Varsayımlar

Açılış sahnesi

Ocağın ilk salısı, Kırşehir. Hastanenin merkez laboratuvarında tıbbi biyokimya uzmanı Mesude Hanım, kalite biriminden Tanju'nun başhekimliğe gidecek raporunu okuyor. Rapor ikinci bir biyokimya analizörü istiyor ve dayanağı tek bir çizgi: eylül ile ekimin kırk iş gününde günlük numune sayısı 280 ile 1.000, günün ortanca sonuç süresi 33 ile 70 dakika arasında. Tanju'nun cümlesi şu: numune sayısı her yüz arttığında sonuç süresi 4,3 dakika uzuyor, yüzde 95 güven aralığı 3,4 ile 5,2 dakika.

Raporun altında bir dipnot var. Tanju süre sütununa bir normallik sınaması uygulamış, p ≈ 0,0008 bulmuş ve "süreler normal dağılmadığı için bulgular dikkatle yorumlanmalıdır" diye yazmış. Mesude Hanım dipnotun yanına iki not düşüyor. Birincisi, normal dağılması beklenen şey o sütun değil. İkincisi, bu kırk gün art arda geldi ve eylülün son haftasında santrifüjlerden biri beş gün arızalıydı. Tanju ikincisinin bir çizgiyle ne ilgisi olduğunu soruyor.

Bu derste ne olacak

Eğimin arkasındaki dört kabulü adlandıracak, her biri bozulduğunda hasarın çizginin kendisine mi, çevresindeki belirsizliğe mi düştüğünü ayıracaksın. Tanju'nun artıklarındaki huninin klasik aralığı ne kadar yanılttığını benzetimle sayacak, aralığı huniye dayanıklı bir standart hatayla yeniden kuracaksın. Ardından art arda gelen günlerin birbirine benzemesinin bedelini hesaplayacak, son olarak normalliğin hangi sayılar hakkında bir kabul olduğunu soracaksın.

Sıfır noktası

Katsayılar yorumlanırken Manisa'daki yedi kadının eğimine 1,5 ÷ √304 ≈ 0,086 kilogramlık bir standart hata yazılmıştı. Bu kısa formülün içinde üç sessiz kabul var. s bütün noktalar için tek bir sayıdır; her yaşta yayılımın aynı olduğunu varsayar. Paydadaki toplam her noktayı ayrı bir bilgi parçası sayar; noktaların birbirinden bağımsız olduğunu varsayar. Aralık için t tablosuna gidilmesi de hataların normal dağıldığını varsayar. Dördüncü kabul formülden önce gelir: ortalama kuvvetin yaşla gerçekten düz bir çizgi üzerinde değiştiği.

Uşak'ta aynı yedi noktanın artıkları okunurken bir huni belirmişti, ama o kadar az noktada gerçek mi gürültü mü olduğu bilinemiyordu. Tanju'nun kırk günü aynı soruyu, sayıların cevap verebileceği bir büyüklükte soruyor.

Mekanizma

Dört kabul, iki tür hasar

Birçok İngilizce ders kitabı dört kabulü baş harfleriyle LINE diye ezberletir: doğrusallık (linearity), bağımsızlık (independence), normallik (normality) ve eşit varyans (equal variance). Bu sıra önem sırası değildir; asıl ayrım, bir kabul bozulduğunda hasarın nereye düştüğüdür. İki grup karşılaştırmasında da üç kabulün ağırlığı farklıydı ve bağımsızlık en ağırıydı (L02-P04-M04-D01); regresyonda aynı sıralama bir dördüncü kabulle geri geliyor.

Doğrusallık bozulursa çizginin kendisi yanlıştır. Analizör kapasitesine yaklaştıkça her ek yüz numune bir öncekinden çok dakika ekliyorsa, 4,3 sakin günler için fazla, yoğun günler için az kalır ve hiçbir güne ait olmayan bir ortalamaya dönüşür. Daha çok veri yanlış sayıyı yalnızca daha kesin gösterir; eğrinin nasıl kurulacağı doğrusal olmayanlığa ayrılan derste açılacak. Öteki üç kabulün bozulması ise eğimi yerinde bırakır. Hataların ortalaması her numune sayısında sıfır olduğu sürece eğim yansız bir tahmin edicidir; bozulan, onun ne kadar oynayabileceğine dair söylenenlerdir: standart hata, ondan kurulan aralık ve eğimin p değeri.

Hangi kabulün nereden sınandığı da ikiye ayrılır. Doğrusallık, eşit varyans ve normallik artıklarda iz bırakır. Kavis ve huni artıkların açıklayıcı değişkene karşı grafiğinde görünür; normallikten sapma ise normal olasılık grafiğinde (Q-Q plot), yani sıralanmış artıkların normal dağılımdan beklenen değerlere karşı çizildiği grafikte. Bağımsızlık artık sütununa tek başına bakarak görülmez. Artıklar zaman sırasına ya da kümelere göre dizildiğinde bir iz çıkabilir, ama o sırayı ve o kümeleri sana verinin nasıl toplandığı söyler. Mesude Hanım'ın santrifüj notu bu yüzden bir istatistik notudur.

Huni: yoğun günlerin yayılımı

Tanju artıkları numune sayısına karşı çizdiğinde huni açıkça görünüyor. Günlük 470 ve altı numuneli on üç sakin günde artıkların standart sapması 1,73 dakika, 620 ve üstü numuneli on üç yoğun günde 6,44 dakika. Oran 6,44 ÷ 1,73 ≈ 3,7, varyans oranı onun karesi, yaklaşık 14. Yoğun günlerde gecikme yalnız uzamıyor, oynaklaşıyor da.

Klasik formül kırk güne tek bir s veriyor, 4,65 dakika. Oysa eğimi en çok yönlendiren günler numune sayısının uçlarındadır ve burada yoğun uç aynı zamanda en oynak uç. Formül bu oynaklığı sakin günlerle ortalayıp küçültüyor. Ne kadarını, bir benzetim söyler. Tanju'nun kırk günlük numune sayıları sabit tutulup gerçek eğimi 4 olan, yayılımı yoğunlukla açılan 20.000 veri seti üretildi (tohum 20261014). Eğimlerin ortalaması 4,005 çıktı, yani eğim yansız. Ama yüzde 95 diye yazılan klasik aralıklar gerçek eğimi 17.392 sette yakaladı: 17.392 ÷ 20.000 ≈ 0,870. Aynı günler beş kez tekrarlanıp 200 güne çıkınca kapsama yine 0,870'te kaldı; veri çoğaldıkça bu açık kapanmıyor.

Halbert White bu yolu 1980'de Econometrica'da yayımlanan "A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity" makalesinde genel biçimiyle verdi. Tanju'nun verisinde küçük örneklem düzeltmeli sağlam standart hata 0,63, klasik olan 0,46. Oran 0,63 ÷ 0,46 ≈ 1,37; aralık üçte birden fazla genişliyor ve 3,0 ile 5,6 dakikaya uzanıyor. Aynı benzetimde bu aralık 18.673 sette tuttu, 0,934; 200 günde 0,948. Eğim kıpırdamadı, 4,3 hâlâ 4,3; değişen, raporun ona iliştirdiği güven.

Art arda gelen günler

Mesude Hanım'ın ikinci notuna geç. Artıklar tarih sırasına dizildiğinde bir günün artığı ile ertesi günün artığı arasındaki korelasyon 0,42. Santrifüj haftasının beş gününde de artık artı işaretli ve artılar dokuz iş günü kesintisiz sürüyor. Numune sayısı da günden güne rastgele değişmiyor; ekimin son haftasında yoğun günler yan yana geliyor, komşu günlerin numune sayıları arasındaki korelasyon 0,64.

Bu benzerliğin bedelini tasarım etkisine benzeyen bir çarpanla kabaca tartabilirsin. Kümelenmiş örneklemde kaybı küme büyüklüğü ile küme içi benzerlik belirliyordu (L02-P02-M02-D08); burada iki komşuluk korelasyonunun çarpımı belirliyor. İki seride de komşuluk ilişkisi gün uzadıkça düzenli biçimde sönüyorsa eğimin varyansı yaklaşık (1 + 0,64 × 0,42) ÷ (1 − 0,64 × 0,42) = 1,269 ÷ 0,731 ≈ 1,74 kat büyür. Standart hata √1,74 ≈ 1,32 katına çıkar; kırk gün, bilgi bakımından 40 ÷ 1,74 ≈ 23 bağımsız güne iner. Çarpımın bir sonucu önemli: yalnız hatalar birbirine benzeseydi ve numune sayısı günden güne rastgele değişseydi, çarpan 1'e yakın kalır, klasik standart hata neredeyse doğru olurdu.

Gerçek eğim sıfırken, komşu gün korelasyonu numune sayısında 0,64, hatada 0,42 olan kırk günlük 20.000 seri üretildi (tohum 20261015). Klasik test 2.470 seride p < 0,05 verdi, 0,124; yazılan alfanın iki buçuk katı. Seri 400 güne uzatılınca oran 0,138 oldu, yani bu bozukluk veri çoğaldıkça onarılmıyor. Numune sayısı bağımsız bırakıldığında oran 0,049'a indi. Huni için kurulan sağlam standart hata burada yardım etmedi, 0,127 verdi; o hâlâ gözlemlerin bağımsız olduğunu varsayıyor.

Zaman sırasını da hesaba katan sağlam standart hatalar var; Whitney Newey ile Kenneth West'in 1987'de yine Econometrica'da önerdiği sürüm Tanju'nun verisinde 0,81 veriyor, çarpanla kestirilen 0,63 × 1,32 ≈ 0,83'e yakın. Ama kırk günde güvenilir değil: aynı benzetimde yanlış alarm oranı 0,152, 400 günde 0,077. Kısa bir seride dürüst yol, bağımlılığı modele yazmak ya da aralığın iyimser olabileceğini söylemektir.

Aynı mantık tekrarlı ölçümlerde de işlemişti: aynı hastanın üç puanı bağımsız sayılmamış, kişi payı hata teriminden ayrılmıştı (L02-P04-M04-D08). Orada birim kişiydi, burada gün. Aynı hastanın birkaç ölçümü ya da aynı polikliniğin hastaları bağımsız satırlar olarak girerse aynı açık doğar; onu artık sütunu değil, veri toplama planı gösterir.

Normallik neyin normalliği

Dipnota dön. Süre sütunu gerçekten sağa çarpık, çarpıklık katsayısı 1,27. Ama regresyonun kabulü sütun hakkında değil. Model her günün süresini, çizginin o gün için beklediği değer ile bir hatanın toplamı olarak yazar; normal dağıldığı kabul edilen o hatadır, yani belirli bir numune sayısında sürelerin çizgi çevresindeki saçılımı. Sütunun çarpıklığı büyük ölçüde çizgiden ve huniden geliyor: yoğun günler hem uzun hem oynak. Aynı sınama kırk artığa uygulanınca p ≈ 0,27 çıkıyor ve artıkların normal olasılık grafiği düz bir çizgiye yakın.

Normallik o hâlde neden aranıyor? Eğim, hataların ağırlıklı bir toplamıdır ve merkezî limit davranışında gördüğün gibi çok sayıda hatanın toplamı, hataların kendisi normal olmasa da normale yaklaşır. Bu yüzden anlamlılık düzeyi bakımından normallik dört kabulün en hafifidir ve ağırlığı gözlem sayısıyla azalır. Hem açıklayıcı değişkenin hem hataların güçlü biçimde sağa çarpık olduğu, gerçek eğimin sıfır olduğu bir benzetimde (tohum 20261016, her koşulda 20.000 veri seti) iki yönlü klasik testin yanlış alarm oranı 8 gözlemde 0,062, 40 gözlemde 0,047, 200 gözlemde 0,045 çıktı. Sapma daha çok tek bir kuyrukta birikti: "süre uzuyor mu" gibi tek yönlü bir soruda 0,025 olması gereken üst kuyruk 8 gözlemde 0,055, 200 gözlemde 0,040. Bu kadar güçlü çarpıklıkta merkezî limit yavaş işliyor, ama hiçbir gözlem sayısında bağımsızlık bozukluğunun 0,124'ü gibi bir açık görünmüyor.

Klinik gerçeklik

Tanju raporu yeniden yazıyor. Eğim 4,3 dakikada kalıyor; aralığın yanına hangi standart hatanın kullanıldığı giriyor. Huniye dayanıklı standart hatayla aralık 3,0 ile 5,6 dakika, zaman sırası da hesaba katıldığında 2,7 ile 5,9 dakika; kırk günlük bir seride bu ikincisinin de iyimser olabileceği notuyla. Normallik dipnotu çıkıyor, yerine artık grafiği ve santrifüj arızasının düştüğü hafta giriyor. Başhekimliğin sorusu artık daha geniş ama dürüst bir aralıkla cevaplanıyor.

Bir regresyon çıktısı okurken dört şey sor. Kavis var mı, varsa eğim hangi aralık için geçerli? Artıklar bir huni çiziyor mu, çiziyorsa standart hata ona göre kurulmuş mu? Gözlemler zamanla, kişiyle ya da kurumla kümelenmiş mi; bunu çıktı değil, yöntem bölümü söyler. Normallik sınandıysa hangi sütunun sınandığına bak; bağımlı değişkenin sınandığını görürsen kabulün yanlış yerde arandığını bilirsin. Bu kurgu tablonun hiçbir sayısı bir laboratuvarın performansını değerlendirmek için kullanılamaz.

Kendini sına

1. Sakin ve yoğun günlerde artıkların standart sapması 1,73 ve 6,44 dakika. Varyans oranını hesapla. Bu oran eğimi mi ilgilendirir, standart hatayı mı?
2. Klasik aralık 3,4–5,2, sağlam aralık 3,0–5,6 dakika. İkincisini kurarken hangi kabulden vazgeçtin, hangisini hâlâ koruyorsun?
3. Numune sayısının komşu gün korelasyonu 0,64 yerine 0 olsaydı, hatalardaki 0,42'lik benzerlik eğimin varyansını kaç kat büyütürdü?
4. Bir çalışma otuz hastanın her birinden dört ölçüm alıp 120 satırlık bir regresyon kurmuş. Hangi kabulü sorgularsın, bunu makalenin hangi bölümünden öğrenirsin?
5. Bir makale "bağımlı değişken normal dağılmadığı için doğrusal regresyon yerine sıra korelasyonu kullandık" diyor. Bu gerekçede ne eksik?
6. İlişki eğriyken veri iki katına çıkarılırsa eğimin güven aralığına ne olur, eğimin anlamına ne olur?

Bir sonraki derse köprü

Tanju'nun çizgisinde tek bir açıklayıcı değişken vardı. Oysa aynı günlerde nöbetteki teknisyen sayısı da değişiyordu ve santrifüj arızası belli bir haftaya düştü. Numune sayısının yanına ikinci bir değişken eklendiğinde 4,3 dakikalık eğim neyin sabit tutulduğu varsayılarak okunur? İki açıklayıcı değişken birbiriyle ilişkiliyken her birinin payı nasıl ayrılır?