Laminer ve Türbülanslı Akış

Açılış sahnesi

Perşembe sabahı, aynı laboratuvar. Pencere önündeki uzun tezgâhta cam kenarlı, su dolu bir tank duruyor; ortasından boydan boya ince bir cam boru geçiyor. Borunun ağzı trompet gibi genişliyor ve tam karşısında bir iğnenin ucundan mavi mürekkep sızıyor. Öbür uç tankın duvarından çıkıp bir vanaya, vana da tezgâhın altındaki ölçülü bir kaba iniyor. Fahriye Hanım düzeneği sabah erkenden doldurup dinlenmeye bırakmış: "Su kıpırdamayı bırakmadan başlamıyoruz."

Çağan vanayı az açıyor. Mürekkep borunun içinde cetvelle çekilmiş gibi tek bir mavi iplik olarak uzanıyor, borunun sonuna kadar. Vanayı biraz daha açınca iplik inceliyor ama bozulmuyor. Bir tık daha açtığında borunun ortalarında iplik birden dağılıyor ve borunun geri kalanı açık mavi bir buluta dönüyor. Vanayı geri kısıyor; birkaç saniye sonra iplik yeniden kuruluyor. "Su aynı, boru aynı," diyor Çağan. "Değişen ne?"

Bu derste ne olacak

İki akış biçimini adlandıracak ve boruda hızın duvardan ortaya doğru nasıl değiştiğini nitel olarak kuracağız. Kaba dolan sudan ortalama hızı hesaplayıp Reynolds'ın cam tankına gideceğiz; onun 1883 makalesi, düzenli akışın hangi koşullarda bozulduğunu soruyordu. Türbülansın neden ses çıkardığını bir bahçe hortumu ve bir stetoskop üzerinden bağlayarak kapatacağız.

Metin

Birbirinin içinden kayan katmanlar

Yoğunluk ve Viskozite dersinde iki levha arasındaki sıvıyı katman katman düşünmüştük: üst levhaya yapışan katman onunla gidiyor, alttakiler giderek geri kalıyor, en alttaki duruyordu. Borudaki akış bu resmin bükülüp kapanmış hâlidir. Katmanlar düz levhalar yerine iç içe geçmiş ince silindirlerdir; en dıştaki cam duvara yapışır, içeridekiler birbirinin içinden kayar.

OpenStax'in fizik kitabı laminer akışı birbirine karışmayan katmanların düzgün akışı diye tanımlar; Wikipedia'nın maddesi de her katmanın komşusunun yanından karışmadan ya da çok az karışarak kaydığını yazar. Çağan'ın mavi ipliğinde mürekkep girdiği katmanda kalır ve yanlara yalnız difüzyonla yayılır; Brown Hareketi dersinde gördüğümüz gibi bu yayılma yavaştır, bu yüzden iplik boru boyunca neredeyse kalınlaşmadan gider.

OpenStax türbülansı katmanları karıştıran girdap ve burgaçlarla, Wikipedia ise basınçta ve akış hızında kaotik değişimlerle tanımlar. Wikipedia'ya göre türbülans kütlenin, momentumun ve ısının taşınmasını büyük ölçüde hızlandırır. Laminer akışta mürekkebi yana taşıyan tek şey moleküllerin ısıl hareketiydi. Girdaplar ise mürekkebi paket paket taşır ve kesitin tamamına kısa sürede yayar. Adveksiyon dersinde akışın bir maddeyi akış yönünde sürüklediğini görmüştük; türbülansta akış, maddeyi o yöne dik doğrultuda da taşımaya başlar.

Duvarda sıfır, ortada en hızlı

Borunun duvarı yerinde durur; alttaki sabit levhada olduğu gibi, duvara değen sıvı da durur. Akışkanlar mekaniği buna kaymama koşulu (no-slip condition) der. Wikipedia'nın maddesi viskoz bir akışkanın katı bir sınırda sıfır hıza ulaştığını, OpenStax de boruda viskoz akışkanın duvardaki hızının sıfır olduğunu yazar. Koşul çok seyrek gazlarda bozulur; su ile cam borumuz o durumların dışındadır.

Laminer akışta her katman içindekini frenler, dışındakine frenlenir. Hız duvardaki sıfırdan başlar ve ortada en büyük değerine yükselir; okların uçları birleştirildiğinde burnu önde bir eğri çıkar. Viskozitesi sabit bir sıvının uzun, düz bir borudaki kararlı laminer akışında bu eğri bir paraboldür: Wikipedia'nın Hagen–Poiseuille maddesi de MIT'in açık ders kitaplarından Dourmashkin'in mekanik metni de profili parabol diye verir. Parabolün nereden geldiğini Poiseuille Yasası dersi kuracak. Burada yalnız sonucunu tutalım: borunun ortasındaki mürekkep, kesitin ortalamasından daha hızlı ilerler.

Türbülansta profilin biçimi değişir. ABD Enerji Bakanlığı'nın akışkan el kitabı ile mühendislik başvuru özetleri, zaman içinde ortalanmış türbülanslı profilin kesitin büyük bölümünde oldukça düz olduğunu, hızın duvarın hemen yanında dik biçimde düştüğünü yazar. Girdaplar momentumu da mürekkep gibi yanlara taşıdığı için ortayla kenar arasındaki fark büyük ölçüde silinir.

Kaptaki sudan ortalama hıza

İplik akışın hızını söylemez; Çağan onu dolaylı ölçüyor: vana ilk açıklıktayken alttaki kaba 40 saniyede 0,50 litre su doluyor. Adveksiyon dersinde bir kesitten saniyede geçen hacmi, Q'yu, kesit alanıyla ortalama hızın çarpımı diye yazmıştık. OpenStax aynı bağıntıyı Q = A × v̄ biçiminde verir; ortalama hız buradan v̄ = Q ÷ A olarak çıkar.

Debi 0,50 × 10⁻³ ÷ 40 = 1,25 × 10⁻⁵ m³/s'dir. Borunun iç çapını 10 milimetre alalım; kesit π × 0,005² ≈ 7,85 × 10⁻⁵ m² eder. Ortalama hız 1,25 × 10⁻⁵ ÷ 7,85 × 10⁻⁵ ≈ 0,16 m/s, yani saniyede on altı santimetredir; iplik bu hızda bozulmadan kalıyordu. Vana iplik dağılıncaya kadar açıldığında aynı kap 10 saniyede doluyor. Debi 0,50 × 10⁻³ ÷ 10 = 5,0 × 10⁻⁵ m³/s'ye, hız da 5,0 × 10⁻⁵ ÷ 7,85 × 10⁻⁵ ≈ 0,64 m/s'ye çıkar.

Hız dört katına çıkmış, akışın biçimi de değişmiştir. Aradaki sınırın yalnız hıza bakılarak bulunamayacağını ise cam tanklarla çalışan bir mühendis göstermişti.

Reynolds'ın cam tankı

Osborne Reynolds bu deneyleri 1880'de Manchester'daki Owens College'da yaptı. Makalesi 15 Mart 1883'te Kraliyet Cemiyeti'nde okundu ve aynı yıl cemiyetin Philosophical Transactions dergisinde yayımlandı. Başlığı sorunun kendisidir: suyun hareketinin "doğrudan" mı yoksa "kıvrımlı" mı olacağını belirleyen koşulların deneysel bir incelemesi. Bugün laminer ve türbülanslı dediğimiz biçimlere Reynolds direct ve sinuous diyordu; Launder'ın 2015 tarihli yorumu da iki çifti böyle eşler.

Makaleye göre son düzenek, altı ayak uzunluğunda, on sekiz inç eninde ve derinliğinde bir tanktı. Ortasından yaklaşık bir inç çaplı bir cam boru geçiyordu. Ağzına, yüzeyi camla kesintisiz birleşsin diye özenle işlenmiş cilalı tahtadan bir trompet takılmıştı. Renkli su, ağzın tam karşısındaki ince bir borudan akışın ortasına bırakılıyordu. Tank şebeke suyuyla doldurulup saatlerce dinlenmeye bırakıldı; Manchester'dan Jackson'ın tanıtım sayfası da ölçüleri ve bekleyişi aynı anlatır. Özgün düzenek bugün hâlâ Manchester Üniversitesi'nin mühendislik laboratuvarlarında durmaktadır.

Makalede anlatılan gözlem Çağan'ınkiyle aynıdır. Hız yeterince düşükken renk şeridi borunun içinde "güzel, düz bir çizgi" olarak uzanıyordu. Hız küçük adımlarla artırıldığında, trompetten hep epey uzakta bir noktada şerit birden çevresindeki suya karışıyor ve borunun geri kalanını renkli bir kütleyle dolduruyordu. Reynolds tüpe bir elektrik kıvılcımının ışığında baktığında bu kütle, girdapları gösteren az çok belirgin kıvrımlara ayrıldı. Kıvılcımın çok kısa ışığı, sürekli ışıkta bulanık bir renk gibi görünen hareketi bir anlığına dondurmuştu.

Geçişi hangi koşullar belirler

Reynolds düzenin bozulduğu hıza kritik hız dedi ve onu değiştiren koşulları tek tek aradı. Su sıcaklığı sabit ve tank olabildiğince durgunken, girdapların ortaya çıktığı kritik hızlar boruların çaplarıyla neredeyse tam ters orantılıydı: geniş boruda düzen daha düşük bir hızda bozuldu. Aynı borularda su ısındıkça kritik hız düştü. Yoğunluk ve Viskozite dersinde suyun ısındıkça inceldiğini, viskozitesinin azaldığını görmüştük; Reynolds'ın gözlemi, bu incelmenin akışın düzenini zayıflattığını söyler. Reynolds anısına kurulan site de geçişin hız, çap ve viskozitenin birleşik bir ölçütüne bağlandığını özetler.

Bir koşul da suyun boruya nasıl girdiğinden gelir. Reynolds kritik hızın borudan önceki sudaki kıpırtıya çok duyarlı olduğunu, tutarlı sonuçları ancak tankın sıcaklığı ve durgunluğu için gösterilen en büyük özenle alabildiğini yazar. Wikipedia'nın geçiş maddesi aynı sonucu, geçişin giriş koşullarının düzgünlüğüne göre geniş bir aralıkta gerçekleştiği biçiminde özetler. Fahriye Hanım'ın sabahki bekleyişi bundandı.

Hız, çap, viskozite ve girişteki kıpırtı geçişi tek başlarına değil, birlikte belirler. Bu birleşimin nasıl kurulduğunu ve Reynolds'ın adını taşıyan boyutsuz sayıyı Reynolds Sayısı dersi işleyecek. Şimdilik sorunun biçimi yeter: aynı suyun aynı boruda düzenli mi düzensiz mi akacağını, birkaç büyüklüğün ortak sonucu belirler.

Girdabın sesi

Laminer akışta duvara düşen basınç zamanla değişmez ve akış sessizdir. Türbülansta basınç her noktada düzensizce dalgalanır; bu dalgalanmalar duvarı ve çevresini titretir, titreşim de duyulabilen bir hışırtı olarak yayılır.

Darlığın akışı nasıl hızlandırdığını bir bahçe hortumu gösterir. OpenStax'in örneğinde hortumdan saniyede 0,500 litre su akar ve hortumun iç yarıçapı 0,900 santimetredir. Kesit π × 0,009² ≈ 2,54 × 10⁻⁴ m², hız 0,500 × 10⁻³ ÷ 2,54 × 10⁻⁴ ≈ 1,96 m/s eder. Aynı su yarıçapı 0,250 santimetre olan bir memeden çıkarken kesit π × 0,0025² ≈ 1,96 × 10⁻⁵ m²'ye iner ve hız 0,500 × 10⁻³ ÷ 1,96 × 10⁻⁵ ≈ 25,5 m/s olur. Adveksiyon dersinde tanımladığımız süreklilik denklemine göre debi değişmediği için hız, yarıçap oranının karesi kadar, (0,900 ÷ 0,250)² ≈ 13 kat artmıştır. Reynolds'ın gözlemine göre hız arttıkça düzen kolaylaşarak bozulur; OpenStax de bir atardamardaki daralmanın, tıkanıklığın düzensiz yüzeyi yüzünden, türbülansa yol açmaya yatkın bir yer olduğunu yazar.

Aynı kitap dolaşımdaki türbülansın gürültülü olduğunu ve bazen stetoskopla duyulabildiğini yazar. Wikipedia'nın Reynolds sayısı maddesi de damar duvarındaki bir kabarıklığın yol açtığı türbülansın stetoskopla işitilebildiğini söyler. Bunu fizik olarak okuyalım: stetoskop, duvara ulaşan dalgalanmaları kulağa taşıyan kapalı bir hava yoludur.

Manşonun altındaki atardamar

Kan basıncı ölçümünde dinlenen sesler bu fiziğin tanıdık bir örneğidir. Nikolay Korotkov, Kasım 1905'te St. Petersburg'daki İmparatorluk Askerî Tıp Akademisi'nde kısa bir bildiri sundu. Kolu saran manşon atardamarı tamamen sıkıştırıp sonra yavaşça gevşetildiğinde, sıkışmanın altına konan stetoskopla bir dizi ses duyuluyordu. Tarihi ve yeri Paskalev ile arkadaşlarının 2005'teki yüzüncü yıl yazısı da Wikipedia da aynı verir.

Fiziksel resim şöyledir. Manşonun basıncı atardamarın içindekini aştığında damar kapanır ve akış durur. Manşon gevşedikçe damar her atımda kısa bir an açılır ve kan dar bir aralıktan kesik kesik geçer. OpenStax bu sesleri kısmen kapanmış atardamardaki türbülansa bağlar. Konu yine de kapanmış sayılmaz. Wikipedia'nın maddesi türbülansın yanında atardamar duvarının titreşimini ve kavitasyonu da olası kaynaklar arasında sayar. Drzewiecki ile arkadaşlarının 1989'da Annals of Biomedical Engineering'de yayımladığı çalışma ise sesin kaynağını, manşonun altında çökebilen damar parçasının doğrusal olmayan basınç–akış ilişkisinde arar. Seslerin mekanizması bugün de tartışılmaktadır.

Tankın başında

Çağan vanayı sonuna kadar açıp kulağını tankın kenarına yaklaştırıyor; borudan hafif bir hışırtı geliyor. Vanayı kısınca hışırtı kesiliyor, mavi iplik birkaç saniye içinde trompetten borunun ucuna kadar yeniden geriliyor. Fahriye Hanım tanka bir termometre sarkıtıyor: "Yarın suyu ılıtıp vanayı aynı yere getireceğiz. İplik bugünkü yerinde mi dağılır, daha önce mi, sen tahmin et."

Çağan defterine iki çizim yapıyor: ok boyları ortada en uzun olan bir kesit ve yanında kıvrım kıvrım bir bulut. Altına tek satırlık bir soru yazıyor: "Kaç büyüklük birlikte?"

Kendini sına

1. Bir borudan 25 saniyede 0,30 litre su akıyor ve borunun iç çapı 8 milimetre. Ortalama hızı hesapla.
2. Reynolds'ın gözlemlerine göre aynı sıcaklıktaki su, geniş bir boruda mı dar bir boruda mı daha düşük bir hızda düzenini kaybeder? Su ısıtılırsa kritik hız ne yöne kayar?
3. Laminer akan bir boruya aynı anda iki mürekkep damlası bırakılıyor: biri borunun ortasına, biri duvarın yakınına. Hangisi borunun ucuna önce ulaşır, neden?

Bir sonraki derse köprü

Laminer akışta duvara yapışan durgun katman, ortadaki hızlı katmanları viskozite yoluyla frenliyordu; suyu borudan geçirmek için uçlar arasında bir basınç farkı gerekiyordu. Poiseuille Yasası dersi bu frenin hesabını soracak: bir borudan saniyede geçen hacim basınç farkına, viskoziteye, borunun uzunluğuna ve yarıçapına nasıl bağlanır, akış direnci nasıl tanımlanır, ve yarıçaptaki küçük bir daralma debiyi neden bu kadar büyük ölçüde değiştirir?