Etkileşim Terimi

Açılış sahnesi

Ocağın son salısı, Kırşehir. İl sağlık müdürlüğünün laboratuvar koordinasyonundan merkez laboratuvara bir e-posta düşüyor: ilçe devlet hastanelerinden birinin laboratuvar sorumlusu Nevriye Hanım, kendi kırk iş gününü iki kadroya ayırıp incelemiş. İki teknisyenli yirmi günde her yüz numune sonuç süresine 5,65 dakika ekliyor ve eğim anlamlı, p 0,025. Üç teknisyenli yirmi günde eğim 4,37 dakika, p 0,11. E-postanın son cümlesi kesin: "Üçüncü teknisyen numune yükünün süreye etkisini ortadan kaldırıyor."

Mesude Hanım e-postayı Tanju'ya iletirken sorumlu teknisyen Dürdane Hanım da odada. Ona göre bu zaten bilinen bir şey: kalabalık bir nöbette tüpler yığılmaz, yoğun gün sakin gün gibi akar. Tanju'nun geçen hafta kurduğu model ise her kadroya aynı eğimi yazmıştı. Mesude Hanım ikisini de sınamak istiyor, önce kendi defterlerinde.

Bu derste ne olacak

Modele iki açıklayıcının çarpımını ekleyecek ve bir değişkenin eğiminin ötekinin düzeyine göre nasıl değiştiğini üç kadro için elle hesaplayacaksın. Çarpım terimi girince öteki katsayıların anlamının neden değiştiğini ve merkezlemenin bunu nasıl düzelttiğini göreceksin. Sonra etkileşimi sınamanın neden bu kadar çok gözlem istediğini, bir alt grupta anlamlı ötekinde anlamsız bulunan bir sonucun neden etkileşim kanıtı sayılmadığını ve aynı verinin bir ölçekte etkileşim gösterip ötekinde göstermeyebileceğini tartacaksın.

Sıfır noktası

Faktöriyel tasarımı işlerken etkileşimi dört hücreli bir tabloda, iki farkın farkı olarak hesaplamıştın: damlanın etkisi hatırlatıcı varken 5, yokken 2 puansa etkileşim 3 puandır ve "damlanın etkisi" tek bir sayıyla söylenemez (L01-P02-M03-D06). Orada iki etken de var ya da yok diye iki düzeyliydi. Tanju'nun modelinde ise numune ve kadro sürekli değişkenler; yüzlerce numune düzeyi, beş kadro düzeyi var. Farkın farkı fikrini bu sürekliliğe taşımanın yolu, eğimi sabit bir sayı olmaktan çıkarıp ötekinin düzeyine bağlı bir ifadeye çevirmektir.

Mekanizma

Çarpım sütunu

Modele üçüncü bir sütun ekle: her günün numune sayısı ile teknisyen sayısının çarpımı. Numuneye x₁, teknisyene x₂ dersen denklem süre = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₁x₂ olur. x₁ içeren iki terimi bir araya topla: süre = a + b₂x₂ + (b₁ + b₃x₂) × x₁. Parantezin içi numunenin eğimidir ve artık teknisyen sayısıyla birlikte değişir. b₃ sıfırsa eski paralel dilimlere dönersin; sıfırdan farklıysa dilimler birbirine açı yapar.

Merkez laboratuvarın kırk gününde en küçük kareler şu katsayıları veriyor: a ≈ 19,36, b₁ ≈ 6,921, b₂ ≈ −1,168, b₃ ≈ −0,269. Üç kadro için numunenin eğimini hesapla. Üç teknisyenli bir günde 6,921 − 0,269 × 3 = 6,114 dakika; beş teknisyenli bir günde 6,921 − 0,269 × 5 = 5,576; yedi teknisyenli bir günde 6,921 − 0,269 × 7 = 5,038. Yön Dürdane Hanım'ın sezgisiyle uyumlu: kalabalık kadroda yüz numunenin maliyeti biraz düşük.

Sıfırdaki eğim

Çarpım sütunu girince numunenin katsayısı 5,58'den 6,92'ye, teknisyeninki −2,65'ten −1,17'ye kaydı. Veride hiçbir şey değişmedi; değişen, katsayıların cevap verdiği soru. Koşullu eğim formülünde teknisyen sayısını sıfır yaz: numunenin eğimi yalnız b₁ kalır. Yani 6,92, nöbette hiç teknisyen olmayan bir günde yüz numunenin maliyeti. Böyle bir gün laboratuvarın kapalı olduğu gündür. −1,17 de sıfır numuneli bir günde bir teknisyen fazlasının kazancı. İki sayı da verinin hiç görmediği bir köşeyi anlatıyor.

Kavrama kuvvetini yaşa göre çizerken 48,5 kilogramlık kesme noktasının sıfır yaşta bir kadını tarif ettiğini, yaştan 76 çıkarınca anlamlı bir sayıya dönüştüğünü görmüştün. Etkileşim modelinde merkezleme aynı işi katsayılar için yapar. Numuneden 6'yı, teknisyenden 5'i çıkarıp modeli yeniden kur: numunenin katsayısı 5,58, teknisyeninki −2,78, kesme noktası 46,98 olur. İlki beş teknisyenli bir günde yüz numunenin maliyeti, ikincisi 600 numuneli bir günde bir teknisyen fazlasının kazancı, üçüncüsü de böyle bir günün beklenen süresi. b₃ ise −0,269 olarak kalır; merkezleme çarpımın katsayısına dokunmaz.

Aynı katsayının öteki okunuşunu da hesapla. 600 numuneli bir günde bir teknisyen fazlası −1,168 − 0,269 × 6 ≈ −2,78 dakika kazandırıyor, 900 numuneli bir günde −1,168 − 0,269 × 9 ≈ −3,59. "Numunenin maliyeti kadroya göre değişiyor" ile "teknisyenin kazancı yüke göre değişiyor" aynı sayının iki cümlesidir.

Terim var ama kanıt yok

b₃'ün standart hatası 0,450. Test istatistiği 0,269 ÷ 0,450 ≈ 0,60, p 0,55; huniye dayanıklı aralık −1,24 ile 0,70 arasında. Kadroda dört teknisyenlik bir fark, bu aralığın iki ucuna göre numunenin eğimini yaklaşık beş dakika düşürebilir ya da neredeyse üç dakika yükseltebilir. Veri, Dürdane Hanım'ın sezgisiyle de sezginin tersiyle de uyumlu. Kırk gün bu soruya cevap vermeye yetmiyor.

Bunun nedeni etkileşim testinin yapısında. Faktöriyel tasarımda farkın farkının standart hatasının kabaca iki katına çıktığını görmüştün; burada o iki katın ne kadar gözleme mal olduğunu hesapla. Tanju ek teknisyeni kura ile günlere dağıtan bir deneme düşünüyor: günler ayrıca sakin ve yoğun diye ikiye ayrılıyor, dört hücre eşit dolduruluyor. Gün içi yayılım 4,3 dakika olsun; ek teknisyen ortalamada 3 dakika kazandırsın ve bu kazanç yoğun günlerde sakin günlerden 3 dakika fazla olsun. Ana etkinin standart hatası 2 × 4,3 ÷ √N, etkileşiminki 4 × 4,3 ÷ √N. Altmış dört günde bunlar 1,075 ve 4 × 4,3 ÷ 8 = 2,15 dakika; 2,15 ÷ 1,075 = 2, karesi 4. Aynı kesinliği etkileşim için elde etmek 64 × 4 = 256 gün ister.

Benzetim de aynı yere varıyor. 20263102 tohumuyla her gün sayısı için 20.000 deneme kuruldu. Altmış dört günde ana etki denemelerin 0,78'inde, etkileşim ise yalnız 0,28'inde anlamlı çıktı; 256 günde etkileşimin gücü 0,79'a çıktı. Bir yılın iş günü kadar kura, ana etkiyi yakalamaya yetecek sürenin dört katı.

Alt grup ile etkileşim

Nevriye Hanım'ın e-postası başka bir yoldan gidiyor: veriyi kadroya göre ikiye bölüp her yarıda ayrı bir eğim sınamak. Bir yarıda p 0,025, ötekinde 0,11; aradaki karşılaştırma ise hiç yapılmamış. Yapalım. E-postadaki standart hatalar 2,31 ve 2,57. Eğimlerin farkı 5,65 − 4,37 = 1,28 dakika, farkın standart hatası √(2,31² + 2,57²) ≈ 3,46, test istatistiği 1,28 ÷ 3,46 ≈ 0,37. Aynı veride etkileşim terimli model p 0,72 veriyor. Anlamsız bulunan eğim 4,37 dakika, anlamlı olanın dörtte üçünden fazlası; üçüncü teknisyen hiçbir şeyi ortadan kaldırmamış.

Anlamlı ile anlamsız arasındaki farkın kendisinin anlamlı olmak zorunda olmadığını Andrew Gelman ile Hal Stern'in cümlesiyle, kesme noktası seçerken iki parçanın eğimlerini karşılaştırırken duymuştun (L02-P05-M01-D04). İlçe tablosunda bunun ne sıklıkla olduğunu ölç. Eğimlerin iki kadroda da aynı olduğu kuralla, 20263101 tohumuyla 20.000 laboratuvar üretildi. 8.518'inde kadrolardan biri anlamlı, öteki anlamsız çıktı: 8.518 ÷ 20.000 ≈ 0,43. Etkileşim testi ise yalnız 995'inde anlamlıydı, 995 ÷ 20.000 ≈ 0,05. Her kadroda eğimi yakalama gücü üçte birin altındaysa, birbirinden bağımsız iki testten birinin tutup ötekinin tutmaması beklenen bir sonuçtur.

Tanju kendi defterini aynı biçimde böldüğünde iki yarıda da eğim anlamlı çıkıyor, 3–4 teknisyenli günlerde 5,21, 5–7 teknisyenli günlerde 5,03. Bu da eğimlerin aynı olduğunu kanıtlamaz; iki yarıya düşen gün sayısı ve numune aralığı değişse tablo başka bir desen verirdi. Bölmeyi başka bir çizgiden yapmak, sayılmamış bir karşılaştırma daha eklemek demek; birden çok bölüm denendiğinde rastlantısal bir "anlamlı" yarı bulma olasılığının büyüdüğü çoklu alt grup sorununu görmüştün (L01-P06-M01-D04).

Ölçeğe bağlılık

Etkileşim, eğimlerin hangi ölçekte ölçüldüğüne bağlıdır. Bir ilaç, kurgu sayılarla, yüksek riskli hastalarda beş yıllık olay riskini yüzde 10'dan 5'e, düşük riskli hastalarda yüzde 2'den 1'e indirsin. Oran ölçeğinde 5 ÷ 10 = 0,5 ve 1 ÷ 2 = 0,5: risk iki grupta da yarıya iniyor, etkileşim yok. Fark ölçeğinde ise yüksek riskli grupta 5 puan, düşük riskli grupta 1 puan azalma var: etkileşim var. Aynı dört sayı, çarpımsal ölçekte paralel, toplamsal ölçekte açılı iki çizgi verir.

Klinik gerçeklik

Bir etkinin bir hasta özelliğine göre değişmesi klinikte etki değişikliği (effect modification) adıyla anılır. Karıştırıcı ve aracıdan ayrı bir tür olarak değiştiriciyi, düzeltilip gömülmek yerine alt gruplara ayrılarak gösterilmesi gereken değişken diye tanımışsın. Regresyondaki yazılışı etkileşim terimidir, kanıtı da o terimin testidir; alt grupları ayrı ayrı göstermek yerindedir, ama aralarındaki farkı sınamadan "bu grupta işliyor, ötekinde işlemiyor" demek değildir.

Hangi ölçeğin önemli olduğu soruya bağlı. Mekanizmayı merak ediyorsan oran ölçeği sade bir tablo verebilir. Kime öncelik verileceğine karar veriyorsan fark ölçeği gerekir: yukarıdaki kurgu ilaçta yüksek riskli grupta bir olayı önlemek için 20 hastayı, düşük riskli grupta 100 hastayı tedavi etmek gerekir. Bir makalenin alt grup grafiğini okurken önce etkileşim testinin bildirilip bildirilmediğine, sonra alt grupların önceden tanımlanıp tanımlanmadığına, en son da etkinin hangi ölçekte çizildiğine bak.

Tanju'nun başhekimliğe notu kısa. Kırk günlük veri, yüz numunenin maliyetinin kadroya göre değişip değişmediğini söyleyemiyor; aralık, Dürdane Hanım'ın sezgisini de tersini de içine alıyor. İlçeden gelen tablo da bir kanıt değil, aynı testle 0,72'lik bir p değeri veriyor. Ek teknisyen denemesi kurulursa, yoğun günlerde daha çok kazandırıp kazandırmadığı sorusu ana soru değil ikincil bir soru olarak yazılmalı; o soruyu cevaplamak ana soruya yetecek sürenin dört katını ister.

Kendini sına

1. Merkezlenmemiş modelde teknisyen sayısı 4 iken numunenin koşullu eğimini hesapla. Merkezlenmiş modelde aynı eğimi hangi katsayılarla bulursun?
2. Etkileşimli modelde b₁ tabloda anlamsız çıksa, numunenin süreyi etkilemediği sonucuna varabilir misin? Neden?
3. Nevriye Hanım'ın iki eğimi 5,65 ve 4,37 yerine 5,65 ve 0,5 olsaydı, farkın test istatistiği aynı standart hatayla kaç olurdu?
4. Ana etki için 80 hasta gerektiren bir çalışmada, ana etkinin yarısı büyüklüğündeki bir etkileşimi aynı güçle yakalamak kabaca kaç hasta ister?
5. Bir tedavi erkeklerde riski yüzde 8'den 6'ya, kadınlarda yüzde 4'ten 3'e indiriyor. Hangi ölçekte etkileşim vardır, hangisinde yoktur?
6. Bir makale "etki yalnız 65 yaş üstünde anlamlıydı" diyor ve etkileşim testi vermiyor. Yazara hangi iki soruyu sorarsın?

Bir sonraki derse köprü

Etkileşim terimi numunenin eğimini teknisyen sayısına bağladı. Peki numunenin eğimi numunenin kendi düzeyine göre değişiyorsa? Kuyruk kuramının söylediği gibi, laboratuvar kapasitesine yaklaştıkça her yüz numune bir öncekinden daha pahalıya gelebilir. Bir değişkenin kendisiyle çarpımı, yani karesi, modele eklendiğinde düz çizgi nasıl bükülür, o katsayı neyi anlatır ve eğrinin verinin dışındaki kolu neden güvenilmez olur?