Fick Yasası

Açılış sahnesi

Perşembe akşamüstü, anabilim dalının zemin kattaki hazırlık odası. Pencerenin altındaki uzun masada dört geniş beher iki çift hâlinde duruyor. Her çiftin bir beherinde derişik tuzlu su, öbüründe saf su var ve iki beheri agarla doldurulmuş kısa bir plastik hortum birbirine bağlıyor. Bir çiftin hortumu bir santimetre, öbürününki iki santimetre uzunluğunda. Seval Hanım düzeneği pazartesi kurmuş; saf su beherlerinin ikisine de birer iletkenlik ölçerin ucu daldırılmış.

Ders sonrası uğrayan Aras ölçerlerin yanındaki okuma kâğıdına bakıyor. Kısa hortumun beslediği beherde iletkenlik saatte aşağı yukarı iki kat hızlı yükseliyor. "Tuz aynı, su aynı, hortumun kesiti aynı," diyor. "Yol iki katına çıkınca gelen tuz yarıya iniyor. Bu tesadüf mü?" Seval Hanım okumaların altına bir çizgi çekiyor: "Geçen hafta kutularla saydığın şeyin bir formülü var. Yüz yetmiş yıl önce bir fizyolog da tuzu borularda yürütüp aynı soruyu sordu."

Bu derste ne olacak

Net akıyı gradyana bağlayan yasayı yazacak, birimlerini tek tek sadeleştirecek ve önündeki eksi işaretinin neden orada durduğunu göreceğiz. Rastgele yürüyüşten yola çıkıp bu yasadaki sabitin Brown hareketindeki difüzyon katsayısının ta kendisi olduğunu türeteceğiz. Sonra glukoz için bir akı hesaplayacak, kalınlığın ve alanın rolünü ayıracak ve difüzyon mesafesinin hücreye koyduğu sınırı konuşacağız.

Metin

Tuzlu borular

Adolf Fick 1855'te Zürih'te anatomi demonstratörü olarak çalışan genç bir fizyologdu. O yıl Annalen der Physik'te "Ueber Diffusion" başlıklı makalesini yayımladı. Başlangıç noktası, İskoç kimyacı Thomas Graham'ın farklı tuzların suda ne kadar hızlı yayıldığını karşılaştıran geniş deneyleriydi. Fick'e göre Graham'ın ölçümleri değerliydi ama eksik bir şey vardı: tek bir hacim öğesinde difüzyonu yöneten temel yasa.

Fick bu yasayı, ısının bir iletkende akışı için Fourier'nin yazdığı bağıntıyla aynı biçimde kurdu. Isı sıcaktan soğuğa, sıcaklık farkı kısa bir yola sıkıştıkça daha hızlı akar; Fick de maddenin derişimi yüksek yerden düşük yere, derişimin eğimiyle orantılı bir hızla aktığını varsaydı. Sınamak için tuzlu bir hazne ile saf su haznesini farklı uzunlukta borularla birleştirdi ve borunun ucundan çıkan tuzu ölçtü. Bu düzende bir süre sonra borunun içindeki derişim profili zamanla değişmeyen düz bir çizgiye oturur; Birikim ve Alan dersinde tanımladığımız kararlı durumun bir örneğidir bu. Borunun her kesitinden birim zamanda aynı miktar tuz geçer ve ölçmek kolaylaşır.

Fick orantı sabitine "maddelerin doğasına bağlı bir sabit" dedi ve onu k harfiyle yazdı. Bugün bu sabite D diyoruz.

Birinci yasa ve eksi işareti

J, Konsantrasyon Gradyanı dersinde tanımladığımız net akının kendisidir: iki yöndeki geçişlerin farkı, yüzey alanına bölünmüş olarak. Yasanın yeni söylediği şey bu farkın büyüklüğüdür.

Birimleri tek tek açınca bağıntı kendini doğrular. D metrekare bölü saniye, yani m²/s. Gradyan derişim bölü uzunluk; mol/m³ bölü m, yani mol/m⁴. Çarpım m²/s × mol/m⁴ = mol/(m²·s) verir: saniyede metrekare başına mol. Akının beklenen birimi tam da budur. D'nin alan bölü zaman birimi, rastgele yürüyüşte yer değiştirmenin karesinin zamanla büyümesinden gelir.

Eksi işareti bir yön kuralıdır. Konum x'in sağa doğru arttığını, derişimin de sağa doğru azaldığını düşünelim. O zaman dc ÷ dx eksi bir sayıdır. Önündeki eksi onu artıya çevirir ve J artı çıkar: akı sağa, derişimin düştüğü yöne doğrudur. Derişim sağa doğru artsaydı gradyan artı, J eksi olurdu ve akı sola dönerdi. İşaret, akının gradyanın tersine aktığını söyler. Aras'ın beherlerinde tuzun hep saf suya yürümesi, bu işaretin koordinatsız hâlidir.

Aynı D, iki ölçek

Brown Hareketi dersinde difüzyon katsayısını tek bir parçacığın yolundan tanımlamıştık: tek boyutta ⟨x²⟩ = 2Dt. Aynı harfin kalabalığın akısında da aynı sayı olduğunu küçük bir modelle görebiliriz.

Her molekül τ süresinde a uzunluğunda bir adım atsın; adımın yönünü yazı tura belirliyor gibi düşünelim. Ortamı a genişliğinde dilimlere bölelim ve komşu iki dilime bakalım; kesit alanı A, derişimler c₁ ve c₂. Soldaki dilimde c₁ × A × a kadar molekül vardır ve bir τ içinde bunların yarısı sağa adım atar. Sağdakinin yarısı da sola. Net geçiş ½ × A × a × (c₁ − c₂) olur. Bunu alana ve süreye bölünce akı J = a × (c₁ − c₂) ÷ (2τ) çıkar. Gradyan (c₂ − c₁) ÷ a olduğundan bu, J = −(a² ÷ 2τ) × gradyan demektir. Fick'in sabiti a² ÷ 2τ'dur.

Şimdi tek bir molekülün yoluna dönelim. t süresinde t ÷ τ adım atar ve varyanslar toplandığı için ⟨x²⟩ = (t ÷ τ) × a² olur. Bunu 2 × (a² ÷ 2τ) × t diye yazabiliriz. Parantezin içi yine a² ÷ 2τ'dur. Tek molekülün yayılımını ölçen D ile kalabalığın akısını ölçen D aynı büyüklüktür: mikroskoptaki titreme ile beherde biriken tuz aynı sabitle yazılır.

Sayıyla sınayalım. Brown Hareketi dersinde glukozun bir mikrometreyi yaklaşık 7,5 × 10⁻⁴ saniyede aştığını hesaplamıştık. Bu adımı a bir mikrometre, τ da o süre sayarsak a² ÷ 2τ = 10⁻¹² ÷ (1,5 × 10⁻³) ≈ 6,7 × 10⁻¹⁰ çıkar; metrekare bölü saniye cinsinden, başladığımız değer. Hesap döngüseldir; gösterdiği, iki tanımın aynı sayıda buluştuğudur. Konsantrasyon Gradyanı dersindeki iki kutulu modelde her adımda farkın onda birinin geçmesi, bu sabitin kaba bir kutu sürümüydü.

Glukozla bir akı

Konsantrasyon Gradyanı dersinde yirmi mikrometrelik bir yolda derişimin 10 mmol/L'den 2 mmol/L'ye indiği kurgusal bir yokuş kurmuş ve gradyanın büyüklüğünü 4 × 10⁵ mol/m⁴ bulmuştuk. Bu yokuşta suda serbestçe yayılan glukozun akısını hesaplayalım. 25 °C'deki difüzyon katsayısıyla J = 6,7 × 10⁻¹⁰ × 4 × 10⁵ ≈ 2,68 × 10⁻⁴ mol/(m²·s) olur.

Aynı sekiz birimlik fark iki kat uzun bir yola, kırk mikrometreye yayılsın. Gradyan (10 − 2) ÷ 40 = 0,2 mmol/L/µm, yani 2 × 10⁵ mol/m⁴ olur. Akı 6,7 × 10⁻¹⁰ × 2 × 10⁵ = 1,34 × 10⁻⁴ mol/(m²·s)'ye düşer. Oran 2,68 ÷ 1,34 = 2'dir: kalınlık iki katına çıkınca akı yarıya iner. Aras'ın uzun hortumunun yarı hızla beslemesi bunun kaba bir gösterisidir.

Bir yüzeyin tamamından saniyede geçen miktarı, Birikim ve Alan dersindeki anlamıyla akışı bulmak için akıyı alanla çarparız. Bir milimetrekarelik, yani 10⁻⁶ m²'lik bir kesitte akış 2,68 × 10⁻⁴ × 10⁻⁶ = 2,68 × 10⁻¹⁰ mol/s eder. Avogadro sayısıyla çarpınca saniyede yaklaşık 1,6 × 10¹⁴ glukoz molekülü. Kesit iki milimetrekareye çıkarsa akı değişmez, çünkü gradyan aynıdır; ama akış 5,36 × 10⁻¹⁰ mol/s'ye, iki katına çıkar.

İki hesap aynı cümlede toplanabilir. Toplam akış farkla ve alanla doğru, kalınlıkla ters orantılıdır: yaklaşık olarak D × A × Δc ÷ Δx. Bedenin difüzyonla iş gören yüzeyleri farkı korur, alanı genişletir, yolu kısaltır.

Zamanla yayılan profil

Akı derişimi değiştirir: bir dilime soldan giren sağdan çıkandan fazlaysa o dilimde madde birikir. Bu birikim hesabı birinci yasayla birleşince ikinci bir bağıntı çıkar.

Denklemi çözmeyeceğiz; nitel okuması yeterli. Türev Sezgisi dersinde ikinci türevi eğrinin bükülmesi olarak okumuştuk. Derişim eğrisinin tümsek olduğu yerde ikinci türev eksidir ve derişim zamanla düşer; çukur olduğu yerde artıdır ve derişim yükselir. Böylece tepeler alçalır, çukurlar dolar ve profil zamanla yayılarak yatıklaşır. Profil düz bir çizgiye oturduğunda bükülme sıfırdır, derişim artık zamanla değişmez: Fick'in borularındaki kararlı durum, ikinci yasanın en sade çözümüdür.

Mesafenin koyduğu sınır

Brown Hareketi dersindeki süre bağıntısı t = x² ÷ (2D), Fick yasasının zamandaki gölgesidir. Glukoz için on mikrometre yaklaşık 0,075 saniye sürüyordu. Yüz mikrometrede, 10⁻⁴ metrenin karesini aynı paydaya bölünce, süre yaklaşık 7,5 saniyeye çıkar; mesafe on kat büyürken süre (100 ÷ 10)² = 100 kat büyür. Aynı anda birinci yasa, kararlı bir farkın taşıyabileceği akının yol uzadıkça ters orantılı düştüğünü söyler.

Bu iki gerçek hücre boyuna bir tavan koyar. Güç Yasaları dersinde gördüğümüz yüzey–hacim oranı burada iş görür: bir hücrenin gereksinimi hacmiyle, yani yarıçapın küpüyle büyür; dışarıdan madde alabileceği yüzey ise yarıçapın karesiyle. Üstelik zarın içinden merkeze uzanan yol yarıçapla uzar ve bu yolu aşma süresi yarıçapın karesiyle büyür. Çok büyük, küresel bir hücre içini difüzyonla besleyemez. Bu yüzden metabolizması hızlı hücrelerin çoğu küçüktür ya da ince uzun, yassı ve kıvrımlı biçimlerle yüzeyini büyütür.

Doku ölçeğinde aynı mantık kılcal damarların dizilişinde görülür. Oksijen ve glukoz kılcaldan dokuya difüzyonla ilerler ve yolda tüketilir; kılcaldan uzaklaştıkça derişim düşer. Metabolizması yoğun dokularda kılcallar daha sık dizilir ve her hücreyi kısa bir difüzyon mesafesinin içinde tutar. Uzun mesafeler ise dolaşımın akışına kalır; Adveksiyon dersi bu sınırı sayılarla çizecek. Akciğerde havayla kan arasındaki ince ve geniş yüzeyin bu yasayla nasıl okunacağı da Alveolde Gaz Değişimi dersinin konusu olacak. Hücre zarının kendisi ise su dolu bir hortum değildir; Basit Difüzyon dersinde zarın kalınlığı ve D ile birlikte yağda çözünürlüğü bir araya getiren geçirgenlik katsayısı adıyla karşımıza çıkacak.

Fick'in 1870'te kalbin pompaladığı kan miktarını oksijen tüketiminden hesaplamak için önerdiği Fick ilkesi ise bir kütle dengesidir; difüzyon yasasıyla yalnız adını paylaşır.

Hortumların yanındaki üçüncü çift

Aras kâğıda J = −D × Δc ÷ Δx yazıyor ve okumalara bakmadan önce kendi tahminini not ediyor: kısa hortum iki kat. Seval Hanım dolaptan iki santimetrelik iki hortum daha çıkarıyor ve üçüncü bir beher çiftini ikisiyle birden bağlıyor. "Yol uzun, ama şimdi iki kapı var," diyor. "Bu çift hangisine benzeyecek?"

Aras hesabı yeniden kuruyor: kalınlık iki katına çıktığı için akı yarı, alan iki katına çıktığı için akış iki kat. Çarpım bir. Kâğıda "kısa hortumla aynı" yazıyor, sonra altına küçük bir not düşüyor: hortumun içi su dolu agar; ya aradaki şey yağ olsaydı?

Kendini sına

1. Birim analiziyle göster: D m²/s ve gradyan mol/m⁴ iken J neden mol/(m²·s) çıkar?
2. Konum sağa doğru artarken derişim sağa doğru yükseliyorsa gradyanın ve J'nin işareti nedir? Akı hangi yöne gider?
3. Yirmi beş mikrometrelik bir yolun uçlarında glukoz derişimi 9 ve 1 mmol/L ise, Brown hareketinden bildiğin difüzyon katsayısıyla J'yi hesapla. Yol yarıya kısalsaydı J ne olurdu?
4. Kalınlığı üç katına çıkan ama alanı üç katına çıkan bir yüzeyde toplam akış nasıl değişir? Gerekçesini birinci yasadan kur.
5. Rastgele yürüyüş modelinde a adım uzunluğunu iki katına çıkarıp τ'yu dört katına çıkarırsan D ne olur? Bu sonuç ⟨x²⟩ = 2Dt ile tutarlı mı?

Bir sonraki derse köprü

Bu derste akı su dolu, düzgün bir ortamda aktı ve yolun her noktasında D aynıydı. Bir hücreye girmek ise önce su, sonra Hidrofobik Etki dersinde (L02-P06-M02-D06) tanıdığımız lipit çift tabakasının yağlı iç katmanı, sonra yine su demektir. Basit Difüzyon dersi bu yağlı katmanın Fick yasasını nasıl değiştirdiğini soracak: bir molekülün zardan ne kadar hızlı geçeceği yalnız D'ye ve zarın kalınlığına mı bağlı, yoksa molekülün sudan yağa ne ölçüde geçmeye razı olduğu, yani bölüşüm katsayısı da hesaba girip bir geçirgenlik katsayısında mı toplanıyor?