Negatif Binom Modeli

Açılış sahnesi

Ağustosun ilk pazartesi, Afyonkarahisar. Obezite polikliniğinin hemşire odasında Makbule Hanım yeni bir kâğıt hazırlamış: acile dört ya da daha fazla kez başvurmuş beş hastanın adı, telefonu ve izlem süresi. Beş hastayı tek tek arayıp neden bu kadar sık acile gittiklerini sormak istiyor. Kâğıdın altına kendi hesabını da yazmış: beş hasta, 64 başvurunun 22'si.

Cevriye Hanım modeli hafta sonu yeniden koşturmuş ve çıktıyı masaya bırakıyor. Katsayılar tanıdık, ama tablonun en altında yeni bir satır var: alfa 1,67. "Eski modele göre altı başvurulu hastanın durumu on sekiz bin hastada bir görülecek bir şeydi," diyor, "yenisine göre yaklaşık yüzde bir. Listen yine anlamlı, ama bu beş kişi birer istisna sayılmaz. Kalabalık bir grubun uzun kuyruğu onlar".

Bu derste ne olacak

Önce Poisson varyansına ikinci bir terim ekleyecek ve bu terimin ortalaması küçük ve büyük hastalarda ne kadar fark yarattığını elle hesaplayacaksın. Sonra alfa denen parametrenin hastalar arasındaki hangi farkı ölçtüğünü, yani modelin ölçülmemiş bir yatkınlığı nasıl taşıdığını göreceksin. Aynı veride Poisson ile negatif binom modelinin hız oranlarını, aralıklarını ve hastalara verdikleri ağırlıkları karşılaştıracaksın. Son olarak iki modelden hangisinin veriye uyduğunu olabilirlik oranı testiyle ve AIC ile seçeceksin.

Sıfır noktası

Poisson regresyonunu kurduğunda Afyonkarahisar tablosunun Pearson oranı 2,03 çıkmıştı: başvurular, modelin beklediğinin iki katı dağınıktı. Standart hatayı bu oranın kareköküyle büyütmüş ve p'yi 0,105'e taşımıştın. O düzeltme bir yama sayılır; yayılımın nereden geldiğini söylemez.

Kaynağın ne olabileceğini daha önce küçük bir hesapla görmüştün. Beklenen sayısı ayların yarısında 1, yarısında 3 olan bir birimde Poisson dalgalanması 2'lik bir varyans getiriyor, hızın kendi dalgalanması 1 ekliyordu; toplam 2 + 1 = 3 ve yayılım oranı 3 ÷ 2 = 1,5 oluyordu (L02-P02-M02-D03). Bu ders aynı toplamı aylar yerine hastalar arasında kuruyor. Her hastanın, BKİ'sinin söylediğinden biraz yüksek ya da düşük kendi hızı varsa, sayıların varyansı Poisson payı ile hızlar arasındaki farkın payının toplamı olur.

Mekanizma

Varyansa eklenen terim

Her hastanın beklenen başvurusunu μ ile göster ve onu gözlenmeyen bir çarpanla çarp. Çarpanın ortalaması 1, varyansı α olsun. Hastanın asıl hızı μ × çarpan olur; bu hızın hastadan hastaya varyansı α × μ², hız sabitken gelen Poisson dalgalanması da μ. Toplam: Var(Y) = μ + α × μ². Poisson bu denklemin α = 0 hâli.

Cevriye Hanım'ın çıktısında α = 1,67. Yıl boyu izlenmiş, beklenen hızı tablonun genel hızına eşit bir hasta düşün: μ = 0,931. Poisson bu hastanın sayısına 0,931'lik varyans biçer. Negatif binom 0,931 + 1,67 × 0,931² = 0,931 + 1,45 = 2,38 biçer; 2,38 ÷ 0,931 ≈ 2,56 kat. Beklenen başvurusu 3 olan bir hastada Poisson varyansı 3, negatif binom varyansı 3 + 1,67 × 9 = 18,0, oran 18,0 ÷ 3 = 6,0.

Önceki derste standart hatayı büyüten Pearson oranı her hastada aynıydı, 2,03. Burada oran 1 + α × μ ve beklenen sayıyla birlikte büyüyor. Tablonun ortalama hastasında beklenen sayı 64 ÷ 92 ≈ 0,696 ve oran 1 + 1,67 × 0,696 ≈ 2,16; Pearson'ın 2,03'üne yakın. İki yaklaşım ortalama hastada aşağı yukarı aynı fazlalığı görüyor, ama negatif binom bu fazlalığın beklenen sayısı büyük hastalarda daha büyük olduğunu da söylüyor.

Alfa neyin ölçüsü

Çarpanın dağılımı için gamma dağılımı seçilir: pozitif, sağa çarpık ve Poisson ile birleşince kapalı bir formül verir. Gamma çarpanlı Poisson sayılarının dağılımı negatif binomdur. α = 1,67 ile bu çarpanın ortancası 0,52; aynı BKİ ve izlemdeki hastaların yarısı, ortalama hastanın yarısı kadar ya da daha az başvuru eğilimi taşıyor. Dörtte biri 0,14'ün altında, dörtte biri 1,36'nın üstünde, yaklaşık yüzde 15'i 2'nin üstünde.

Çarpanın içine BKİ'nin taşımadığı her şey girer: astım gibi eşlik eden bir hastalık, hastaneye uzaklık, gece yardım isteyebileceği birinin olup olmaması, acile gitme alışkanlığı. Model bunların hiçbirini ölçmez; yalnız toplam etkilerinin ne kadar geniş olduğunu tek bir sayıyla verir. Major Greenwood ile George Udny Yule 1920'de yayımladıkları makalede tekrarlayan kazaları ve hastalık ataklarını bu karışımla açıkladı; "kazaya yatkınlık" fikri oradan yayıldı.

Bir uyarı var. Aynı dağılım, bir başvurunun sonrakini kolaylaştırdığı bir süreçten de doğabilir: ilk başvuruda kurulan bağ, acile giden yolu kısaltır. Tek dönemlik sayımlar kalıcı yatkınlığı bu bulaşma benzeri süreçten ayıramaz. α bir yayılım ölçüsü; kişilik ya da biyoloji hakkında bir bulgu değil.

α'nın kendisi de kesin değil; yüzde 95'lik sınırları 0,42 ve 2,93. Tablo üretilirken çarpanın varyansı 0,67 alınmıştı; kestirimin bunun iki buçuk katına çıkması kısmen rastlantı, kısmen de on dokuz aday arasından yayılımı belirgin olanın seçilmesi. 92 hasta ve 64 başvuru, bir yayılım parametresini ancak kaba bir hassasiyetle ölçer.

Hız oranı yerinde, aralık genişliyor

Negatif binom modelinde b = 0,0545, Poisson'da 0,0535. Hız oranı 1,055'ten 1,056'ya kayıyor, yani neredeyse hiç. Standart hata ise 0,0232'den 0,0357'ye çıkıyor: 0,0357 ÷ 0,0232 ≈ 1,54 kat. z = 0,0545 ÷ 0,0357 ≈ 1,53, p 0,127; hız oranı için yüzde 95'lik sınırlar 0,985 ve 1,133, beş birim için 1,31 (0,93–1,86).

Katsayının yerinde kalması tesadüf değil. İki model aynı ortalama denklemini paylaşır: beklenen sayının logaritması, BKİ'nin doğrusal bir fonksiyonuyla izlem süresinin logaritmasının toplamı. Ortalama denklemi doğruysa ikisi de aynı değere yakınsar; ayrıştıkları yer hastalara verdikleri ağırlıktır. Poisson her hastayı beklenen sayısıyla orantılı tartar, negatif binom μ ÷ (1 + α × μ) ile. BKİ'si 30 olup altı ay izlenmiş hastada μ = 0,369, BKİ'si 40 olup on iki ay izlenmiş hastada 1,272. Poisson ağırlıklarının oranı 1,272 ÷ 0,369 ≈ 3,45. Negatif binomda ağırlıklar 0,369 ÷ 1,62 ≈ 0,228 ve 1,272 ÷ 3,12 ≈ 0,408, oranları 0,408 ÷ 0,228 ≈ 1,79.

Beklenen sayısı büyük hastanın sayımı kendi çarpanının gürültüsünü de taşıdığı için Poisson'un sandığı kadar bilgi vermez. Başka bir yol, Poisson modelinin standart hatasını sandviç yöntemiyle sağlamlaştırmak: Poisson ağırlıkları ve katsayısı aynen kalır, yalnız belirsizlik varyansın biçimi varsayılmadan yeniden hesaplanır. Bu tabloda sonuç 0,0363, p 0,140, sınırlar 0,98–1,13; negatif binomla hemen hemen aynı. Varyansın biçimi doğruysa negatif binom daha verimlidir ve sıfırları, kuyruğu da öngörür; sağlam yol ise biçim yanlışsa da ayakta kalır. Bir çalışmada iki modelin katsayısı belirgin ayrışıyorsa bakılacak yer ortalama denkleminin kendisidir.

Sıfırlar ve kuyruk

Negatif binomun ikinci kazancı dağılımın tamamında görülüyor. Her hastanın beklenen dağılımı toplanınca iki model şu sayıları öngörüyor:

Poisson hastaları bir başvurunun çevresine topluyor; negatif binom çoğunu sıfırda bırakıp birkaçını yukarı çıkarıyor. Poisson regresyonunu işlerken sıfırların fazlasının ayrı bir "hiç başvurmayan" grubun kanıtı sayılamayacağını görmüştün; burada bunun sayısını görüyorsun. Kişiler arası yayılım tek başına 59 sıfırın 58,7'sini açıklıyor.

Makbule Hanım'ın listesi de bu tabloda duruyor. Poisson 92 hastada dört ve üstü başvuruyu birden az hastada beklerken negatif binom yaklaşık dört hastada bekliyor; beş hastalık liste bir aykırılık değil, yayılımın beklenen ucu. Bu beş hastanın gelecek yılki hızı için model, gözlenen sayıyı kendi beklentisine doğru çeker. Altı başvurulu hasta için beklenen çarpan (0,597 + 6) ÷ (0,597 + 0,644) = 6,597 ÷ 1,241 ≈ 5,3; burada 0,597 α'nın tersi, 0,644 hastanın beklenen sayısı. Gözlenen oran 6 ÷ 0,644 ≈ 9,3 iken beklenen çarpan 5,3; bir yılın sayımı yatkınlığın gürültülü bir ölçüsü olduğu için model yarı yolda duruyor.

Hangi model: olabilirlik oranı testi ve AIC

Negatif binom modeli Poisson'u α = 0 hâli olarak içerir. Bu yüzden ikisini log-olabilirlikleriyle karşılaştırabilirsin: Poisson −115,31, negatif binom −103,45. İstatistik 2 × (115,31 − 103,45) = 23,72; bir ek parametre olduğu için bir serbestlik dereceli ki-kare dağılımından okunur ve p milyonda birin altında.

Bir incelik var: α eksi olamaz, Poisson'u veren α = 0 parametre uzayının kenarında duruyor. Böyle bir sınırda test istatistiğinin dağılımı yarı yarıya sıfır ile ki-kare karışımıdır ve tablodan okunan p ikiye bölünür. Bu tabloda sonuç değişmiyor; sınırda kalan bir çalışmada değişebilir. AIC aynı kararı cezalı olabilirlikle verir: Poisson 234,6, negatif binom 212,9, fark 21,7 ve daha küçük olan kazanır. Test yalnız varyansın biçimi hakkında konuşur; BKİ'nin etkisine dair soru hâlâ 0,127'lik p ile açık.

Klinik gerçeklik

Fonksiyonel tıp çalışmalarındaki atak, enfeksiyon ya da başvuru sayıları çoğu zaman bu tablodaki gibi dağılır: çoğu kişi sıfırda ya da birde, birkaç kişi olayların büyük payını taşır. Böyle bir çalışmayı okurken modelin adını ara. Poisson kullanılmış ve yayılım hiç anılmamışsa aralıklar olduğundan dar olabilir. Negatif binom kullanılmışsa α'yı ya da onun yerine rapor edilen yayılım ölçüsünü bul; büyük bir α, ortalamadaki bir azalmanın birkaç yoğun katılımcıdan gelebileceğini hatırlatır.

Danışanla konuşurken de aynı yayılım işe yarar. Grubun ortalama hızı, sizin hızınız demek değil; aynı BKİ'deki kişilerin yarısı ortalamanın yarısından azını yaşıyor. Makbule Hanım listesini bırakmadı, başlığını değiştirdi: "aykırı hastalar" yerine "sık başvuran hastalar", yanına her hastanın modelden beklenen sayısı. Cevriye Hanım da forma model adını ve α'yı ekledi.

Kendini sına

1. α = 0,5 iken beklenen sayısı 2 olan bir hastanın varyansını hesapla. Poisson varyansının kaç katı?
2. α neden eksi olamaz? α = 0 olduğunda model neye dönüşür?
3. Negatif binom modelinde katsayı neden Poisson'unkine yakın kalıyor, standart hata neden büyüyor?
4. μ = 0,5 ve μ = 2 olan iki hastanın ağırlık oranını α = 1,67 ile Poisson ve negatif binom için ayrı ayrı bul.
5. Log-olabilirlikler −80,4 ve −78,1 ise olabilirlik oranı istatistiği kaç? Sınır düzeltmesi p'yi nasıl değiştirir?
6. Bir çalışmada ortalama atak sayısı azalmış, α büyük. Bu azalmayı okurken hangi soruyu sorarsın?

Bir sonraki derse köprü

Listede 59 sıfır var ve modelin gözünde altı ay izlenen hastanın sıfırı ile on iki ay izlenenin sıfırı aynı bilgiyi taşımıyor. Soruyu "kaç kez başvurdu" yerine "ilk başvuruya kadar ne kadar zaman geçti" diye kursan, izlem bittiğinde henüz başvurmamış hastanın satırına ne yazardın? O hastayı dışarıda bırakmak ya da izlem sonunu başvuru anı saymak hangi yönde yanıltır? Sağkalım Analizine Giriş bu sorudan başlayacak.