Lojistik Regresyon

Açılış sahnesi

Haziranın üçüncü haftası, Afyonkarahisar. Obezite polikliniğinin sorumlu hemşiresi Makbule Hanım, ilk vizit formunun yeni sürümünü Orkun'un masasına bırakıyor. Başhekimlik yıllık raporu okumuş ve tek bir istekle dönmüş: forma, ilk vizitte ikinci bir basınç ölçümü randevusu verilecek hastaları seçmeye yarayacak bir sütun eklensin. Orkun aynı 92 hastanın tablosunu açmış, sistolik basıncı 140 ve üstünde olanlara 1, altında olanlara 0 yazmış ve bu sütuna BKİ'den düz bir çizgi çekmiş. Çizgi en zayıf hasta için, BKİ'si 26,2 olan kadın için, eksi yüzde yedi veriyor.

Makbule Hanım satırın üstüne kalemle bir soru işareti koyuyor: "Eksi yüzde yedi olasılıkla bir hastaya ne randevusu vereyim?". Şahika Hanım soruyu haklı buluyor ve Orkun'dan aynı sütunu başka bir modelle yeniden kurmasını istiyor.

Bu derste ne olacak

Orkun'un düz çizgisinin sıfırın altına nerede düştüğünü ve birin üstüne nerede çıkacağını hesaplayacaksın. Sonra olasılığın kendisi yerine odds'unun logaritmasını modelleyen denklemi kuracak, aynı denklemi geri çevirip birkaç BKİ için olasılığı elle bulacaksın. Eğimin hangi birimle okunduğunu ve aynı eğimin neden farklı hastalarda farklı olasılık değişimi verdiğini göreceksin. Son olarak katsayıların en küçük kareler yerine hangi ölçütle seçildiğine kısaca bakacaksın.

Sıfır noktası

Sonuç artık bir sayı değil, bir sınıf. 92 hastanın 14'ünde ilk vizit basıncı 140 ve üstünde; sıklık 14 ÷ 92 ≈ 0,152. Odds'u olayın gerçekleşme şansını gerçekleşmeme şansına bölerek kurmuştun, burada 14 ÷ 78 ≈ 0,179. Odds oranının iki grubun odds'unu bölmek olduğunu da görmüştün (L01-P04-M01-D05). O derste lojistik regresyonun doğrudan odds oranı ürettiği yalnız söylenmişti; bu ders o cümlenin nereden geldiğini gösteriyor.

Hastaları BKİ'ye göre beş dilime ayırınca oran yükseliyor. BKİ 26 ile 30 arasındaki 21 hastanın hiçbirinde basınç 140'a ulaşmamış. 30–34 diliminde 32 hastanın 2'sinde, 34–38 diliminde 23 hastanın 6'sında, 38–42 diliminde 7 hastanın 2'sinde, 42 ve üstündeki 9 hastanın 4'ünde ulaşmış. Oranlar 0, 0,06, 0,26, 0,29 ve 0,44. Bu yükselişi tek bir denklemle yazmak istiyorsun ve denklemin çıktısı bir olasılık olmalı, yani her hasta için 0 ile 1 arasında kalmalı.

Mekanizma

Düz çizgi neden yetmiyor

Orkun'un yaptığı, 0 ve 1'lerden oluşan sütuna en küçük kareler çizgisi çekmek. Çizgi olasılık = −0,8435 + 0,02935 × BKİ çıkıyor, yani her BKİ birimi olasılığa 2,9 puan ekliyor. BKİ'si 26,2 olan hasta için −0,8435 + 0,02935 × 26,2 ≈ −0,074. Çizginin sıfırı kestiği yer 0,8435 ÷ 0,02935 ≈ 28,7 ve polikliniğin 12 hastasının BKİ'si bunun altında; on iki satırın hepsinde form eksi bir olasılık yazacak.

Üst uçta sorun henüz veride görünmüyor ama denklemde duruyor. Çizgi (1 + 0,8435) ÷ 0,02935 ≈ 62,8 BKİ'de bire ulaşıyor, bunun ötesinde her hasta için birden büyük bir olasılık veriyor. Poliklinikte en yüksek BKİ 47,9, ama bir sonraki yılın hastalarından biri 65 ile gelebilir. Üstelik çizgi 2,9 puanlık adımı her yerde aynı atıyor: BKİ 27'den 28'e geçen hastaya da, 44'ten 45'e geçene de. Dilim oranları ise alt uçta sıfıra yapışıp orta bölgede hızla tırmanıyor.

Olasılığı sınırsız bir ölçeğe taşımak

Olasılık sınırı ile dönüşüm arasındaki fark bu dersin çekirdeği. Olasılık 0 ile 1 arasına kapalıdır; düz bir çizgi ise iki yöne de sonsuza gider. Çizgiyi olasılığa bağlamadan önce olasılığı sınırsız bir ölçeğe taşıman gerekir ve bunu iki adımda yaparsın. Önce olasılığı odds'a çevirirsin, p ÷ (1 − p); odds sıfırdan sonsuza gider, alt sınır kalır. Sonra odds'un doğal logaritmasını alırsın. Logaritma sıfıra yaklaşan sayıları eksi sonsuza, birden büyük sayıları artı sonsuza yayar; odds 1 olduğunda, yani olasılık 0,5'te, sonuç tam sıfırdır.

Poliklinikte genel sıklığın logiti ln 0,179 ≈ −1,72. Artık düz çizgiyi olasılığa değil bu ölçeğe çekebilirsin: logit(p) = a + b × BKİ. Denklemin sağ tarafı hangi sayıyı üretirse üretsin, onu geri çevirdiğinde 0 ile 1 arasında bir olasılık bulursun. Ters dönüşüm p = 1 ÷ (1 + e^−(a + b × BKİ)). Üs çok büyük bir eksi sayı olduğunda payda devleşir ve p sıfıra yaklaşır; çok büyük bir artı sayı olduğunda e'nin üssü sıfıra iner ve p bire yaklaşır. Aradaki geçiş S biçiminde bir eğri çizer. Bu eğriyi üstel fonksiyon dersinde bir üst sınıra yaklaşan kültür büyümesi olarak görmüştün (L02-P01-M02-D03); burada üst sınır 1, alt sınır 0.

Katsayıları olasılığa çevirmek

Orkun statsmodels'ın Logit komutunu aynı iki sütuna uyguluyor: a = −9,312, b = 0,2136. Şimdi form için üç hastanın olasılığını elle çıkar. BKİ'si 40 olan hastanın logiti −9,312 + 0,2136 × 40 = −0,768. Eksi işaretini çevirirsen e^0,768 ≈ 2,156 ve p = 1 ÷ (1 + 2,156) = 1 ÷ 3,156 ≈ 0,317. BKİ'si 30 olan hastada logit −2,904, e^2,904 ≈ 18,25 ve p = 1 ÷ 19,25 ≈ 0,052. BKİ'si 45 olan hastada logit 0,300, e^−0,300 ≈ 0,741 ve p = 1 ÷ 1,741 ≈ 0,574.

Makbule Hanım'ın soru işareti koyduğu satırda, BKİ 26,2'de, model yaklaşık 0,024 veriyor: küçük ama eksi değil. Eğrinin 0,5'i geçtiği yer logitin sıfır olduğu yer, yani 9,312 ÷ 0,2136 ≈ 43,6 BKİ. Kurgu verideki dilim oranlarıyla karşılaştırınca eğri alt uçta sıfıra yakın seyrediyor ve kırk birimin üstünde hızla yükseliyor. Modelin bu dilimlerde ne kadar isabetli olasılık verdiği ayrı bir soru: kalibrasyonu tanı testlerinde ayırt etmeden ayırmıştın, bir modelin olasılıklarında nasıl ölçüldüğünü model performansı derslerinde kuracaksın.

Eğim hangi birimle okunur

b = 0,2136 bir olasılık puanı değil. BKİ bir birim arttığında logit 0,2136 artıyor; ölçeğin birimi log-odds. Logaritmayı geri alınca toplama çarpmaya döner: bir BKİ birimi odds'u e^0,2136 ≈ 1,238 ile çarpar. BKİ 40'ta odds 1 ÷ 2,156 ≈ 0,464; BKİ 41'de 0,464 × 1,238 ≈ 0,574. Bunu olasılığa çevirirsen 0,574 ÷ 1,574 ≈ 0,365. Katsayının bu üstel biçimi, risk derslerinde elle hesapladığın odds oranının ta kendisi: BKİ'si bir birim farklı iki hastanın odds'larının oranı. Bu oranın risk oranından ne zaman ayrıldığı ve bir makalede nasıl okunması gerektiği bir sonraki dersin işi.

Eğimin standart hatası 0,0635; 0,2136 ÷ 0,0635 ≈ 3,36, bu z değerinin iki yönlü kuyruk alanı yaklaşık 0,0008. Eğimin yüzde 95'lik güven aralığı 0,089 ile 0,338 arası, üstel biçimde 1,09 ile 1,40. Standart hatayı eğime bölmek düz regresyondan tanıdığın bir işlem; yalnız kritik değer t dağılımından değil, normal dağılımdan geliyor.

Aynı eğim, farklı olasılık adımları

Logit ölçeğinde her BKİ birimi aynı adımı atıyor; olasılık ölçeğinde atmıyor. BKİ 30'dan 31'e geçince olasılık 0,052'den 0,064'e çıkıyor, 1,2 puan. 40'tan 41'e geçince 0,317'den 0,365'e, 4,8 puan. 45'ten 46'ya geçince 0,574'ten 0,626'ya, 5,1 puan. Olasılık eğrisinin en dik olduğu yer p = 0,5'tir ve oradaki eğim b × 0,5 × 0,5, yani b ÷ 4. Bu hastalarda 0,2136 ÷ 4 ≈ 0,053: BKİ birimi başına en fazla yaklaşık 5,3 puan. Kaba bir üst sınır olarak "dörde bölme kuralı" Gelman ile Hill'in 2007 tarihli regresyon kitabında önerilir.

Düz çizginin sabit 2,9 puanı, bu değişken adımların kabaca bir ortalaması. Alt uçtaki hastalarda gerçek adımı abartıyor, orta bölgedekilerde küçümsüyor.

Katsayılar nasıl seçildi

En küçük kareler burada işe yaramaz, çünkü 0 ile 1'lerden kurulu bir sütunda "dikey uzaklığın karesi" anlamlı bir hata ölçüsü değil. Lojistik regresyon katsayıları olabilirlik ile seçer. Olabilirliği yazı tura örneğinde, veriyi sabit tutup parametreyi değiştirerek kurmuştun (L02-P02-M03-D02); eğrinin tepesinin en olabilir tahmin olduğunu da görmüştün. Burada her hastanın katkısı basit: 140'a ulaşan hasta için modelin verdiği p, ulaşmayan hasta için 1 − p. 92 katkının çarpımı olabilirliktir. Çarpım çok küçük sayılar ürettiği için logaritmaların toplamıyla çalışılır.

BKİ'yi hiç kullanmayan, herkese 0,152 veren modelde bu toplam 14 × ln 0,152 + 78 × ln 0,848 ≈ −39,23. Orkun'un modelinde −32,59. b'yi 0,15'e sabitleyip a'yı yeniden seçersen −33,12, 0,25'e sabitlersen −32,74 çıkıyor; tepe 0,2136'da. Tepede bir özellik daha var: modelin 92 hastaya verdiği olasılıkların toplamı tam 14, gözlenen olay sayısı. En küçük karelerde artıkların toplamının sıfır olması gibi, bu da yöntemin ürünüdür, bulgu değildir.

Adın arkasında iki kişi var. Hastane verisindeki paradoksla adı anılan Joseph Berkson, logit sözcüğünü 1944'te Amerikan İstatistik Derneği'nin dergisinde (JASA), biyolojik doz–yanıt denemeleri için önerdi. David Cox 1958'de Journal of the Royal Statistical Society'de ikili sonuçların regresyonunu bugünkü biçimine yakın kurdu.

Klinik gerçeklik

Fonksiyonel tıpta karşına çıkan risk hesaplayıcılarının çoğu lojistik modellerdir: yaş, bel çevresi, bir panelden birkaç belirteç girer, ekrana bir yüzde çıkar. Bir makale ya da firma bu modelin katsayılarını verdiğinde, onları olasılık puanı gibi okumamak gerekir. Aynı katsayı, riski yüzde üç olan bir danışan için ihmal edilebilir bir değişim, yüzde ellideki biri için belirgin bir değişim anlamına gelir. "Bu belirteç bir birim düşerse riskiniz şu kadar azalır" cümlesi, danışanın eğrinin neresinde durduğu söylenmeden kurulamaz.

İkinci dikkat, sonucun nasıl ikiye bölündüğü. Orkun, 94 ile 164 arasında uzanan bir basıncı 140'ta ikiye ayırdı. 139 ile 141 farklı sınıflara, 141 ile 164 aynı sınıfa düştü. Sürekli bir ölçümü kategoriye bölmenin bilgi kaybettirdiğini doğrusal olmayanlık dersinde görmüştün. Başhekimliğin sorusu gerçekten evet ya da hayır istiyorsa lojistik model doğru araçtır; soru "basınç BKİ ile ne kadar değişiyor" ise sürekli sonuç üzerinden kurulan model daha çok bilgi taşır.

Makbule Hanım'ın formuna giden sütun sonunda şöyle kuruldu: her hastanın BKİ'si için modelin verdiği olasılık, yüzde olarak ve tek ondalıkla. Şahika Hanım altına bir satır ekletti: sayılar bu polikliniğin geçen yılki 92 hastasından türetildi, tek ölçümlük bir sınıflandırmaya dayanıyor ve yeni hastalarda henüz sınanmadı.

Kendini sına

1. Orkun'un düz çizgisiyle BKİ'si 22 ve 70 olan iki hasta için "olasılığı" hesapla. İkisinde de sorun ne?
2. Olasılığı 0,20 olan bir sonucun odds'unu ve logitini bul. Olasılık 0,80 olsaydı logit ne olurdu?
3. a = −9,312 ve b = 0,2136 ile BKİ'si 35 olan hastanın olasılığını elle hesapla.
4. BKİ 35'ten 36'ya geçişte olasılık kaç puan artar? Bu artışı dörde bölme kuralının verdiği üst sınırla karşılaştır.
5. Bir hesaplayıcı katsayıyı 0,4 olarak veriyor. Odds oranı kaç? Riski yüzde iki olan bir danışanla yüzde elli olan bir danışan için bu katsayı neden aynı şey söylemez?
6. Modelin 92 hastaya verdiği olasılıkların toplamı neden tam 14?

Bir sonraki derse köprü

Makbule Hanım formun altına bir soru daha yazıyor: e^0,2136 ≈ 1,24 sayısı, BKİ'de bir birim önde olan hastanın hipertansiyon riskinin yüzde 24 fazla olduğu anlamına mı geliyor? Sonuç yüz hastanın on beşinde görülürken odds'taki bir artış olasılıktaki artıştan ne kadar ayrılır? Aynı katsayı beş BKİ birimlik fark için nasıl ölçeklenir, başka bir çalışmanın odds oranıyla hangi koşulda karşılaştırılabilir? Odds Oranının Yorumu bu sayıyı okumanın kurallarını kuracak.