Odds Oranının Yorumu

Açılış sahnesi

Temmuzun ilk salısı, Afyonkarahisar. Orkun bölgesel bir obezite kongresinin bildiri kitabını poliklinik odasına getirmiş, bir sayfanın köşesini kıvırmış. Kütahya'daki bir obezite merkezinin posteri, 310 hastada aynı soruyu sormuş: ilk vizitte sistolik basıncın 140 ve üstünde olması BKİ ile nasıl ilişkili? Özetin son cümlesi şöyle: "BKİ'deki beş birimlik artış, yaş, cinsiyet ve ailede hipertansiyon öyküsüne göre düzeltildiğinde, yüksek basınç odds'unu 3,6 kat artırıyor".

Makbule Hanım'ın forma kalemle yazdığı soru hâlâ masada duruyor: BKİ farkı bir birim olan iki hastadan ağır olanın yüksek basınç riski gerçekten 1,24 kat mı, yani dörtte bire yakın bir artış mı? Şahika Hanım posteri okuyup ikinci bir soru ekliyor. Onların 3,6'sı bizim 1,24'ümüzden çok büyük görünüyor; ilişki Kütahya'da daha mı güçlü, yoksa iki sayı aynı dili mi konuşmuyor?

Bu derste ne olacak

Önce 1,24'ün farklı BKİ'lerdeki hastalar için hangi risk oranına denk düştüğünü hesaplayacaksın. Sonra katsayıyı beş birimlik farka taşıyacak ve posterdeki sayıyla aynı birimde konuşacaksın. Ardından iki odds oranını karşılaştırmayı engelleyen, karıştırıcıyla hiç ilgisi olmayan bir özelliği sayılarla göreceksin. Son olarak aynı modeli olasılık farkına, oradan da bir kişinin kazanacağı sayıya çevireceksin.

Sıfır noktası

Odds oranının göreli riskten her zaman daha uçta durduğunu, farkın sonuç yaygınlaştıkça büyüdüğünü ve karşılaştırma grubunun riski p₀ biliniyorsa göreli riskin OO ÷ (1 − p₀ + p₀ × OO) ile geri kazanılabildiğini maske ve akne tablosunda görmüştün (L01-P04-M01-D05). O ders iki grubu ve tek bir tabloyu konuşuyordu. Regresyonda durum başka: açıklayıcı sürekli, her hastanın kendi başlangıç olasılığı var ve bildirilen oran çoğu zaman başka değişkenlere göre düzeltilmiş. Bu ders eski kuralı bu üç koşulda yeniden sınıyor.

Mekanizma

Bir birimlik oran, dört ayrı risk oranı

Lojistik modelde katsayının üsteli, 1,238, her BKİ düzeyinde aynı; odds'u hangi hastada olursa olsun aynı çarpanla büyütüyor. Olasılığın oranı ise hastanın durduğu yere bağlı. Otuz ve otuz bir BKİ'lik iki hastanın olasılıkları 0,052 ile 0,064, oranları 1,22; bu bölgede sonuç nadir, odds oranı ile risk oranı neredeyse aynı. Aynı bir birimlik fark 35 ile 36 arasında 1,20, 40 ile 41 arasında 1,15, 45 ile 46 arasında 1,09 oranına karşılık geliyor. Makbule Hanım'ın cümlesi, yani "yüzde 24 fazla risk", polikliniğin en zayıf hastaları için kabaca doğru, en ağırları için neredeyse üç kat abartılı.

Eski dönüşüm formülü burada her hasta için ayrı çalışır ve tek bir hasta için yaklaşık değil, kesindir. Kırk BKİ'lik hastada olasılık 0,317 ve formül 1,238 ÷ (1 − 0,317 + 0,317 × 1,238) = 1,238 ÷ 1,075 ≈ 1,15 veriyor, modelin iki olasılığını doğrudan bölünce çıkan sayının aynısı. Kesinlik bir cebir özdeşliğinden geliyor: odds'u OO ile çarpıp olasılığa geri çevirdiğinde, iki olasılığın oranı tam bu kesir olur.

Olay her yüz hastadan kabaca on beşinde varken odds ile olasılık arasındaki boşluk ne kadar? Polikliniğin tamamında olasılık 0,152, odds 0,179 ve 0,179 ÷ 0,152 ≈ 1,18; yani odds olasılığı yaklaşık beşte bir aşıyor, bu da 1 ÷ (1 − 0,152) oranının kendisi. Formüle genel sıklığı koyarsan 1,238 ÷ (1 − 0,152 + 0,152 × 1,238) = 1,238 ÷ 1,036 ≈ 1,19 bulursun: tek bir özet sayı olarak "BKİ birimi başına yaklaşık yüzde 19". Bu sayı sıklığı ortalama olan hasta için doğru, eğrinin iki ucundaki hastalar için yanlış.

Formülü bir makale okuru için 1998'de Jun Zhang ile Kai Yu JAMA'da önerdi ve yaygın sonuçlu kohort çalışmalarında düzeltilmiş odds oranlarını risk oranına çevirmek için kullanılmaya başladı. Sınırı da çabuk görüldü. Düzeltilmiş bir odds oranı, kovaryatları sabit tutulmuş bir hasta için geçerlidir; formüle bütün grubun ham sıklığını koymak o hastanın p₀'ını koymak değildir. Lee-Ann McNutt ve arkadaşlarının 2003 tarihli American Journal of Epidemiology makalesi, bu çevirinin karıştırıcılar güçlü olduğunda risk oranını yanlı verdiğini ve güven aralığını olduğundan dar gösterdiğini ortaya koydu.

Beş birimlik fark

Poster beş BKİ birimi üzerinden konuşuyor, poliklinik bir birim üzerinden. Logit ölçeğinde birimler toplanır: beş birim logiti 5 × 0,2136 = 1,068 artırır. Odds ölçeğinde ise çarpılır ve e^1,068 ≈ 2,91 bulursun; aynı sayı 1,238'in beşinci kuvveti. Güven aralığı da aynı yolla taşınır, sınırların her biri beşle çarpılıp üsse konur: e^0,445 ≈ 1,56 ile e^1,69 ≈ 5,42 arası.

Sık yapılan kısa yol toplama yoludur: bir birim yüzde 23,8 ise beş birim yüzde 119 artış olsun. Gerçek artış yüzde 191, çünkü her birim bir öncekinin büyüttüğü odds'u yeniden çarpıyor. Beş birimlik farkı risk oranına çevirirken de başlangıç noktası yine belirleyici. Model 35 BKİ'de 0,138, 40 BKİ'de 0,317 olasılık veriyor; 0,317 ÷ 0,138 ≈ 2,30. Genel sıklıkla yapılan çeviri 2,909 ÷ (1 − 0,152 + 0,152 × 2,909) = 2,909 ÷ 1,290 ≈ 2,25 veriyor ve bu kez iki sayı yakın, çünkü 35 BKİ polikliniğin ortalama olasılığına yakın bir yer.

Posterin 3,6'sı Afyonkarahisar'ın 1,56–5,42 aralığının içinde kalıyor. İki merkezin sayısı rastlantıyla uyumsuz değil. Ama Şahika Hanım'ın sorusu yalnız aralıkla cevaplanmıyor, çünkü iki sayı aynı modelden gelmiyor.

Posterin sayısı neden daha büyük olabilir

Afyonkarahisar'ın 2,91'i yalnız BKİ'yi içeren bir modelden, Kütahya'nın 3,6'sı üç ek değişkenli bir modelden geliyor. Karıştırmayı biliyorsun: bir değişken hem BKİ ile hem basınçla ilişkiliyse, onu modele eklemek BKİ'nin katsayısını değiştirir. Odds oranında buna bir değişiklik kaynağı daha eklenir ve karıştırıcı olmayan bir değişken de sayıyı oynatır.

Bunu elle kurulmuş bir tabloda gör. 200 hasta, yarısında ailede hipertansiyon öyküsü var. Her iki grupta hastaların yarısı BKİ'si 40 civarında, yarısı 35 civarında; öykü ile BKİ arasında hiçbir ilişki yok, dolayısıyla öykü bir karıştırıcı değil. Öyküsü olanlarda yüksek basınç ağır grubun 50 hastasının 40'ında, hafif grubun 50 hastasının 25'inde görülüyor; odds'lar 40 ÷ 10 = 4 ve 25 ÷ 25 = 1, oran 4. Öyküsü olmayanlarda 25 ve 10 olay var; odds'lar 1 ve 10 ÷ 40 = 0,25, oran yine 4. İki katmanda da odds oranı tam 4.

Şimdi öyküyü görmezden gelip tabloyu birleştir. Ağır grupta 100 hastanın 65'inde, hafif grupta 35'inde olay var. Odds'lar 65 ÷ 35 ≈ 1,857 ve 35 ÷ 65 ≈ 0,538; oran 1,857 ÷ 0,538 ≈ 3,45. Her iki katmanda 4 olan bir sayı, birleşik tabloda 4'ün altına düştü; iki dördün birleşimi dört etmedi. Risk oranı böyle davranmıyor: katmanlarda 1,6 ve 2,5, birleşikte 1,86, yani ikisinin arasında. Risk farkı ise her yerde 0,30.

Buradan iki okuma çıkıyor. Katman içindeki 4 bir hasta için geçerli, öyküsü bilinen biri; birleşik 3,45 ise öyküsü karışık bir grup için. İkisi de doğru, ama farklı soruların cevabı: ilki koşullu, ikincisi marjinal odds oranı. Kütahya'nın düzeltilmiş 3,6'sı koşullu bir sayı. Afyonkarahisar'ın 92 BKİ değeriyle, hastaların yarısında öykü bulunduğu ve öykünün odds'u 7,4 kat artırdığı kurgu bir hesapta, koşullu 3,6 öyküsüz modelde 3,06'ya iniyor. Sonuç yüzde 15 sıklıktayken fark 4'ten 3,45'e inen tablodaki kadar büyük değil: olay seyreldikçe odds oranı risk oranına yaklaşıyor, birleştirilemezlik de onunla birlikte küçülüyor.

Olasılık farkına dönmek

Birleştirilemezlikten kaçmanın ve Makbule Hanım'a bir form satırı vermenin ortak yolu olasılık ölçeğine dönmek. Model her hastaya bir olasılık veriyor. 92 hastanın her birinin BKİ'sini zihninde beş birim azaltıp olasılığı yeniden hesaplarsan ortalama 0,152'den 0,067'ye iniyor; fark 0,085. Bu, modelin bütün hastalar üzerinden ortalaması alınmış olasılık farkı.

Bu farkı ters çevirince tanıdık bir sayı çıkıyor: 1 ÷ 0,085 ≈ 11,8. Tedavi için gereken sayıyı mutlak risk farkının tersi olarak kurmuştun (L01-P04-M02-D05). Buradaki okuma şu olurdu: BKİ'si beş birim düşen yaklaşık on iki hastadan birinde ilk vizit basıncı 140'ın altında kalır. Bu okuma iki büyük varsayım taşıyor. Birincisi, BKİ ile basınç arasındaki kesitsel ilişki nedensel olmalı; ikincisi, zayıflayan hastanın basıncı bu modelin kişiler arası eğimini izlemeli. İkisi de bu tablodan sınanamıyor, bu yüzden sayı bir müdahalenin sonucu değil, modelin ölçeğini çevirmenin bir yolu olarak durmalı.

Klinik gerçeklik

Fonksiyonel tıp literatüründe bir belirteç ya da alışkanlık için bildirilen odds oranlarını yan yana dizip "en güçlü risk etkeni" sıralaması yapmak cazip. Bu ders o sıralamanın üç koşul olmadan kurulamayacağını gösterdi. Birimler aynı olmalı: bir birim, beş birim ya da bir standart sapma başına bildirilen oranlar üs alınarak aynı birime taşınmadan karşılaştırılmaz. Sonucun sıklığı yakın olmalı, çünkü aynı oran nadir sonuçta risk oranına, yaygın sonuçta çok daha küçük bir risk oranına karşılık gelir. Düzeltme seti de benzer olmalı; aksi hâlde sayılardan biri yalnız daha güçlü öngörücüler içerdiği için büyük görünebilir.

Danışanla konuşurken en güvenli yol, odds oranını hiç kullanmamak ve olasılığa dönmek. "Sizin durumunuzdaki yüz kişiden yaklaşık on dördünde, beş birim daha yüksek BKİ'de otuz ikisinde" gibi bir cümle, danışanın eğrinin neresinde durduğunu içinde taşır. Makbule Hanım'ın formuna eklenen açıklama satırı da bu yüzden oran vermiyor: modelin olasılığı 35 BKİ'de yüzde 13,8, 40 BKİ'de yüzde 31,7. Şahika Hanım Kütahya'ya kısa bir e-posta yazıyor ve yalnız BKİ'yi içeren modelin sonucunu soruyor.

Kendini sına

1. e^b = 1,238 iken 45 BKİ'deki bir hastada (p = 0,574) bir birimlik farkın risk oranını formülle hesapla. Neden 1,24'ten bu kadar uzak?
2. Katsayıyı on BKİ birimi için ölçekle. Bir birim için verilen güven aralığı 1,09–1,40 ise on birim için aralık ne olur?
3. Bir makale BKİ'nin bir standart sapması için 2,0 odds oranı bildiriyor ve BKİ'nin SD'si 5. Bu sayı Afyonkarahisar'ın hangi sayısıyla karşılaştırılmalı?
4. 200 hastalık tabloda öyküsü olan grupta olaylar 45 ve 30 olsaydı katman odds oranı kaç olurdu? Birleşik tabloda ne beklersin?
5. Birleştirilemezlik bir karıştırıcıyı modele eklemekten nasıl ayrılır? Hangi bilgiye bakman gerekir?
6. Ortalama marjinal etkiyi tedavi için gereken sayıya çevirirken hangi varsayımlar gerekiyor?

Bir sonraki derse köprü

Makbule Hanım bir sonraki çeyrek için başka bir sütun istiyor: hastanın ilk vizitten bu yana bir yılda kaç kez acil servise başvurduğu. Sonuç artık var ya da yok değil; sıfır, bir, dört olabilen bir sayı, üstelik bazı hastalar polikliniğe altı ay önce gelmiş, bazıları bir yıl önce. Böyle bir sayımın logaritmasını modellediğinde katsayının üsteli neyin oranı olur, izlem süresi farklı hastalar aynı denkleme nasıl girer? Poisson Regresyonu bu sayım modelini kuracak.