kan akışını anlamaya çalışırken damıtılmış suyu çapı milimetrenin kesirleri kadar olan ince cam borulardan geçirdi. Basıncı, boru uzunluğunu, çapı ve suyun sıcaklığını tek tek değiştirip birim zamanda akan hacmi ölçtü. Sonuçlarını 1840'ta duyurdu, ayrıntılı çalışması 1846'da yayımlandı.

Bulduğu bağıntıda debi, basınç farkı ile çapın dördüncü kuvvetinin çarpımıyla doğru, boru uzunluğuyla ters orantılıydı. Orantı katsayısı borunun boyutlarından bağımsızdı, ama sıcaklıkla belirgin biçimde değişiyordu. Bugün o değişimin viskoziteden geldiğini biliyoruz. Aynı sözlük, Alman mühendis Gotthilf Hagen'in aynı yasayı 1839'da, Poiseuille'den önce bulduğunu yazar; Wikipedia'nın maddesi de Hagen'in makalesini aynı yıl Annalen der Physik und Chemie'de yayımladığını belirtir. Bu yüzden yasa bugün iki adla birlikte anılır.

Deney kuramdan önce geldi: parabolik hız profiliyle doğru bir türetmeyi 1860 dolaylarında Franz Neumann ile Hagenbach birbirinden bağımsız verdi; sözlük ile Wikipedia bu adlarda birleşir. Modülün ilk dersinde tanıştığımız eski viskozite birimi poaz da Poiseuille'ün adını taşır.

Tezgâhın başında

Çağan iki boruyu bir T bağlantısıyla hortuma yan yana takıyor, silindiri altlarına koyup beş dakika bekliyor. Silindirde otuz sekiz mililitreye yakın su birikiyor; dar kolun katkısı çizgiler arasında zor seçiliyor. Fahriye Hanım dünkü tankın termometresine bakıyor: "Akşam suyu ılıttığımızda bu şişeyi de dolduralım. Aynı borudan kaç mililitre geleceğini şimdiden yaz."

Çağan defterini açıp dünkü satırın altına dört harf yazıyor: ΔP, η, L, r. Sonuncusunun üstüne küçük bir 4 ekliyor.

Kendini sına

1. İç yarıçapı 1,0 milimetre, uzunluğu 0,50 metre olan bir borudan 20 °C'de su akıyor ve uçlar arasındaki basınç farkı 500 pascal. Debiyi hesapla (η = 1,0016 × 10⁻³ Pa·s).
2. Bir borunun yarıçapı iki katına çıkarılır, uzunluğu da iki katına çıkarılırsa aynı basınç farkında debi kaç katına çıkar?
3. Direnci R olan iki özdeş boru önce art arda, sonra yan yana bağlanıyor. İki durumda toplam dirençleri bul; aynı basınç farkında hangi düzen kaç kat daha çok su geçirir?

Bir sonraki derse köprü

Poiseuille yasası akışın laminer kaldığını baştan varsaydı; Reynolds'ın cam tankında ise hız arttıkça düzenin bir noktada bozulduğunu görmüştük. Reynolds Sayısı dersi şunu soracak: yoğunluk, hız, boru çapı ve viskozite tek bir boyutsuz oranda nasıl birleşir, bu oranın hangi değerinde laminer akış türbülansa döner, ve bu sayı yasanın kullanılabileceği sınırı nasıl çizer?