Basit Regresyon Sonucu Okuma

Açılış sahnesi

Haziranın ilk pazartesisi, Afyonkarahisar. Üniversite hastanesinin obezite polikliniğinde iç hastalıkları uzmanı Şahika Hanım, diyetisyen Orkun'un hazırladığı yıllık raporun «Bulgular» sayfasını açıyor. Sayfanın üst yarısında istatistik yazılımından kopyalanmış bir çıktı, alt yarısında Orkun'un dokuz cümlelik yorumu var. Veri geçen yıl polikliniğe ilk kez gelen 92 yetişkinin ilk vizitinden: beden kitle indeksi (BKİ, kilogram bölü metrekare) 26,2 ile 47,9 arasında, oturarak ölçülen sistolik basınç 94 ile 164 mmHg arasında.

Rapor cuma günü başhekimliğe gidecek. Şahika Hanım cümlelere tek tek kalemle dokunmuyor, sayfanın kenarına tek satır yazıp geri veriyor: «Önce tabloyu kendin oku, sonra yorumu tablonun söylediğiyle karşılaştır». Orkun, dokuz cümlenin hepsinin tablodaki bir sayıya dayandığını, yani hiçbirinin uydurma olmadığını söylüyor. Şahika Hanım bunu kabul ediyor; sorun sayılarda değil, okunuşlarında.

Bu derste ne olacak

Görevin, yazılımın verdiği tabloyu satır satır okumak ve Orkun'un dokuz cümlesinin her birinde tablonun nerede aşıldığını bulmak. Bu modülün sekiz dersi sana gereken bütün araçları verdi; burada yeni bir kavram yok, yalnız hangi aracın hangi satıra uzanacağını seçeceksin. Kendi okumanı yazdıktan sonra örnek okumayla karşılaştıracak, raporu yeniden yazacak ve bir okuma sırası çıkaracaksın. Görev yaklaşık kırk beş dakika sürer.

Çıktı

Model: sistolik basınç = a + b × BKİ, en küçük kareler

Raporun ekinde üç şey daha duruyor: artıkların BKİ'ye karşı grafiği, BKİ sütununa uygulanmış bir normallik sınaması (Shapiro–Wilk p = 0,0003) ve yaşın da eklendiği ikinci bir model. İkinci modelde BKİ katsayısı 0,8604 (standart hata 0,3244, p 0,0095), yaş katsayısı 0,1436 (standart hata 0,1538, p 0,35).

Orkun'un yorumu

Birinci aşama — kendi okuman

Her cümle için üç şeyi yaz: dayandığı satır, o satırın gerçekte söylediği ve cümlenin aştığı yer. Bir hesap yapabiliyorsan yap; bu tabloda satırların çoğu birbirinden türetilebiliyor ve türetmek, neyin neyi taşıdığını görmenin en kısa yolu. Dokuzunu bitirmeden örneğe geçme.

Örnek okuma

Önce satırların birbirini tuttuğunu doğrula. t, katsayının standart hatasına bölümüdür: 0,9963 ÷ 0,2897 ≈ 3,44. Doksan serbestlik derecesinde bu t'nin iki yönlü kuyruk alanı 0,0009. Güven aralığı için kritik değer 1,987: 0,9963 ± 1,987 × 0,2897, yani 0,9963 ± 0,576, 0,421 ile 1,572. R² artık kareler toplamının toplam kareler toplamına oranından çıkar: 1 − 16.352,4 ÷ 18.501,2 ≈ 1 − 0,884 = 0,116. Artık standart sapması √(16.352,4 ÷ 90) ≈ 13,48; bunu BKİ'nin sapma kareleri toplamının kökü olan 46,53'e bölünce eğimin standart hatası geri geliyor, 13,48 ÷ 46,53 ≈ 0,290. Tablo kendi içinde tutarlı ve bu, raporun cümlelerini sayıya değil okumaya dayanarak eleştirebileceğin anlamına geliyor.

Cümle 1. Kesme noktası, BKİ sıfırken beklenen basınç ve sıfır BKİ bir insanda yok; en düşük gözlem 26,2. Yanındaki p değeri de «bu yükseklik sıfır mmHg'den farklı mı» sorusunu sınıyor, kimsenin sormadığı bir soru. Katsayıların Yorumu dersinde Efe'nin 48,5 kilogramını merkezleyerek anlamlı bir sayıya çevirmiştin. Aynısını yap: BKİ'yi 35'ten uzaklık olarak yazarsan kesme noktası 89,56 + 0,9963 × 35 ≈ 124,4 mmHg olur, standart hatası 9,93'ten 1,44'e iner. Bu sayı, BKİ'si 35 olan bir hasta için çizginin beklediği basınçtır.

Cümle 2. Veri her hastanın tek vizitinden geliyor, yani kesitsel. Eğim, BKİ'leri bir birim farklı iki ayrı hastanın basıncının ortalama ne kadar farklı olduğunu söylüyor. Katsayıların Yorumu dersinde Salihli'deki beş kadın aynı soruyu kişi içinde sorunca kesitsel eğimden farklı bir sayı vermişti. Burada kilo verenlerde basıncın ne kadar düştüğünü görmek için aynı hastaları izlemek gerekir; bu tablo o soruya cevap vermiyor.

Cümle 3. R² bu 92 hastadaki basınç yayılımının ne kadarının çizgiyle paylaşıldığını söyler, yeni bir hastanın basıncının ne kadar isabetle kestirileceğini değil. İsabeti görmek için öngörü aralığını hesapla: BKİ'si 40 olan yeni bir hasta için çizgi 89,56 + 0,9963 × 40 ≈ 129,4 mmHg bekliyor, yüzde 95 öngörü aralığı ise yaklaşık 102 ile 157 mmHg. BKİ'yi bilmek tipik şaşmayı pek azaltmıyor: basıncın kendi standart sapması 14,26, artık standart sapması 13,48 ve 13,48 ÷ 14,26 ≈ 0,945. Regresyon Doğrusu dersinde R²'yi açıklanan varyansın payı olarak kurmuştun; bu tabloda o pay küçük ve tek hasta için öngörü neredeyse hiç daralmıyor.

Cümle 4. p değeri t'nin başka bir yazılışıdır ve t, eğimi standart hatasına böler. Standart hata ise gözlem sayısının kökü büyüdükçe küçülür. Aynı ilişkiyi 920 hastada görseydin standart hata √10 ≈ 3,16 kat küçülür, t aynı oranda büyüyüp 10'u aşar, p sıfıra yapışırdı; eğim yine 1 mmHg civarında kalırdı. Etkileşim Terimi dersinde Nevriye Hanım'ın iki kadrosu da p'deki farkın eğimdeki bir farka karşılık gelmediğini göstermişti. Güçlü ya da zayıf demek için eğimin büyüklüğüne ve R²'ye bak. BKİ'leri 30 ve 40 olan iki hasta arasında beklenen fark yaklaşık 10 mmHg ve bu farkı aynı BKİ'deki hastalar arasındaki 13,5 mmHg'lik tipik saçılma yutuyor.

Cümle 5. 22 verinin dışında; en zayıf hasta 26,2. Denklem 89,56 + 0,9963 × 22 ≈ 111,5 veriyor, ama Doğrusal Olmayanlık dersinde Uğurcan'ın parabolü, hiç gün olmayan bölgede bir dönüş uydurmuştu. Düz çizginin 26'nın altında da düz kaldığını gösteren tek bir nokta yok. Cümle ayrıca ikinci cümlenin hatasını taşıyor: BKİ'si 22 olan başka biri ile BKİ'si 22'ye inmiş aynı hasta farklı iki durum.

Cümle 6. En küçük kareler çözümünde artıkların toplamı her zaman sıfırdır; Uşak'ta Kutlu'nun sütununda artılar ile eksiler aynı 3,5'e çıkmıştı. Sıfır ortalama bir bulgu değil, yöntemin ürünü. Artıklar dersinde öğrendiğin gibi bakılacak şey desen. Ekteki grafikte BKİ'si ortanca değer olan 33 ve altındaki 47 hastada artıkların standart sapması 10,0, üstündeki 45 hastada 16,3 mmHg; bulut sağa doğru huni gibi açılıyor.

Cümle 7. Normallik sınaması yanlış sütuna uygulanmış. Varsayımlar dersinde Tanju'nun dipnotunu aynı gerekçeyle silmiştin: açıklayıcının dağılımı hakkında bir varsayım yok, varsayım hatalar hakkında. Artıklara uygulanan aynı sınama p ≈ 0,85 veriyor. Asıl bozulan varsayım cümle 6'nın gözden kaçırdığı huni, yani değişen varyans. Sağlam standart hata 0,4335; 0,4335 ÷ 0,2897 ≈ 1,50 kat geniş, güven aralığı 0,14 ile 1,86. Eğimin yönü ayakta kalıyor, büyüklüğü hakkındaki bilgi azalıyor.

Cümle 8. Modeli seçen veri ile başarısını bildiren veri aynı. İki katsayılı tek bir model için iyimserlik küçük olurdu: 2 × 181,7 × 2 ÷ 92 ≈ 7,9 mmHg², artık kareler ortalamasının yaklaşık yirmide biri. Oysa on iki aday denenip en iyisi alındı ve seçim formülde yok. Benzetimde (tohum 20270801, 5.000 tekrar) her biri basıncın gerçekte yalnız yüzde 5'ini paylaşan on iki aday kurdum. Seçilen adayın kendi verisindeki R² ortalaması 0,15, yeni 5.000 hastadaki ortalaması 0,01 çıktı; önceden tek ölçüm belirlenseydi bu sayılar 0,06 ve 0,03 olurdu. Aşırı Uyum dersinde bu görülmemiş serbestliği tanımıştın, sonuca bakarak seçim yapmanın p değerindeki izini de L02-P04-M03-D08'de görmüştün.

Cümle 9. 0,86 bir kısmi eğim: aynı yaştaki iki hasta arasında, BKİ'leri bir birim ayrıldığında beklenen basınç farkı. Çoklu Regresyon dersindeki özdeşlik iki katsayıyı birbirine bağlıyor. Yaşın kısmi eğimi 0,1436, yaşın BKİ'ye göre eğimi 0,9467; çarpımları 0,1436 × 0,9467 ≈ 0,136 ve 0,8604 + 0,136 ≈ 0,996, ilk modelin eğimi. İki sayı farklı soruları cevaplıyor ve «öteki sabitken» ibaresi düşünce ikisi aynı cümleye sığmaz. Yaşın katsayısı sıfırdan ayırt edilemese de (p 0,35) iki eğim arasındaki fark bu özdeşlikten birebir çıkıyor.

İkinci aşama — raporu yeniden yaz

Şahika Hanım'ın onayladığı paragraf aşağıda. Kısalmadı; her sayı artık hangi karşılaştırmayı, hangi hastaları ve hangi belirsizliği taşıdığını söylüyor.

Polikliniğe geçen yıl ilk kez başvuran 92 yetişkinin ilk vizitinde, BKİ'si bir birim yüksek olan hastaların sistolik basıncı ortalama 1,0 mmHg yüksekti (yüzde 95'lik aralık 0,4–1,6; artıkların yayılımı BKİ ile arttığından sağlam standart hatayla 0,1–1,9). BKİ'si 35 olan bir hasta için beklenen basınç 124 mmHg. Aynı yaştaki hastalar karşılaştırıldığında fark 0,9 mmHg. BKİ basınçtaki yayılımın yaklaşık onda birini paylaşıyor ve tek hastanın basıncını kestirmeye yetmiyor. Bulgular BKİ 26–48 aralığındaki hastalar için geçerli; kilo vermenin basıncı ne kadar düşürdüğünü göstermiyor. BKİ on iki aday ölçüm arasından bu verinin kendisine bakılarak seçildi ve yeni hastalarda sınanmadı.

Hangi satırdan başlamalı

Orkun tabloyu sağdan, p sütunundan okudu. Okumaya tablonun dışından başla: n'nin kim olduğu, verinin bir ölçüm turundan mı yoksa izlemden mi geldiği. Cümle 2 ile cümle 5 bu soruda düştü ve eğimin ondalığını tartışmaya gerek kalmadı. İkinci durak katsayının birimi ve açıklayıcının sıfırının anlamı; kesme noktası burada ya merkezlenir ya bir kenara konur.

Üçüncü durak artık grafiği, çünkü standart hatanın güvenilir olup olmadığını o söylüyor. Ancak bundan sonra belirsizlik satırlarına geçersin: standart hata ve güven aralığı eğimin ne kadar oynayabileceğini söyler, p aynı bilgiyi tek bir soruya sıkıştırır. R² ve artık standart sapması bu veriye uyumu anlatır. Yeni hastalar hakkında bu tablonun hiçbir satırı konuşmaz; en yakın aday artık standart sapmasıdır, o da modeli seçen veriden hesaplandığı için iyimserdir. Son soru tablonun dışına geri döner: bu model kaç aday arasından, neye bakılarak seçildi?

Kontrol listesi

• Gözlemler: Kimler, kaç kişi, kaç kez ölçüldü? Kesitsel eğim birey içi değişim diye okunuyor mu?
• Birim ve sıfır: Eğimin birimi ne? Açıklayıcının sıfırı verinin içinde mi, değilse kesme noktası merkezlenmiş mi?
• Artıklar: Grafik var mı? Huni, kavis ya da buluttan kopuk bir nokta görünüyor mu?
• Belirsizlik: Standart hata ve güven aralığı verilmiş mi? Artıklar eşit yayılmıyorsa sağlam standart hata ne diyor?
• Büyüklük: p ile etki büyüklüğü, R² ile öngörü isabeti karıştırılıyor mu?
• Aralık: Öngörüler verinin kapsadığı açıklayıcı değerleriyle sınırlı mı?
• Seçim: Model önceden mi belirlendi, yoksa adaylar arasından bu veriyle mi seçildi? Yeni veride sınandı mı?
• Öteki değişkenler: Birden çok açıklayıcı varsa her katsayı «ötekiler sabitken» diye okunuyor mu?

Modülün kapanışı

Efe'nin yedi noktasına cetvelle çekilen çizgi Manisa'da en küçük kareler çizgisine dönüşmüş, Salihli'nin beş kadını o çizginin eğiminin kimi kiminle karşılaştırdığını sormuştu. Uşak'ta Kutlu'nun «aykırı» dediği kadın çizgiyi en az oynatan gözlem çıktı. Kırşehir'de bir huni ve bir santrifüj arızası standart hatayı bozdu, teknisyen sütunu eğimi değiştirdi, Nevriye Hanım'ın iki kadrosu anlamlı ile anlamsızın farkının kendisinin sınanması gerektiğini gösterdi. Nevşehir'de kare terim düz çizgiyi büktü, sekizinci derece altmış günü ezberledi. Afyonkarahisar'daki tablo bu durakların hepsini tek sayfaya topladı.

Bir sonraki derse köprü

Başhekimlik Orkun'un raporuna tek soruyla dönüyor: polikliniğe gelen hastalardan hangileri hipertansiyon tanısı alacak? Sonuç artık 94 ile 164 arasında bir basınç değil, evet ya da hayır. Düz bir çizgi bu sonuca uydurulursa BKİ'nin uç değerlerinde sıfırın altında ve birin üstünde olasılıklar verir. Genelleştirilmiş modellerin ilk dersi Lojistik Regresyon, olasılığın kendisi yerine hangi dönüşümünün modellendiğini ve o zaman eğimin hangi birimle okunacağını soracak.