Artıklar

Açılış sahnesi

Aralığın üçüncü perşembesi, Uşak. Eğitim ve araştırma hastanesinde geriatri polikliniği, öğleden sonra; geriatri uzmanı Suna Hanım kendi kırılganlık taraması için bir örnek grafik arıyor ve Manisa'daki meslektaşı Refika Hanım'dan yedi hastalık tabloyu istemiş. Tablo geldi, yanında Efe'nin çizgisi de: eğimi −0,375, kesme noktası 48,5. İç hastalıkları asistanı Kutlu tabloya bir sütun eklemiş, her kadının gözlenen kuvvetinden çizginin beklediğini çıkarmış. En genç kadında −1,75, 70 yaşındakinde −0,25, 72'de 2,5, 76'da 1, 80'de −0,5, 82'de −0,75 ve en yaşlıda yine −0,25 kilogram.

Kutlu'nun önerisi kısa. Sütundaki en büyük sayı 72 yaşındaki kadının 2,5'i; onu "aykırı" diye çıkarıp çizgiyi altı kadınla yeniden kurmak istiyor. Suna Hanım sütunun başına bir soru yazıyor: yedi kadından hangisini çıkarırsan çizgi en çok oynar? Kutlu hiç düşünmeden 72 yaşındakini gösteriyor. Hesap onu doğrulamayacak.

Bu derste ne olacak

Kutlu'nun sütununu, yani çizgiden geriye kalanı okuyacaksın. Önce artıkların her en küçük kareler çizgisinde taşıdığı iki özelliği yedi sayı üzerinde doğrulayacaksın. Sonra artıkları ortak bir ölçeğe çevirip 2,5'in gerçekten sıra dışı olup olmadığını soracaksın. Ardından kaldıraç kavramıyla, verinin ucundaki bir kadının çizgiyi kendine çekip artığını nasıl gizlediğini sayılarla göreceksin. Son olarak artıkları yaşa göre dizip bir desen aramanın ne kazandırdığını, yedi noktada ne kadar yanıltabileceğini tartacaksın.

Sıfır noktası

Regresyon doğrusu kurulurken her noktanın çizgiye dikey uzaklığı hesaplanmış, toplamlarının sıfır, kareleri toplamının 11,25 olduğu görülmüştü. Çizginin katsayıları okunurken bu kareler toplamı tek bir sayıya inmişti: s = √(11,25 ÷ 5) = 1,5 kilogram, noktaların çizgiden tipik sapması. Orada artıklar bir toplamın malzemesiydi. Bu derste tek tek okunacaklar.

Aykırı değer dersinde (L02-P03-M02-D08) arıcı Döndü'nün altmış sokması, kendisini yargılayan eşiği kendi hesabıyla yukarı itmişti; o olgunun adı kendi eşiğini besleyen gözlemdi. Regresyonda aynı olgu daha sinsi bir biçim alıyor. Burada eşiğin yerini çizginin kendisi tutuyor ve bir gözlem çizgiyi kendine çektikçe kendi artığı küçülüyor.

Mekanizma

Sütunun iki özelliği

Birinci özellik toplamın sıfır olması. Artıları topla, 2,5 + 1 = 3,5; eksileri topla, 1,75 + 0,25 + 0,5 + 0,75 + 0,25 = 3,5; ikisi birbirini tam siler. Bu Efe'nin şansı değil; çizgi ortalama yaş ile ortalama kuvvetin kesiştiği noktayı zorunlu olarak içerdiği için her en küçük kareler çizgisinde böyledir. İkinci özellik daha az bilinir: artıkların yaşla korelasyonu da sıfırdır. Her kadının 76'dan uzaklığını kendi artığıyla çarp; en genç kadında bu (−10) × (−1,75), en yaşlıda 10 × (−0,25) olur. Yedi çarpım 17,5 + 1,5 − 10 + 0 − 2 − 4,5 − 2,5 = 0 verir. Eğim tam da bu çarpım toplamını sıfırlayan sayı olarak seçilmişti.

Bu ikinci özelliğin anlamı önemli. Çizgi yaşla kuvvet arasındaki doğrusal ilişkinin tamamını almıştır; artıklarda yaşa bağlı düz bir eğilim kalmaz. Bu yüzden artıkları yaşa karşı çizdiğinde düz bir eğim aramak boşunadır. Aranacak şey, düz bir çizginin göremeyeceği desenlerdir: bir kavis, yaşla açılıp kapanan bir yayılım ya da tek başına duran bir nokta.

2,5 ne kadar büyük

Bir artığı kilogramla okumak, ölçeği başka olan iki veriyi karşılaştırmayı imkânsız kılar. Artığı s'ye bölersen z-puanına benzeyen bir sayı elde edersin. 72 yaşındaki kadın için sonuç yaklaşık 1,67, yani 2,5 ÷ 1,5; en genç kadın için −1,75 ÷ 1,5 ≈ −1,17. Kutlu'nun en büyük artığı, çizginin tipik sapmasının üçte iki fazlası.

Bu büyük mü? Artıklar kabaca normal dağılsaydı tek bir artığın iki yönde 1,67 standart sapmayı aşma olasılığı yaklaşık 0,096 olurdu. Yedi kadında en az birinin bu kadar uzağa düşme olasılığı 1 − 0,904⁷ ≈ 0,50. Yedi artık birbirinden bağımsız değil ve hesap yaklaşık; yine de tablonun en büyük sayısının, yazı tura kadar sık görülecek bir büyüklükte olduğu ortada. En büyük artık her zaman bir tanedir; onun varlığı kendi başına bir işaret değildir.

Bir inceltme daha gerekiyor. Artıkların hepsi aynı yayılımda doğmaz: uçtaki bir noktanın artığı, ortadakinden sistematik olarak daha dar oynar. Bunun nedenini bir sonraki alt başlık açacak. Artığı s yerine o noktaya özgü standart sapmasına bölen biçim, 72 yaşındaki kadın için 2,5 ÷ (√0,805 × 1,5) ≈ 1,86 verir.

Kaldıraç: uçtaki kadın

Bir tahterevalliyi düşün. Ortadaki bir ağırlık tahtayı eğmez, uçtaki aynı ağırlık eğer. Çizgi de ortalama noktanın, 76 yaşın etrafında döner; ortalamadan uzak bir yaşta duran bir kadın, dönüşü ortadaki bir kadından çok daha güçlü etkiler. Bu gücün ölçüsü yalnız yaşa bakar, kuvvete hiç bakmaz: yedi kadınlık veride h = 1 ÷ 7 + (yaş − 76)² ÷ 304.

Uçlardaki iki kadın, 66 ve 86 yaşındakiler için h = 1 ÷ 7 + 100 ÷ 304 ≈ 0,143 + 0,329 = 0,47. 76 yaşındaki kadın için yalnız 1 ÷ 7 ≈ 0,14, 72 yaşındaki için 0,20. Yedi değerin toplamı tam 2, yani çizginin kestirdiği katsayı sayısı. Uçtaki iki kadın bu toplamın neredeyse yarısını paylaşıyor.

Kaldıraç artığın yayılımını da belirler. Bir artığın standart sapması s × √(1 − h): ortadaki kadın için 1,5 × √0,857 ≈ 1,39, uçtaki kadın için 1,5 × √0,528 ≈ 1,09 kilogram. Çizgi uçtaki noktaya doğru esnediği için o noktanın artığı daha dar kalır. Küçük bir artık, uçta, çizginin iyi uyduğunu değil noktayı yakaladığını gösterebilir.

Hangi kadın çizgiyi çeker

Suna Hanım'ın sorusunu şimdi doğrudan cevaplayabilirsin: her kadını sırayla çıkar, altı kadınla eğimi yeniden kur. 72 yaşındaki kadın çıkınca eğim −0,375'ten −0,334'e, 86 yaşındaki çıkınca −0,359'a iniyor. 66 yaşındaki kadın çıkınca ise −0,484'e sıçrıyor; yedi kadın içinde en büyük oynama bu. Artığı −1,75 olan, sütunda ikinci sırada duran kadın.

Onun hikâyesi artığında gizli. Yedi kadınla kurulan çizgi ona 23,75 kilogram öngörüyor ve o 22 sıkmış. Kendisi dışarıda bırakılarak kurulan çizgi ise ona 25,31 öngörüyor; gerçek sapması −3,31 kilogram, sütunda görünenin neredeyse iki katı. Çizgiyi kendine doğru çekerek artığının yarısını saklamış. Döndü'nün altmışı eşiği yukarı itmişti; bu kadın çizgiyi aşağı eğiyor.

Farkı en temiz bir düşünce deneyi gösterir. 86 yaşındaki kadının kuvveti 16 yerine 22 olsun. Eğim −0,375'ten −0,178'e düşer, s 1,5'ten 2,34'e çıkar, oysa kadının kendi artığı yalnız 2,92 kilogramdır. Şimdi aynı altı kilogramı 76 yaşındaki kadına ekle, 21 yerine 27 yaz. Eğim hiç kıpırdamaz, −0,375'te kalır, ama bu kadının artığı 6,14 kilogram olur. Ortadaki sapma çizgiyi yerinden oynatmadan sütunda bağırır; uçtaki sapma çizgiyi yarı yarıya düzleştirirken sütunda neredeyse sessiz kalır.

Artıkları yaşa göre dizmek

Artıklar yaşa karşı çizildiğinde üç desen aranır. Birincisi bir kavis: işaretler uçlarda bir yöne, ortada öbür yöne toplanır. Efe'nin sütununda 72 ve 76 yaştakilerin artığı artı, iki yanlarındaki beş kadınınki eksi; göz bir tümsek görmeye hazır. İkincisi bir huni: artıkların büyüklüğü yaş ilerledikçe açılır ya da daralır. 76'nın altındaki üç kadının artıklarının mutlak ortalaması 1,5, üstündekilerin 0,5; oran üç, huni de görünüyor. Üçüncüsü zaman sırası: ölçümler kliniğe geliş sırasına dizildiğinde ardışık artıkların birbirine benzemesi, örneğin dinamometrenin ayarının kayması. Efe'nin tablosunda geliş sırası yok; bu desen sınanamaz.

Tümseği de huniyi de büyük ölçüde aynı iki kadın, 72 ve 66 yaşındakiler çiziyor. Yedi noktada göz her zaman bir desen bulur ve iki desenin aynı veriden birlikte çıkması, ikisinin de gürültü olabileceğinin iyi bir işaretidir. Kavis, çizginin yanlış biçimde olduğunu söyler; kuvvetin yetişkinlikte bir tepeye çıkıp indiğini hatırlarsan anlamsız bir soru değil. Huni ise eğimin standart hatasını hesaplarken yapılan eşit yayılım kabulünü sarsar. İkisini sınamanın yolları sonraki derslerde ayrı ayrı açılacak.

Klinik gerçeklik

Kutlu 72 yaşındaki kadını tabloda bırakıyor. Onu çıkarmanın bir ölçüm gerekçesi yok; Manisa'dan gelen notta dinamometrenin o gün değiştiğine dair bir kayıt da yok. Suna Hanım grafiğin altına yedi satırlık küçük bir tablo ekletiyor: her kadın çıkarıldığında eğim. Okur −0,334 ile −0,484 arasındaki bu yelpazeyi görünce, yedi noktalık bir çizginin eğiminin tek bir kadına ne kadar yaslandığını kendisi tartabilecek.

Bir makalede ya da çıktıda regresyon gördüğünde dört şey sor: artık grafiği gösterilmiş mi, standartlaştırılmış artıkların hangi sürümü kullanılmış, uç değerlerdeki gözlemlerin kaldıracı bildirilmiş mi ve bir gözlem çıkarıldıysa gerekçesi ölçüm sürecinden mi, artığın büyüklüğünden mi geliyor. Bu kurgu tablonun hiçbir satırı bir hastanın kuvvetini yorumlamak için kullanılamaz.

Kendini sına

1. 70 yaşındaki kadının artığı −0,25. Standartlaştırılmış artığını iki sürümle hesapla; kaldıracı 0,26.
2. Efe'nin verisine 76 yaşında sekizinci bir kadın eklense kaldıracı kaç olurdu? Uçtaki kadınların kaldıracı artar mı, azalır mı?
3. Artıklar toplandığında 0,4 çıkan bir çıktı gördün. Bu çizgi hakkında ne düşünürsün?
4. 86 yaşındaki kadın 16 yerine 10 kilogram sıksaydı eğim hangi yöne giderdi? Kendi artığı altı kilogramdan küçük mü kalırdı, büyük mü?
5. Kutlu 72 yaşındaki kadını çıkarınca s 1,5'ten 0,93'e iniyor. Bu, çizginin daha doğru olduğunu mu gösterir?
6. Artık grafiğinde huni gören biri eğimin güven aralığı hakkında neyi sorgulamalı?

Bir sonraki derse köprü

Eğimin güven aralığı ve p değeri, artıkların her yaşta aynı genişlikte yayıldığını, birbirinden bağımsız olduğunu ve kabaca normal dağıldığını kabul ederek hesaplanmıştı. Bu kabullerden hangileri artıklara bakarak sınanabilir, hangileri yalnız verinin nasıl toplandığı bilinerek yargılanabilir? Biri bozulduğunda eğimin kendisi mi yanlış olur, yoksa yalnız çevresine çizilen belirsizlik mi?