Katsayıların Yorumu

Açılış sahnesi

Aralığın ikinci pazartesisi, Manisa. Geriatri polikliniğinde öğle arası; Efe telefonunu Refika Hanım'a uzatıyor. Ekranda Salihli'deki devlet hastanesinin fizyoterapisti Mübeccel Hanım'dan gelen bir tablo var: beş kadın, dört yıl arayla iki kez ölçülmüş. İlk ölçümde yaşları 68, 72, 76, 80 ve 84, kavrama kuvvetleri aynı sırayla 23, 22, 21, 19 ve 17 kilogram. Dört yıl sonra aynı kadınlar 21; 19; 18,5; 17 ve 14 kilogram sıkmış.

Efe geçen haftaki çizgiyi rapor taslağına şöyle geçirmiş: "Kadınlar yılda 0,375 kilogram kuvvet kaybediyor ve 48,5 kilogramdan başlıyor". Refika Hanım ikinci yarıyı hemen siliyor, birinci yarı için tabloyu gösteriyor. Salihli'deki kadınlar yılda kaç kilogram kaybetmiş, ve her biri bir kez ölçülmüş yedi hasta bu soruya ne kadar cevap verebilir?

Bu derste ne olacak

Regresyon çizgisinin iki katsayısını tek tek okuyacaksın. Önce eğimin kimi kiminle karşılaştırdığını soracak, Salihli'deki tekrarlı ölçümü Manisa'daki tek seferlik ölçümün yanına koyacaksın. Eğimi başka birimlere çevirecek, belirsizliğini yedi noktadan hesaplayacaksın. Son olarak kesme noktasını anlamlı bir sayıya çevirecek ve çizgiyi verinin dışına uzatmanın bedelini ölçeceksin.

Sıfır noktası

Geçen derste Efe'nin yedi noktası tek bir denkleme inmişti: beklenen kuvvet = −0,375 × yaş + 48,5. Eğim, çapraz çarpımlar toplamının yaş sapma kareleri toplamına oranıydı, −114 ÷ 304; çizgi 76 yaş ile 20 kilogramın buluştuğu noktadan geçiyordu ve artıkların kareleri toplamı 11,25 çıkmıştı. Bu dersin bütün hesapları bu dört sayıdan çıkacak.

Doğrusal fonksiyon dersinde (L02-P01-M02-D02) eğimi girdi bir birim arttığında çıktının ne kadar değiştiği diye tanımlamış, modelin kurulduğu aralığın dışında tahmin yapmaya da dışdeğerleme adını vermiştin. Orada girdi senin elindeydi: pompanın hızını artırırsın, aynı pompa daha fazla verir. Efe'nin verisinde kimse kimsenin yaşını artırmadı. Tanımdaki "bir birim arttığında" ifadesinin burada ne anlama geldiği, dersin asıl sorusu.

Mekanizma

Eğim kimi karşılaştırıyor

Efe'nin yedi kadını aynı iki haftada, birer kez ölçüldü; bu kesitsel bir veri (L01-P02-M01-D04). Çizginin eğimi bu yüzden tek tür bir karşılaştırma taşır: bu örneklemde, aralarında bir yıl yaş farkı olan iki farklı kadın ortalama 0,375 kilogram farklı sıkıyor. Hiçbir kadın iki kez ölçülmediği için bir yılda ne kaybettiği bu veride yok. "Yılda kaybediyor" cümlesi kişi içi bir değişimi anlatıyor; veri yalnız kişiler arası bir fark taşıyor.

Mübeccel Hanım'ın tablosu iki soruyu aynı kadınlarda sormaya imkân veriyor. İlk ölçümdeki kesitsel eğimi hesapla: yaş sapmaları −8, −4, 0, 4 ve 8, kuvvet ortalaması 20,4, çapraz çarpımlar toplamı −60, yaş sapma kareleri toplamı 160. Eğim −60 ÷ 160 = −0,375, Efe'nin eğimiyle aynı sayı. Oysa her kadının kendi değişimi −2, −3, −2,5, −2 ve −3 kilogram; ortalaması −2,5 ve dört yıla bölününce −2,5 ÷ 4 = −0,625 kilogram bölü yıl. Aynı beş kadında kişiler arası karşılaştırma yılda 0,375, kişi içi izlem yılda 0,625 kilogram söylüyor.

Yıllık 0,25 kilogramlık fark nereden gelebilir? İlk ölçümde 84 yaşındaki kadın 68 yaşındakinden on altı yıl önce doğmuş; çocukluğu, beslenmesi ve gençliğindeki işi başka bir dönemde geçmiş. Önce doğan kuşak aynı yaşta biraz daha güçlüyse, kesitsel fark yaşlanmanın gerçek hızından küçük görünür. İkinci bir yol hayatta kalan yanlılığı (L01-P03-M03-D06): 84 yaşına gelip polikliniğe yürüyebilen kadınlar, o yaşa ulaşamayan ya da gelemeyecek kadar zayıflamış yaşıtları arasından seçilmiş bir gruptur. İki yol da kesitsel eğimi düzleştirir; beş kişilik bu kurgu tablo ise hangisinin iş başında olduğunu ayıramaz.

Tek bir ölçüm turunda yaş ile doğum yılı ayrılamaz, çünkü biri ötekinden hesaplanır: doğum yılı, ölçüm yılı eksi yaştır. K. Warner Schaie 1965'te Psychological Bulletin'de yayımladığı "A general model for the study of developmental problems" makalesinde yaş, ölçüm dönemi ve doğum kuşağı arasındaki bu kilidi gelişim araştırmaları için sistemli biçimde ele aldı. Üçünü ayırmak için farklı kuşakları farklı zamanlarda yeniden ölçmek gerekir.

Birim değişince

Eğimin birimi kilogram bölü yıl. Bir yıl klinikte küçük bir adım; yaşı on yıllık birimle ölçersen eğim on katına çıkar: −0,375 × 10 = −3,75 kilogram bölü on yıl. Kesme noktası yerinde kalır, çünkü sıfır yaş sıfır on yıl demektir.

El dinamometrelerinin kilogram diye gösterdiği değer aslında kilogram-kuvvettir ve bir kilogram-kuvvet tanım gereği 9,80665 newtondur. Kuvveti newtonla yazarsan hem eğim hem kesme noktası bu sayıyla çarpılır: eğim −0,375 × 9,80665 ≈ −3,68 newton bölü yıl, kesme noktası yaklaşık 475,6 newton. Libreyle yazarsan, bir libre tam 0,45359237 kilogram olduğu için eğim −0,375 ÷ 0,45359237 ≈ −0,827 libre bölü yıl olur.

Üç dönüşümde de Pearson katsayısı −0,890'da kalıyor. Katsayı iki standart sapmaya bölünmüş bir sayı olduğu için birim taşımıyor; eğim ise birimi taşıdığı için her dönüşümle değişiyor. Geçen dersin z-puanı hesabı, iki ölçüm kendi standart sapmasıyla ölçüldüğünde eğimin r'ye indiğini göstermişti. Bir eğime büyük ya da küçük demeden önce birimine bak: −3,68 ile −0,375 aynı ilişkiyi anlatıyor.

Eğim ne kadar kesin

Refika Hanım yedi başka kadın ölçseydi eğim tam −0,375 çıkmazdı. Oynamanın ölçüsü artıkların yayılımından gelir: kareler toplamı 11,25 ve çizgi iki katsayıyı veriden kestirdiği için bölen yedi değil beştir. s = √(11,25 ÷ 5) = √2,25 = 1,5 kilogram; noktalar çizgiden tipik olarak bir buçuk kilogram sapıyor.

Eğimin standart hatası bu sapmayı yaşların yayılımına böler: 1,5 ÷ √304 ≈ 1,5 ÷ 17,44 ≈ 0,086 kilogram bölü yıl. Yaşlar geniş bir aralığa yayıldıkça payda büyür; 75 ile 77 yaş arasındaki yedi kadından kurulan bir eğim, aynı saçılımla çok daha belirsiz olurdu. Test istatistiği −0,375 ÷ 0,086 ≈ −4,36 ve beş serbestlik derecesinde p değeri, iki yönde, yaklaşık 0,007. Bu dağılımın kritik değeri 2,571; yüzde 95 güven aralığı −0,375 ± 2,571 × 0,086, yani yaklaşık −0,60 ile −0,15 kilogram bölü yıl.

Aralık geniş: alt ucu üst ucunun dört katı. Yedi kadınla farkın yönü hakkında bir şey söyleyebilirsin, büyüklüğü hakkında pek az. Salihli'nin kişi içi −0,625'i bu aralığın hemen dışına düşüyor, ama bundan Efe'nin çizgisini çürüten bir sonuç çıkmıyor. Güven aralığı yalnız örnekleme şansını kapsar ve kohort etkisi gibi sistematik bir sapmaya karşı hiçbir koruma sağlamaz; kesitsel eğimin ne kadar kesin ölçüldüğünü söyler, doğru soruyu ölçüp ölçmediğini söylemez. Hesap artıkların her yaşta aynı yayılımda ve birbirinden bağımsız olduğunu varsayıyor; modülün ilerleyen dersleri bunu sınayacak.

Kesme noktasını merkeze taşımak

48,5 kilogram, çizginin sıfır yaşta söylediği kuvvet. Denklemde gerçek bir işi var: eğim sabitken çizgiyi yukarı aşağı yerleştirip ortalama noktadan geçmesini sağlıyor. Ama sıfır yaş verinin en küçük değerinden altmış altı yıl uzakta ve hiçbir bebeğin 48,5 kilogram sıkmadığını bilmek için hesaba gerek yok. Kesme noktası x sıfırken y'nin değeri olarak tanımlanır; x'in sıfırı anlamsızsa kesme noktası da kendi başına anlamsızdır.

Çözüm, x'in sıfırını taşımak. Yaş yerine yaş − 76 yazarsan, yani her kadının yaşını örneklem ortalamasından uzaklık olarak ölçersen, denklem kuvvet = 20 − 0,375 × (yaş − 76) olur. Eğim aynı kaldı; kesme noktası artık 48,5 − 0,375 × 76 = 20 kilogram ve bir anlamı var: ortalama yaştaki, 76 yaşındaki bir kadın için çizginin beklediği kuvvet. Merkez olarak klinikte anlamlı başka bir yaş da seçilebilir; 70'i seçersen kesme noktası 48,5 − 0,375 × 70 = 22,25 kilogram olur ve 70 yaşındaki bir kadının beklenen kuvveti diye okunur.

Merkezlemenin bir kazancı daha var. Kesme noktası da örneklemden gelen bir tahmin ve kendi standart hatası var. Ham denklemde 48,5'in standart hatası yaklaşık 6,56 kilogram; merkezlenmiş denklemde 20'ninki 1,5 ÷ √7 ≈ 0,57 kilogram. Verinin ortasında çizgi sıkı tutulmuştur, verinin çok uzağında ise eğimdeki küçük bir oynama yüksekliği savurur.

Çizgiyi verinin dışına uzatmak

48,5 dışdeğerlemenin en uç örneği, ama tek örneği değil. Denklemin 100 yaştaki cevabı 48,5 − 0,375 × 100 = 11 kilogram, 30 yaştaki cevabı 37,25 kilogram; kuvvet de 48,5 ÷ 0,375 ≈ 129,3 yaşında sıfıra iniyor. Efe'nin kadınları 66 ile 86 yaş arasında ve doğrusal ilişkinin bu aralığın dışında sürdüğüne dair veride tek bir işaret yok. Kavrama kuvveti yetişkinlikte bir tepeye çıkıp sonra iner; otuz yaşına uzanan düz çizgi bu tepeyi atlar.

Belirsizlik de dışarı çıktıkça büyür. Çizginin bir yaştaki ortalama öngörüsünün standart hatası s × √(1 ÷ n + (yaş − 76)² ÷ 304) ile hesaplanır. 76 yaşta bu 0,57, veri aralığının kıyısında, 86 yaşta 1,03, 100 yaşta 2,14 ve sıfır yaşta 6,56 kilogram. Bu artış yalnız örnekleme şansını hesaba katıyor ve doğrusallığın aralık dışında da sürdüğünü varsayıyor; gerçek belirsizlik bundan büyüktür, çünkü o varsayımın kendisi hiç sınanmadı.

Klinik gerçeklik

Refika Hanım'ın rapora yazdığı cümle şu: "Bu yedi hastada, aralarında on yıl yaş farkı olan iki kadının kavrama kuvveti ortalama 3,75 kilogram farklı (yüzde 95 güven aralığı yaklaşık 1,5 ile 6,0); 76 yaşındaki bir kadın için çizginin beklediği kuvvet 20 kilogram". İki sayının da birimi, karşılaştırma türü ve geçerli olduğu yaş aralığı cümlenin içinde. Kişi içi kayıp hakkında hiçbir şey söylemiyor; onun için Mübeccel Hanım'ınki gibi aynı kadınları yıllar içinde yeniden ölçen bir izlem gerekir.

Bir makalede regresyon katsayısı okurken dört şey sor: eğimin birimi ve x ekseninde bir adımın büyüklüğü, verinin kesitsel mi tekrarlı mı olduğu, kesme noktasının tanımlandığı x değerinin verinin içinde kalıp kalmadığı ve standart hatanın verilip verilmediği. Bu kurgu verinin hiçbir sayısı bir hastayı değerlendirmek için kullanılamaz; başvuru değerleri geniş örneklemlerden kurulur.

Kendini sına

1. Salihli'deki beş kadının dört yıllık değişimi hepsinde −1 kilogram olsaydı kişi içi yıllık değişim kaç olurdu? Kesitsel eğimden hangi yönde ayrılırdı ve bu, önce doğan kuşak hakkında ne düşündürürdü?
2. Efe'nin eğimini kilogram bölü ay olarak yaz. Pearson katsayısı değişir mi?
3. Yaşı 86 − yaş olarak kodlasaydın eğimin işareti ve kesme noktasının anlamı ne olurdu?
4. Aynı saçılımla yedi yerine yirmi sekiz kadın ölçülse ve yaş sapma kareleri toplamı dört katına çıksa eğimin standart hatası kaç olurdu? s'yi 1,5 kabul et.
5. Denklemin 95 yaş için verdiği öngörü neden 80 yaş için verdiğinden daha belirsizdir? İki yaşta standart hatayı hesapla.
6. "Kesme noktası 48,5 kilogram, p < 0,001" cümlesindeki p değeri hangi soruyu sınar?

Bir sonraki derse köprü

Eğimin standart hatası, yedi artığı tek bir sayıya, 1,5 kilogramlık tipik sapmaya toplayarak kuruldu. 72 yaşındaki kadının artı 2,5 kilogramlık artığı ile öteki altı kadının küçük sapmaları aynı şeyi mi anlatıyor? Artıklar yaşa göre dizildiğinde bir desen belirirse bu desen çizgi hakkında ne söyler, ve tek bir artık çizgiyi ne zaman kendi tarafına çeker?