Doğrusal Olmayanlık

Açılış sahnesi

Şubatın ilk perşembesi, Nevşehir. Devlet hastanesinin laboratuvar sorumlusu Fitnat Hanım, biyokimya asistanı Uğurcan'ın hazırladığı iki sayfalık notu okuyor. Kırşehir'deki merkez laboratuvarın her yüz numuneye 4,3 dakika yazan düz çizgisi bölgedeki laboratuvar sorumlularının e-posta listesinde dolaşmış, Uğurcan da aynı hesabı kendi altmış iş gününe uygulamış. Günlük numune 300 ile 1.100 arasında, ortanca sonuç süresi 25 ile 63 dakika arasında. Düz çizgi her yüz numuneye 2,74 dakika yazıyor.

Notun ikinci sayfasında Uğurcan modele numunenin karesini de eklemiş, eğri daha iyi oturmuş. Altına bir cümle düşmüş: "Model, 217 numunenin altındaki sakin günlerde sürenin yeniden uzadığını gösteriyor; bayram arifelerinde analizörler soğuk kalıyor olabilir". Fitnat Hanım kalemi o cümlenin üstünde tutuyor. Laboratuvarın defterinde 300 numunenin altında tek bir gün yok.

Bu derste ne olacak

Bir eğimin kendi değişkeninin düzeyine göre değişmesini modele kare terimle yazacak, eğimi üç numune düzeyinde elle hesaplayacak ve parabolün dönüş noktasını bulacaksın. Sonra o dönüşün neden verinin dışına düştüğünü ve eğrinin iki kolunun neden güvenilmez olduğunu göreceksin. Logaritma alınan değişkenin sonuç mu açıklayıcı mı olduğuna göre katsayının nasıl yeni bir cümle kurduğunu sayılarla okuyacak, spline modellerini kısaca tanıyacak ve sürekli bir ölçümü iki gruba bölmenin kaç gözleme mal olduğunu benzetimle ölçeceksin.

Sıfır noktası

Etkileşimde numunenin eğimi başka bir değişkene, kadroya bağlanmıştı. Burada eğimi değiştiren şey numunenin kendisi: yoğunluk arttıkça her ek yüz numunenin maliyeti de artıyorsa, sabit bir eğim bu laboratuvarı yanlış anlatır. Korelasyon düzeyinde böyle bükülmeleri tanımayı, logaritmayla düzleştirmeyi ve kesme noktası seçmenin tuzağını görmüştün (L02-P05-M01-D04). Şimdi soru başka: bükülmeyi bir regresyon modelinin içine nasıl yazarsın ve yazdığın katsayı ne anlatır?

Mekanizma

Artıktaki kavis

Uğurcan'ın düz çizgisinin artıklarını numuneye göre üç bölgede topla. 300 ile 500 arasındaki on beş günün ortalama artığı +2,0 dakika, on birinde artık artı. 500 ile 900 arasındaki otuz üç günün ortalaması −1,6, yirmi ikisinde artık eksi. 900'ün üstündeki on iki günde ortalama yine +1,9. Uçlarda çizginin altında, ortada üstünde kalan bir bulut, artık grafiğinde aranması gereken ilk desen olarak tanıdığın kavistir. Çizgi, ne sakin ne yoğun günleri doğru anlatıyor; ortalama bir günü anlatıyor.

Kare terim

Tabloya numunenin karesini taşıyan bir sütun daha aç. Numuneyi yüzlük birimle x diye yazarsan model süre = a + b₁x + b₂x² olur; katsayılar en küçük karelerle a ≈ 33,62, b₁ ≈ −1,276, b₂ ≈ 0,2945 çıkıyor. b₂'nin standart hatası 0,0834; 0,2945 ÷ 0,0834 ≈ 3,53, p 0,0008. Kavis rastlantı gibi görünmüyor.

Parabolün eğimi her noktada başkadır. Türevini alırsan eğim b₁ + 2 × b₂ × x çıkar; 2 × 0,2945 = 0,589, yani her yüz numune eğimi 0,589 dakika büyütüyor. 400 numuneli bir günde eğim −1,276 + 0,589 × 4 ≈ 1,08 dakika. 700 numunede −1,276 + 0,589 × 7 ≈ 2,85, 1.000 numunede −1,276 + 0,589 × 10 ≈ 4,61. Yoğun bir günde ek yüz numune, sakin bir günde getirdiğinin 4,61 ÷ 1,08 ≈ 4,3 katı gecikme getiriyor. Düz çizginin 2,74'ü bu üç sayının kabaca ortasında duruyor ve hiçbirini tarif etmiyor.

b₁'in kendisi, yani −1,276, sıfır numuneli bir günün eğimi. Etkileşim modelinde sıfırdaki eğimle karşılaştığında ne yaptıysan burada da onu yaparsın: numuneden 7'yi çıkarıp modeli yeniden kurunca birinci katsayı 700 numuneli bir günün eğimi olan 2,85'e döner, kare terimin katsayısı değişmez.

Dönüş noktası ve iki kol

Her parabol bir yerde döner. Eğimin sıfır olduğu yer b₁ + 2 × b₂ × x = 0 denkleminden çıkar: x = −b₁ ÷ (2 × b₂) = 1,276 ÷ 0,589 ≈ 2,17, yani 217 numune. Uç noktada teğetin yatay olduğunu, türevin sıfırlandığını tepe ile çukuru ayırırken görmüştün (L02-P01-M03-D05). Burada b₂ artı, dolayısıyla nokta bir çukur: model 217 numunenin altında sürenin yeniden uzadığını söylüyor. 100 numunelik bir gün için öngördüğü süre 32,6, 217 numunelik bir gün için 32,2 dakika.

Uğurcan'ın bayram arifesi cümlesi bu kolun üstüne kurulmuş. Oysa 217 verinin en küçük değeri olan 300'ün dışında ve modeli oraya taşıyan hiçbir gözlem yok. Dönüşü üreten şey veri değil, parabolün simetrisi: sağ taraftaki yükselişi izleyebilmek için eğrinin solda bir yerde dönmesi gerekiyordu. Verinin görmediği bir bölgede denklemden cevap istemenin adı dışdeğerlemeydi; kavrama kuvveti tablosunda sabit terimin sıfır yaşında 48,5 kilogram kavrayan bir kadını tarif ettiğini orada hesaplamıştın (L02-P05-M02-D02). Kare terim bu tehlikeyi artırır, çünkü düz çizgi dışarıda yalnız yanılır, parabol ise yön de değiştirir.

Öteki kol da güvenilmez, bu kez ters yönde. 1.300 numuneli bir gün için parabol 66,8 dakika öngörüyor. Veriyi üreten kural ise aynı gün için 134 dakika veriyor. Kuyruk kuramının en basit modelinde, işlerin rastgele geldiği ve rastgele sürelerle tek bir hizmet noktasında görüldüğü bir düzende, sıradaki ortalama bekleme hizmet süresinin ρ ÷ (1 − ρ) katıdır; ρ işlerin geliş hızının kapasiteye oranıdır. Yük yarıdaysa 0,5 ÷ 0,5 = 1 kat, %80'deyse 0,8 ÷ 0,2 = 4 kat, %90'daysa 0,9 ÷ 0,1 = 9 kat. %80'den %90'a çıkan son adım, beklemeyi tek başına iki katından fazla uzatıyor. Bir parabol bu patlamayı izleyemez; kapasiteye yaklaşırken sonsuza koşan bir eğriyi, yalnız x'in karesiyle büyüyen bir kol hep hafife alır.

Logaritmanın yeni cümlesi

Bükülmeyi yazmanın ikinci yolu değişkeni dönüştürmek. Sonucun logaritmasını alıp numuneye göre modellediğinde katsayı 0,0676 çıkıyor. Bu artık dakika değil, oran: her yüz numune süreyi e^0,0676 ≈ 1,070 katına, yani yaklaşık %7 büyütüyor. 35 dakikalık bir günde bu 35 × 0,07 ≈ 2,45 dakika, 55 dakikalık bir günde 55 × 0,07 ≈ 3,85 dakika eder. Eğim yine düzeyle büyüyor, ama sabit bir yüzdeyle.

Logaritmayı açıklayıcıya uygularsan cümle başka yöne döner. Süreyi numunenin doğal logaritmasına göre modellemek 16,06'lık bir katsayı veriyor: numune %10 arttığında süre 16,06 × ln 1,1 ≈ 1,53 dakika artar. 400 numuneli bir günde %10, kırk numune demek; yüz numune başına 1,53 ÷ 0,4 ≈ 3,8 dakika. 1.000 numuneli bir günde %10 tam yüz numune, maliyet 1,53 dakika. Bu model yüz numunenin maliyetini yük arttıkça düşürüyor; kuyruğun tersine, doygunluğa uyan bir biçim. Hangi değişkenin logaritmasını alacağını eğrinin hangi yöne büküldüğü belirler, alışkanlık değil.

Spline

Üçüncü yol, eğrinin biçimini önceden seçmemek. Numune eksenini önceden belirlenen birkaç düğüm noktasıyla parçalara bölüp her parçaya ayrı bir eğri uydurur, eğrileri düğümlerde kırılmadan birleştirirsin. Tek bir eşiğin veriye bakılarak seçildiği iki parçalı çözümlemeden farkı buradadır: düğümler genellikle dağılımın sabit yüzdeliklerine konur ve hiçbir parçanın eğimi tek başına sınanmaz.

Kategoriye bölmenin bedeli

Başhekimliğe giden ilk tabloda Uğurcan günleri ortancadan, 660 numuneden bölmüştü: sakin günlerde ortalama süre 34,8, yoğun günlerde 45,1 dakika. Bu tablo kavisi tümden siliyor; 670 numuneli bir gün ile 1.100 numuneli bir gün aynı sütuna düşüyor. Bölmenin bir bedeli daha var ve ilişki düz olduğunda da ödeniyor.

Bedeli benzetimle ölç. 20263301 tohumuyla altmış günlük 20.000 tablo üretildi; numune ile süre arasındaki korelasyon 0,3, ilişki düz. Numuneyi sürekli bırakan test ilişkiyi 13.081 ÷ 20.000 ≈ 0,65 olasılıkla yakaladı. Günleri ortancadan bölüp iki grubu karşılaştıran test yalnız 9.113 ÷ 20.000 ≈ 0,46 ile. Normal dağılan bir değişkende ortancadan bölmenin açıklanan varyansı 2 ÷ π ≈ 0,64 katına indirdiği gösterilebilir. Aynı gücü geri almak için 60 ÷ 0,64 ≈ 94 gün gerekir. Ayrı bir tohumla, 20263302 ile kurulan benzetimde de güç 0,65'e ancak 94 ile 95 gün arasında döndü.

Klinik gerçeklik

Klinik literatürdeki pek çok ilişki, yaş ile risk, vücut ağırlığı ile ölüm ya da bir biyobelirteç ile sonuç, düz değildir ve sık sık ya ikiye bölünerek ya da tek bir düz eğimle raporlanır. Bir makalede "yüksek ve düşük grup" karşılaştırması gördüğünde kesme noktasının nereden geldiğini, önceden mi belirlendiğini, sürekli çözümlemenin neden verilmediğini sor. Bir tepe ya da çukur okuduğunda o noktanın çevresinde kaç gözlem bulunduğuna bak. Spline eğrisi çizilmişse uçlardaki geniş güven bantlarını ciddiye al; orada eğriyi taşıyan hasta azdır.

Fitnat Hanım notu Uğurcan'la birlikte yeniden yazıyor. Bayram arifesi cümlesi siliniyor, yerine veri aralığının 300 ile 1.100 numune olduğu ve modelin bu aralığın dışında bir şey söylemediği yazılıyor. Eğim tek sayı olarak değil, 400, 700 ve 1.000 numunelik üç gün için veriliyor. Ortancadan bölünmüş tablo ek dosyaya iniyor. Son paragraf başhekimliğe bir uyarı taşıyor: yük 1.100'ün üstüne çıkarsa süreler, altmış günün gösterdiğinden çok daha hızlı uzayabilir ve bunu hiçbir model bu tablodan kestiremez.

Kendini sına

1. Kare terimli modelde 550 ve 850 numuneli günler için eğimi hesapla. Aradaki fark neden 0,589 × 3 çıkar?
2. b₁ = −1,276 ve b₂ = 0,2945 iken dönüş noktası 217 numune. b₁ = −4 olsaydı dönüş nerede olurdu, veri aralığına girer miydi?
3. Kuyruk modelinde yük %95 olsaydı bekleme hizmet süresinin kaç katı olurdu? %80'den %95'e çıkış kaç kat artış getirir?
4. Logaritması alınmış sürede 0,0676'lık katsayıyı bir meslektaşına tek cümleyle anlat. 45 dakikalık bir günde ek yüz numune süreyi yaklaşık kaç dakika uzatır?
5. Numunenin logaritmasını açıklayıcı olarak kullanan model bu laboratuvara neden uymuyor? Hangi tür bir ilişkiye uyardı?
6. Bir makale hastaları ortanca yaştan ikiye bölmüş ve "yaşlı grupta risk yüksek" diyor. Hangi iki bilgiyi ararsın?

Bir sonraki derse köprü

Kare terim artıkları küçülttü. Uğurcan bir adım daha atıp numunenin küpünü, dördüncü kuvvetini ekleyebilir; her yeni terim artıkların kareleri toplamını biraz daha düşürür ve eğri altmış noktanın arasından daha sıkı geçer. Peki bu küçülme ne zaman laboratuvarın düzenini değil o altmış günün rastlantısını öğrenmeye başlar? Bir modelin kendi verisine fazla iyi uyduğunu, henüz görmediği yeni günlerde nasıl anlarsın?