Konsantrasyon Gradyanı

Açılış sahnesi

Ertesi salı, ilk ders saatinden önce, laboratuvarın pencere önündeki tezgâh. Seval Hanım bir gün önce öğleden sonra otuz santimetrelik bir cam boruyu sulandırılmış agar jeliyle doldurmuş, jel donunca borunun sol ucuna bir damla metilen mavisi koymuş ve boruyu yatay bırakmış. Erken gelen Aras borunun yanına bir cetvel yatırıyor.

Sol uçta mavi neredeyse lacivert; bir santimetre sağda hâlâ koyu, iki santimetrede açık, üçüncü santimetrede ancak arkaya beyaz kâğıt tutulunca seçilen bir gölge. Rengin keskin bir sınırı yok; koyudan açığa yumuşak bir yokuş gibi iniyor. Aras bir hafta önce kâğıda çizdiği oku hatırlıyor. "Geçen hafta renk bir damlaydı, şimdi bir yokuş," diyor. Seval Hanım başını sallıyor: "Jel suyu tutuyor, karıştırmıyor. Boyayı buraya taşıyan akış yok. O zaman yokuşu ne kurdu?"

Bu derste ne olacak

Rengin yokuşunu gradyan adlı bir sayıya çevireceğiz. İki kutulu basit bir modelde yönsüz titreşimden yönlü bir net akının nasıl doğduğunu ve derişimler eşitlenince neden yalnız net akının durduğunu sayacağız. Son olarak bir derişim farkında saklı enerjiyi hesaplayıp hücre zarının iki yanındaki potasyum ve sodyuma uygulayacağız.

Metin

Yokuşun eğimi

Brown Hareketi dersinde tek bir parçacığın yolunun yönsüz olduğunu, yalnız yayılımının zamanla büyüdüğünü görmüştük. Cam borudaki boya ise tek bir parçacık değil, milyarlarcası. Her konumda birim hacme düşen boya miktarı, yani derişim, soldan sağa azalıyor. Bu azalışın ne kadar dik olduğunu anlatmak için matematikteki eğim fikrine döneriz.

Türev Sezgisi dersinde (L02-P01-M03-D02) bir niceliğin anlık değişim hızını, eğrinin o noktadaki teğetinin eğimi olarak okumuştuk. Orada değişken zamandı. Burada değişken konumdur: derişimi yatay eksende uzaklığa karşı çizersek, eğrinin her noktadaki eğimi derişimin o noktada ne kadar hızlı düştüğünü söyler.

Birimi, derişim biriminin uzunluk birimine bölümüdür. Derişim mol bölü metreküp, uzunluk metre alınırsa mol/m⁴ çıkar. Hücre ölçeğinde daha kullanışlısı mmol/L bölü mikrometredir. Köprü kolaydır: bir metreküpte bin litre olduğundan 1 mmol/L tam olarak 1 mol/m³'tür.

Bir hücre ölçeğinde kurgusal bir örnek alalım. Bir noktada bir çözünenin derişimi 10 mmol/L, yirmi mikrometre ötede 2 mmol/L olsun. Gradyanın büyüklüğü (10 − 2) ÷ 20 = 0,4 mmol/L/µm eder. Metreye çevirmek için mikrometreyi 10⁻⁶ metre yazarız: 0,4 ÷ 10⁻⁶ = 4 × 10⁵ mol/m⁴. Aynı sekiz birimlik fark yirmi değil beş mikrometreye sığsaydı gradyan (10 − 2) ÷ 5 = 1,6 mmol/L/µm olurdu, dört kat dik. Gradyanı belirleyen yalnız farkın büyüklüğü değildir; farkın ne kadar kısa bir yola sıkıştığıdır.

Seval Hanım'ın borusunda sol uçtaki yokuş sağdakinden diktir. Saatler geçtikçe fark daha uzun bir yola dağılır ve yokuş yatıklaşır.

Kimse aşağı inmeye çalışmıyor

Rengin hep boyanın az olduğu yöne ilerlemesi bir amaç gibi okunabilir. Oysa Brown Hareketi dersindeki boncuğun tercihi yoktu, boya molekülünün de yoktur. Her biri sağa ya da sola eşit olasılıkla adım atar. Yönlü görünen sonuç, sayıların eşitsizliğinden doğar.

Bunu görmek için boruyu hayalî bir çizgiyle iki kutuya bölelim. Sol kutuda 1000, sağ kutuda 200 molekül olsun. Sayılar kurgusaldır. Belirli bir süre içinde her molekülün sınırı geçme olasılığı onda bir olsun; bu olasılık iki yönde aynıdır, çünkü moleküller nerede olduklarını bilmez. Soldan sağa beklenen geçiş 1000 ÷ 10 = 100, sağdan sola 200 ÷ 10 = 20 olur. Net sonuç ise 100 − 20 = 80 molekülün sola değil sağa kaymasıdır.

Tek tek hiçbir molekül "yokuş aşağı" gitmedi. Sağdan sola geçen yirmi molekül, soldan sağa geçenlerle aynı kurala uydu. Fark yalnız, soldaki kalabalığın sınıra daha çok aday göndermesidir. Net akı, derişim farkının istatistiksel izidir.

İlk adımdan sonra kutularda 920 ve 280 molekül vardır. İkinci adımda geçişler 92 ve 28, net akı 64 olur. Net akı 80'den 64'e düştü, çünkü aradaki fark 800'den 640'a indi. Her adımda net geçiş farkın onda biridir: 800 ÷ 10 = 80, 640 ÷ 10 = 64. Fark küçüldükçe onu küçülten akı da yavaşlar. Net akının farkla orantılı olması, bir sonraki derste bir yasa olarak yazılacak ve orantının sabiti Brown Hareketi dersindeki difüzyon katsayısına bağlanacak.

Eşitlik durgunluk değildir

Model beklemeye bırakılırsa iki kutu 600'er molekülde buluşur. Artık her iki yönde de adım başına 600 ÷ 10 = 60 geçiş olur ve net akı sıfırdır. Kutulardaki sayı değişmez, ama moleküller hiç durmamıştır; her adımda altmış molekül sağa, altmış molekül sola geçmeyi sürdürür.

Denge Sabiti dersinde bu tabloyu kimyasal tepkimeler için görmüştük: dinamik dengede iki yöndeki hızlar birbirini karşılar ve süreç sürdüğü hâlde bileşim değişmez. Difüzyonun dengesi aynı tanımın uzaysal bir örneğidir. Seval Hanım'ın borusu yeterince uzun süre beklese mavi, renk yoğunluğu artık konuma göre değişmeyecek kadar eşit dağılırdı. Gradyan sıfıra, net akı da sıfıra inerdi; boya moleküllerinin titremesi ise tam aynı hızla sürerdi.

Bu yüzden iki bölmede aynı derişimi ölçmek, aralarında alışveriş olmadığını göstermez. Alışveriş sürer, yalnız iki yönde eşittir.

Farkın içindeki enerji

Entropi dersindeki mikrodurum sayımı boyanın neden yayıldığını da açıklar: moleküllerin tüm boruya dağıldığı durumu gerçekleştiren düzenlemeler, hepsinin sol uca sıkıştığı durumunkilerden kıyas kabul etmeyecek kadar çoktur. Gibbs Serbest Enerjisi dersinde bu yönü sabit sıcaklık ve basınçta Gibbs enerjisinin azalmasıyla okumuştuk. Derişim farkının Gibbs dilindeki karşılığı için bir terim gerekir.

Denge Sabiti dersinde ΔG = ΔG° + RT ln Q bağıntısını kurmuştuk. Bir maddenin kimyasal bir dönüşüm olmadan yalnız bir bölmeden öbürüne geçmesini bir "tepkime" gibi düşünürsek, giren ve çıkan aynı maddedir ve ΔG° sıfırdır. Q, varılan bölmedeki derişimin çıkılan bölmedeki derişime oranına iner. Böylece bir molün c₁'den c₂'ye taşınmasının Gibbs enerjisi ΔG = RT ln (c₂ ÷ c₁) olur; bu, iki bölme arasındaki kimyasal potansiyel farkının seyreltik çözeltideki yazılışıdır. c₂ küçükse logaritma eksidir: yokuş aşağı taşınma kendiliğindendir. Ters yöne, düşük derişimden yüksek derişime taşımak aynı büyüklükte artı bir ΔG ister.

Hücre zarının iki yanı bu hesabın doğal yeridir. Alberts ve arkadaşlarının Molecular Biology of the Cell kitabı memeli hücresinde sitozoldeki potasyumu yaklaşık 100 ile 140, hücre dışındakini 3,5 ile 5 mmol/L arasında; sodyumu içeride 5 ile 15, dışarıda 135 ile 145 mmol/L arasında verir. Ron Milo ile Rob Phillips'in Cell Biology by the Numbers kitabı aynı tablo için yuvarlak değerleri seçer: potasyum içeride yaklaşık 140, dışarıda 5; sodyum içeride yaklaşık 10, dışarıda 145 mmol/L. Aşağıda yuvarlak değerler biyofizik bir örnek olarak kullanılıyor.

Potasyumda oran 140 ÷ 5 = 28'dir. Vücut sıcaklığında, 310,15 kelvinde RT = 8,314 × 310,15 ≈ 2579 J/mol eder. Bir mol potasyumun içeriden dışarıya geçişinde c₂ ÷ c₁ = 5 ÷ 140 olur; logaritması −ln 28 ≈ −3,33 olduğundan ΔG ≈ 2579 × (−3,33) ≈ −8590 J/mol ≈ −8,6 kJ/mol çıkar. Eksi işaret yönün kendiliğinden olduğunu söyler. Aynı sonuç Denge Sabiti dersinde 37 °C için bulunan on katlık adımla da alınır: log₁₀ 28 ≈ 1,45 ve 1,45 × 5,94 ≈ 8,6 kJ/mol.

Sodyumda oran ters yöndedir: 145 ÷ 10 = 14,5. ln 14,5 ≈ 2,67 ve 2579 × 2,67 ≈ 6,9 kJ/mol. Bir mol sodyumun dışarıdan içeri girişi, derişim bakımından, yaklaşık 6,9 kJ/mol'lük bir düşüştür. Gibbs Serbest Enerjisi dersinde hücre içinde ATP hidrolizinin yaklaşık −57 kJ/mol verdiğini görmüştük. 57 ÷ 8,59 ≈ 6,6: bir mol ATP'nin hidrolizi, derişim farkı bakımından altı-yedi mol potasyumu yokuş yukarı taşımaya yetecek büyüklüktedir. Bu yalnız bir mertebe karşılaştırmasıdır; taşıyıcı proteinlerin bu enerjiyi nasıl kullandığı Aktif Taşıma dersinde işlenecek.

Hesabın asıl söylediği şudur: bir gradyan bir enerji deposudur. Hücre bir maddenin yokuş aşağı geçişini başka bir maddenin yokuş yukarı taşınmasıyla eşleştirebilir; Gibbs dersindeki eşleşmiş tepkimelerin mantığı zar üzerinde de işler. Derişim farkını korumak ise sürekli bir harcama ister, çünkü fark kendi hâline bırakılırsa iki kutulu modeldeki gibi erir.

Potasyum ve sodyum yüklü türlerdir ve onlar için bu hesap resmin yarısıdır; zarın iki yanındaki elektrik gerilimi de geçişi iter ya da frenler ve ikisinin toplamına elektrokimyasal gradyan denir, Elektrik ve Zar Potansiyeli modülünde ayrıca kurulacak. Aynı mantık pH Ölçeği dersindeki hidronyum derişimine de uzanır; mitokondri iç zarındaki proton gradyanı ileri bir seviyede kendi başına bir konu olacak.

Bedendeki yokuşlar

Brown Hareketi dersinde difüzyonun birkaç mikrometrede hızlı, santimetrelerde umutsuzca yavaş olduğunu hesaplamıştık. Bu yüzden bedende difüzyonun iş gördüğü gradyanlar çoğunlukla hücre boyu ölçeğine sıkışmıştır.

Oksijen buna iyi bir örnektir. Kılcal damarın içindeki kanda oksijenin kısmi basıncı, çevresindeki dokuda tüketildiği hücrelerin yanındakinden yüksektir. Oksijen bu farkın yönünde dokuya ilerler ve tüketim sürdükçe fark yeniden kurulur; denge hiç gelmez. Aynı ilkenin akciğer keseciklerinde hava ile kan arasında nasıl işlediği, Alveolde Gaz Değişimi dersinde sayılarıyla açılacak.

Bağırsak boşluğu başka bir resim çizer. Bir yemekten sonra boşluktaki besin molekülleri bağırsak kasılmalarıyla karıştırılır. Ama bağırsak yüzeyine yapışık ince sıvı katmanda karışma zayıflar ve molekül son mesafeyi yine difüzyonla, dik bir gradyanın içinden aşmak zorundadır. Karıştırma ile difüzyonun bu iş bölümü Adveksiyon dersinde, epitel zarından geçiş ise taşıma derslerinde ele alınacak.

Borunun ucundaki ikinci damla

Ders saati başlarken Seval Hanım aynı jelle doldurulmuş ikinci bir boruyu gösteriyor; bunun iki ucuna da birer damla boya koymuş. Ortada renksiz bir bant kalmış, iki mavi yokuş birbirine doğru iniyor. Aras cetveli ortaya yatırıyor. "Ortada her iki yandan gelen boya var ama tam ortada gradyan sıfır," diyor. "Sağa ya da sola net akı yok, ama moleküller geçiyor."

Seval Hanım ikinci soruyu tahtaya yazıyor: "Tam ortada yokuş sıfır. Ortadan bir santimetre sola kaydığında yokuş ne tarafa bakar, net akı ne tarafa gider?" Aras ortanın iki yanına, ikisi de ortaya bakan birer ok çiziyor ve okların uzunluğunu yokuşun dikliğine göre ayarlamaya çalışıyor.

Kendini sına

1. Bir noktada derişim 12 mmol/L, otuz mikrometre ötede 3 mmol/L ise gradyanın büyüklüğü mmol/L/µm cinsinden kaçtır? Aynı değeri mol/m⁴ cinsinden yaz.
2. İki kutulu modelde sol kutuda 500, sağda 100 molekül olsun ve her molekülün bir adımda sınırı geçme olasılığı beşte bir olsun. İlk adımda her yöndeki geçiş ve net akı kaçtır? Denge hangi sayılarda kurulur?
3. Dengedeki bir sistem için "moleküller artık hareket etmiyor" demek neden yanlıştır?
4. Vücut sıcaklığında derişimi on kat farklı iki bölme arasında bir mol yüksüz maddenin geçişinin ΔG'sini hesapla. Oran yüz kat olsaydı ΔG kaç kat büyürdü?
5. Potasyum ve sodyum için bu derste bulunan ΔG değerleri neden yalnız resmin yarısıdır?

Bir sonraki derse köprü

İki kutulu modelde her adımdaki net geçiş, kutular arasındaki farkla orantılı çıktı; fark yarıya inince net akı da yarıya indi. Gerçek bir ortamda kutu yok, sürekli bir derişim eğrisi ve onun eğimi var. Fick Yasası dersi bu orantıyı nasıl tam bir yasaya çeviriyor: akı J, gradyanla hangi orantı sabiti üzerinden bağlanıyor, bu sabit Brown hareketinden tanıdığımız difüzyon katsayısı mı ve bağıntının önündeki eksi işareti neyi anlatıyor?