Poisson Regresyonu

Açılış sahnesi

Temmuzun son perşembesi, Afyonkarahisar. Üniversite hastanesinin acil servisinde gece nöbeti yeni devredilmiş, triyaj masasının arkasındaki küçük odada acil tıp uzmanı Cevriye Hanım hastane bilgi sisteminden bir liste çekiyor. Listeyi obezite polikliniğinde hemşirelerin sorumlusu olan Makbule Hanım istemiş: polikliniğe ilk vizitle gelen 92 hastanın, o günden bu yana acile kaç kez başvurduğu. Çıktı 64 başvuru gösteriyor; 59 hastanın satırında sıfır, birinin satırında altı yazıyor.

Makbule Hanım sayıları forma "yıllık başvuru" diye geçirmek istiyor. Cevriye Hanım listenin ikinci sütununu gösteriyor: hastaların bir kısmı polikliniğe altı ay önce, bir kısmı tam bir yıl önce gelmiş. "İki başvurusu olan iki hasta var," diyor, "biri bunu altı ayda yapmış, öteki on iki ayda. Aynı satıra aynı sayıyı yazarsan ikisini eşit saymış olursun".

Bu derste ne olacak

Önce bir sayım sonucunun neden ne düz çizgiye ne S eğrisine uyduğunu göreceksin. Sonra beklenen sayının logaritmasını BKİ'ye bağlayan modeli kuracak, katsayının üstelini hastalar arasında bir hız oranı olarak okuyacaksın. İzlem süresi farklı hastaların denkleme hangi terimle girdiğini iki hasta üzerinde hesaplayacaksın. Son olarak modelin en katı varsayımını, ortalamanın varyansa eşit olmasını, bu tabloda sınayacaksın.

Sıfır noktası

Poisson dağılımını seyrek olayların sayımı için kurmuştun ve onun ayırt edici özelliğini, ortalamanın varyansa eşitliğini, yayılım oranıyla sınamıştın (L02-P02-M02-D03). Farklı sürelerle izlenen kişileri aynı cetvele koymanın yolu da tanıdık: her kişi paydaya izlendiği süre kadar girer, olay sayısı toplam kişi-yıla bölünür ve sonuç bir insidans hızıdır (L01-P04-M01-D02). Cevriye Hanım'ın listesinde 92 hastanın izlemi toplam 68,75 kişi-yıl; 64 ÷ 68,75 ≈ 0,931, yani kişi-yıl başına yaklaşık bir başvuru.

Bu ders iki eski fikri tek bir denklemde buluşturuyor. Tek bir hız artık yetmiyor, çünkü Makbule Hanım hızın BKİ ile nasıl değiştiğini soruyor. Sonuç da ne sürekli ne ikili: sıfır, bir, iki olabilen, eksiye düşemeyen ve sağa doğru uzun kuyruk bırakan bir sayı. Düz çizgi zayıf hastalar için eksi başvuru öngörebilir; lojistik model ise yalnız "başvurdu mu" sorusunu cevaplar ve altı başvuruyu bir başvuruyla aynı kutuya koyar.

Mekanizma

Logaritmanın modellendiği sayım

Lojistik modelde olasılığın logitini modellemiştin. Burada dönüştürülen şey beklenen sayının kendisi: log(μ) = a + b × BKİ. Logaritma eksi sonsuzdan artı sonsuza uzanır, üsse geri çevrilince her zaman pozitif bir sayı verir. Eksi başvuru sorunu böylece yapıdan kalkar.

John Nelder ile Robert Wedderburn 1972'de Kraliyet İstatistik Derneği'nin A serisi dergisinde doğrusal regresyonu, lojistik ve Poisson modellerini tek bir çatının altında topladı: bir dağılım ailesi ve beklenen değeri doğrusal toplama bağlayan bir fonksiyon. Genelleştirilmiş doğrusal model adı oradan geliyor. Lojistik modelin bağı logit, Poisson modelinin bağı logaritma; bu modülün geri kalanı da aynı iskeletin başka dallarında dolaşacak.

Afyonkarahisar tablosunda statsmodels a = −1,917 ve b = 0,0535 veriyor, b'nin standart hatası 0,0232, p 0,021. 30 BKİ'lik bir hastada log hız −1,917 + 0,0535 × 30 = −0,311, üssü 0,733; 40 BKİ'lik hastada 0,225, üssü 1,252. Birincisi kişi-yıl başına 0,73, ikincisi 1,25 başvuru bekliyor.

Katsayının üsteli bir hız oranıdır

Logaritma ölçeğinde on birimlik fark 10 × 0,0535 = 0,535 ekler; hız ölçeğinde bu, çarpmaya dönüşür. İki hızı doğrudan böl: 1,252 ÷ 0,733 ≈ 1,708. Aynı sayı e^0,535 ve 1,055'in onuncu kuvveti. Bir birimlik farkın çarpanı e^b = 1,055; Bir BKİ birimi ağır olan hasta, aynı sürede yaklaşık yüzde 5,5 daha fazla başvuru bekliyor. Güven aralığı 1,008 ile 1,104 arası, beş birim için 1,04 ile 1,64 arası.

Bir hız oranını daha önce elle hesaplamıştın: ölümsüz zaman yanlılığı örneğinde 0,032 ÷ 0,048 ≈ 0,67 çıkan sayı, ilk yıl doğru haneye yazılınca 1'e dönmüştü (L01-P02-M02-D04). O hesap iki grubu karşılaştırıyordu; model aynı oranı sürekli bir açıklayıcının her biriminde veriyor.

Odds oranıyla fark burada belirginleşiyor. 1,055 hastanın BKİ'si ne olursa olsun aynı; 30 ile 31 arasında da 45 ile 46 arasında da hız aynı oranla büyür. Odds oranında olasılık oranının hastanın durduğu yere göre kaydığını görmüştün. Hız oranında böyle bir kayma yok, çünkü modellenen nicelik zaten hızın kendisi, tavanı da yok. Logaritmik bağın bir başka sonucu, sonucu öngören ama BKİ ile ilişkisiz bir değişken eklendiğinde hız oranının beklentide yerinde kalması. 400.000 kişilik bir benzetimde böyle bir değişken eklenince katsayı 0,300'de kaldı; odds oranını 1'den uzaklaştıran birleştirilemezlik bu bağda görülmüyor.

İzlem süresi: katsayısı bir olan terim

Şimdi Cevriye Hanım'ın itirazı. 35 BKİ'lik bir hastanın beklenen hızı e^(−1,917 + 0,0535 × 35) ≈ 0,958 başvuru/yıl. Bu hasta on iki ay izlendiyse beklenen sayısı 0,958; altı ay izlendiyse 0,958 × 0,5 = 0,479. Beklenen sayı hız çarpı süredir ve logaritma alınınca çarpım toplama döner: log(μ) = log(süre) + a + b × BKİ. Altı aylık hasta için log(0,5) = −0,693, on iki aylık hasta için log(1) = 0.

Katsayı neden tahmin edilmiyor da 1'e sabitleniyor? Çünkü süre ikiye katlandığında beklenen sayının da ikiye katlanması bir varsayım değil, hızın tanımı. Makbule Hanım'ın ilk hâliyle, süreyi hiç koymadan kurulan model b = 0,0494 veriyor, oran 1,051. Bu tabloda fark küçük, çünkü izlem süresi BKİ ile neredeyse ilişkisiz; ikisinin korelasyonu −0,12. Ağır hastaların polikliniğe son aylarda gelmeye başladığı bir yıl düşün. Onların kısa izlemi az başvuru olarak okunur ve ofsetsiz model BKİ'nin etkisini küçültür. Kesme noktası da anlamını değiştirir: ofsetle kişi-yıl başına hız, ofsetsiz "bu hastanın kendi izlemindeki" sayı, yani birimi hastadan hastaya değişen bir büyüklük.

Ortalama varyansa eşit mi?

Poisson modelinin katı yanı burada. Model, BKİ'si ve izlemi aynı olan hastaların başvuru sayısının varyansının ortalamasına eşit olduğunu varsayar. Her hastanın gözlenen ile beklenen sayısı arasındaki farkın karesini beklenen sayıya bölüp toplarsan Pearson istatistiği çıkar; bu tabloda 183,0. Serbestlik derecesine bölünce 183,0 ÷ 90 ≈ 2,03 bulunuyor. Bu, yayılım oranının model içindeki karşılığı: bire yakın olmalıydı, iki katı çıktı. Ham sayılarla kaba bir kontrol de aynı yöne işaret ediyor, 1,445 ÷ 0,696 ≈ 2,08; ama o hesap izlem farklarını hesaba katmıyor.

Sonuç standart hataya gidiyor. Varyans iki katıysa standart hata √2,03 ≈ 1,43 kat olmalı: 0,0232 × 1,43 ≈ 0,033. Test istatistiği 0,0535 ÷ 0,033 ≈ 1,62 olur, p 0,021'den 0,105'e çıkar, hız oranının aralığı 0,99 ile 1,13 arasına genişler. Sağlam (sandviç) standart hata aynı yönde, 0,036 veriyor. Kestirim, yani 1,055, yerinde duruyor; değişen yalnız onun ne kadar kesin olduğu. Açılıştaki not, bu tablonun p'si 0,05'in altında kalan adaylar arasından seçildiğini söylüyordu; yayılım hesaba katılınca seçimin dayandığı p eşiğin üstüne çıktı. Varyansı ortalamadan ayrı bir parametreyle modellemek, standart hatayı sonradan düzeltmenin yanında daha kalıcı bir çare olacak ve bir sonraki dersin konusu o.

Aynı yayılımın bir başka izi sıfırlarda görünüyor. Poisson modeli bu tabloda 47,1 sıfır bekliyor, gözlenen 59; ayrıca hiç başvurmayan ayrı bir grup olup olmadığını soran sıfır fazlalığı modelleri de var. Ama kişiler arası yayılım kendi başına fazladan sıfır üretir, bu yüzden sıfırların fazlası ayrı bir grubun kanıtı sayılmaz.

İkili sonuçta Poisson

Aynı model beklenmedik bir yerde de iş görüyor. Odds oranının yaygın bir sonuçta risk oranından uzaklaştığını görmüştün. Sıfır ve birlerden oluşan basınç sütununa Poisson regresyonu kurulursa katsayının üsteli doğrudan bir risk oranı olur. Afyonkarahisar'ın 92 hastasında bu 1,164 veriyor, aralık 1,10 ile 1,24; lojistik modelin 40 BKİ'deki 1,15'i ile genel sıklıkta çevrilmiş 1,19'u arasında. Ama ikili bir sütunda varyans ortalamadan küçüktür, bu yüzden model-temelli standart hata burada ters yönde yanılır: 0,046 çıkıyor, sandviç yöntemi 0,031 veriyor. Model 7,353 ÷ 0,1517 ≈ 48,5 BKİ'nin üstünde birden büyük bir olasılık verir; tablonun en ağır hastası 47,9'da.

Klinik gerçeklik

Fonksiyonel tıp çalışmalarında sonuçların önemli bir kısmı sayım: ayda migren atağı, yılda üst solunum yolu enfeksiyonu, haftada gece uyanması, altı ayda acil başvurusu. Böyle bir çalışmayı okurken üç satır arayacaksın. İzlem süresinin modele ofset olarak girip girmediği: bırakan katılımcılar varsa sayılar farklı sürelerde toplanmıştır. Bildirilen oranın adı: "yüzde 30 daha az atak" bir hız oranıdır, riski azalmış kişi oranı değil. Yayılımın raporu: Pearson oranı ya da onun yerine seçilen model yazılmamışsa güven aralığının dar olup olmadığını bilemezsin.

Danışanla konuşurken hız, sayının kendisinden daha kolay taşınır. "Sizin BKİ'nizdeki bir hasta yılda ortalama bir kez acile başvuruyor, beş birim daha yüksekte yaklaşık 1,3 kez" cümlesi bir oran gerektirmiyor. Sonunda forma üç sütun girdi: ham başvuru sayısı, izlem ayı ve ikisinden hesaplanan yıllık hız yan yana. Cevriye Hanım altına model p'sinin tek başına okunmaması gerektiğini söyleyen bir not ekledi.

Kendini sına

1. Dört ayda üç kez başvuran bir hastanın yıllık hızını ve modele girecek ofset değerini hesapla.
2. a = −1,917 ve b = 0,0535 ile BKİ'si 45 olan hastanın yıllık beklenen başvurusunu bul. Hasta dokuz ay izlendiyse beklenen sayı kaç?
3. e^b = 1,055 ise BKİ'de beş birim farkın hız oranı kaç? Toplama yoluyla bulunan yüzde 27,5 neden yanlış?
4. Ofsetin katsayısı neden tahmin edilmez? Tahmin edilseydi ve 0,5 çıksaydı bu ne anlama gelirdi?
5. Pearson istatistiği 270, serbestlik derecesi 90. Standart hata hangi çarpanla büyür?
6. Odds oranı ile hız oranı, sonucu öngören ama açıklayıcıyla ilişkisiz bir değişken eklenince nasıl farklı davranır?

Bir sonraki derse köprü

Afyonkarahisar tablosunda Pearson oranı 2,03 çıktı: başvurular, aynı BKİ'deki hastalar arasında Poisson'un izin verdiğinden iki kat fazla saçılıyor. Varyansı ortalamaya bağlayan ama ondan büyük olmasına izin veren bir model, bu fazlalığı hangi ek parametreyle taşır? O parametre kişiler arası hangi farkın ölçüsüdür ve hız oranının kendisi değişir mi, yoksa yalnız aralığı mı? Negatif Binom Modeli bu soruların üzerine kurulacak.