Regresyon Doğrusu

Açılış sahnesi

Aralığın ilk pazartesisi, Manisa. Şehir hastanesinin geriatri polikliniğinde fizyoterapist Efe, el dinamometresini masaya bırakıp milimetrik kâğıdı geriatri uzmanı Refika Hanım'a uzatıyor. Kâğıtta yedi nokta var: son iki haftada kırılganlık değerlendirmesine gelen yedi kadın hastanın yaşı ve baskın elin en iyi kavrama kuvveti. Yaşlar 66, 70, 72, 76, 80, 82 ve 86; kuvvetler aynı sırayla 22, 22, 24, 21, 18, 17 ve 16 kilogram. Efe cetveli ilk ve son noktaya dayayıp bir çizgi çekmiş.

Sabahki hasta 74 yaşında ve 16 kilogram sıktı. Efe raporuna şu cümleyi yazmak istiyor: "Kavrama kuvveti 86 yaşındaki bir kadına denk". Refika Hanım kalemi alıp iki soru soruyor. Çizgi neden o iki noktadan geçiyor da ötekilerden geçmiyor? Ve kuvvetten yaşı okumak için, yaştan kuvveti okumak üzere çizilmiş çizgiyi tersinden kullanmak neden doğru olsun?

Bu derste ne olacak

Efe'nin yedi noktasına en iyi uyan düz çizgiyi elle kuracaksın. Önce "en iyi" sözünün hangi uzaklığı ölçtüğünü seçecek, sonra o uzaklıkların kareleri toplamını en küçük yapan eğimi ve kesme noktasını bulacaksın. Eğimi bir de korelasyon katsayısından ve iki ölçümün yayılımından kuracak, iki yolun aynı sayıya çıktığını göreceksin. Son olarak yaştan kuvveti öngören çizgiyle kuvvetten yaşı öngören çizgiyi yan yana hesaplayıp ikisinin neden çakışmadığını ve regresyon adının nereden geldiğini açacaksın.

Sıfır noktası

Doğrusal fonksiyon dersinde (L02-P01-M02-D02) bir infüzyon pompasının iki okumasından eğimi ve kesme noktasını hesaplamıştın. İki nokta tek bir doğru belirler; orada seçim yoktu. Efe'nin yedi noktası ise tek bir doğrunun üstüne oturmuyor ve bu yedi noktadan sayısız çizgi geçirilebilir. Hangisinin seçileceği artık bir ölçüte bağlı.

Önceki modül bu ölçütün malzemesini hazırladı. Kovaryans iki ölçümün birlikte sapmasını topladı, Pearson katsayısı onu iki standart sapmaya bölerek birimden kurtardı (L02-P05-M01-D02). O derste katsayının karesini, bir ölçümün yayılımından bir çizginin üstlendiği pay olarak tanımlamıştın, ama çizginin kendisini hiç çizmemiştin. Trabzon'daki poster salonunda Çınar'ın önünden de beş çizgi geçmişti. Bu ders o çizginin kuralını yazıyor.

Mekanizma

Hangi uzaklık

Bir çizgi Efe'nin noktalarından birine ne kadar uzak? Üç ölçü mümkün: dikey, yatay ya da çizgiye dik en kısa uzaklık. Seçimi sorunun kendisi yapar. Refika Hanım yaşı bilinen bir kadının kuvvetini kestirmek istiyorsa hata kuvvet ekseninde, yani dikey yönde oluşur. Her noktanın dikey uzaklığı, gözlenen kuvvetten çizginin o yaşta söylediği kuvvetin çıkarılmasıyla bulunur.

Dik uzaklık cazip görünse de burada işe yaramaz. Yatay eksen yıl, dikey eksen kilogram taşıyor; bir yılı bir kilograma denk sayan bir cetvel olmadıkça "en kısa uzaklık" birimi değiştirince değişen bir sayıdır. Dikey uzaklık ise yalnız kilogramla ölçülür.

Uzaklıkları doğrudan toplamak da işe yaramaz, çünkü çizginin üstünde kalanlar artı, altında kalanlar eksi çıkar ve birbirini siler. Karelerini toplamak bu sorunu çözer ve bir bedel getirir: büyük sapmalar karede çok daha ağır basar. İki kilogramlık bir sapma bir kilogramlık sapmanın dört katı cezalandırılır.

Efe'nin çizgisi ne kadar kötü

Önce cetvel çizgisini sına. İlk ve son noktadan geçtiği için eğimi (16 − 22) ÷ (86 − 66) = −6 ÷ 20 = −0,3 kilogram bölü yıl. Yedi yaşta çizginin söylediği kuvvetler 22; 20,8; 20,2; 19; 17,8; 17,2 ve 16. Dikey uzaklıklar sırasıyla 0; 1,2; 3,8; 2; 0,2; −0,2 ve 0. Kareler toplamı 1,44 + 14,44 + 4 + 0,04 + 0,04 = 19,96.

Bu uzaklıklardan beşi artı ya da sıfır, yalnız biri eksi; toplamları 7. Çizgi noktaların genel olarak altından geçiyor, çünkü yalnız iki uç noktayı dinledi. Gördüğün şey poster salonundaki birinci posterin aynısı: uç noktalar arasındaki eğim, aradaki beş noktanın ne söylediğini hesaba katmıyor.

Çizgiyi kurmak

İlk adım kesme noktasıyla ilgili. Hangi eğimi seçersen seç, kareler toplamını en küçük yapan konum çizginin iki ortalamanın buluştuğu noktadan geçtiği konumdur. Bir sayı dizisinde, kendisinden uzaklıkların kareleri toplamını en küçük yapan sayı ortalamadır; çizgi ortalama noktadan geçmediğinde bütün dikey uzaklıklar aynı yöne kayar ve Efe'nin toplamı 7 çıkan uzaklıkları gibi birikir. Efe'nin verisinde yaş ortalaması 532 ÷ 7 = 76, kuvvet ortalaması 140 ÷ 7 = 20.

Sonra eğim. Yaş sapmaları −10, −6, −4, 0, 4, 6 ve 10; kuvvette ilk dört sapma 2, 2, 4 ve 1, son üçü −2, −3 ve −4. Çapraz çarpımların toplamı −20 − 12 − 16 + 0 − 8 − 18 − 40 = −114. Yaş sapmalarının kareleri toplamı 304, kuvvetinki 54. Ortalama noktadan geçen ve eğimi b olan bir çizginin kareler toplamı 54 − 2 × b × (−114) + b² × 304 olarak yazılır. Bu b'de bir paraboldür ve tabanı b = −114 ÷ 304 = −0,375'te durur.

Parabolü sayılarla da görebilirsin. Eğim −0,375 iken toplam 54 − 85,5 + 42,75 = 11,25. Eğim −0,3 olsaydı, yani Efe'nin eğimi ortalama noktaya taşınsaydı, toplam 12,96 olurdu; eğim −0,45 olsaydı yine 12,96. Taban iki yandan eşit uzaklıkta, tam ortada.

Kesme noktası ortalama noktadan gelir: a = 20 − (−0,375) × 76 = 20 + 28,5 = 48,5. Çizgi, kuvvet = 48,5 − 0,375 × yaş. Yedi yaşta öngörülen kuvvetler 23,75; 22,25; 21,5; 20; 18,5; 17,75 ve 16,25. Dikey uzaklıklar −1,75; −0,25; 2,5; 1; −0,5; −0,75 ve −0,25, toplamları tam sıfır ve kareleri toplamı 11,25. Cetvel çizgisinin 19,96'sından yüzde kırktan fazla küçük.

Bu dikey uzaklıkların istatistikteki adı artık (residual). Onların deseninden çizginin nerede yanıldığını okumak ve çizginin hangi koşullarda güvenilir olduğunu sormak bu modülün ilerleyen derslerinin işi olacak.

Eğim ve Pearson katsayısı

Eğim formülündeki pay ve payda altıya bölünse de oran değişmez: kovaryans −114 ÷ 6 = −19, yaş varyansı 304 ÷ 6 ≈ 50,67. Standart sapmalar yaşta yaklaşık 7,12 yıl, kuvvette tam 3 kilogram. Pearson katsayısı −114 ÷ √(304 × 54) ≈ −0,890.

Şimdi eğimi başka bir yoldan kur: katsayıyı kuvvetin standart sapmasıyla çarp, yaşınkine böl. −0,890 × 3 ÷ 7,12 ≈ −0,375. Aynı sayı. Eğim, Pearson katsayısının birimli hâlidir: r ne kadar sıkı bir ilişki olduğunu söyler, sY ÷ sX oranı onu kilogram bölü yıla çevirir. Bu yüzden r sıfırsa eğim de sıfırdır; ama büyük bir eğim güçlü bir ilişki demek değildir, çünkü dik bir eğim, yayılımı geniş bir y'den de gelebilir.

Karenin anlamı da burada yerine oturuyor. Kuvvetin yedi kadın arasındaki kareler toplamı 54; çizgiden sonra geriye 11,25 kalıyor. Çizginin açıkladığı pay 42,75 ÷ 54 ≈ 0,79, bu da −0,890'ın karesi.

Ters yöndeki çizgi

Efe'nin rapor cümlesi kuvvetten yaşa gidiyor. Kuvvetten yaşa giden yol burada ikiye ayrılıyor. Birinci yol yaştan kuvvete kurulmuş çizgiyi tersine çevirmek: 16 = 48,5 − 0,375 × yaş, buradan yaş = 32,5 ÷ 0,375 ≈ 86,7. İkinci yol yaşı kuvvetten öngören çizgiyi kendi başına kurmak; bu kez yatay uzaklıkların kareleri küçültülür ve eğim −114 ÷ 54 ≈ −2,11 yıl bölü kilogram çıkar. Ortalama noktadan geçen bu çizgide 16 kilogram, 76 + 2,11 × 4 ≈ 84,4 yaşa karşılık gelir.

Tersine çevrilmiş çizginin eğimi 1 ÷ 0,375 ≈ 2,67 yıl bölü kilogram, kendi çizgisininki 2,11. İki eğimin çarpımı 0,375 × 2,11 ≈ 0,79, yani yine r². Bu genel bir kural: iki regresyon eğiminin çarpımı katsayının karesine eşittir, ve iki çizgi ancak r² = 1 olduğunda, bütün noktalar tek doğrunun üstündeyken çakışır.

Caner'in altı romatoloji hastasında bu ayrım daha da belirgin. Tutukluktan C-reaktif proteine eğim 110 ÷ 1.330 ≈ 0,083, belirteçten tutukluğa eğim 110 ÷ 23,6 ≈ 4,66 dakika bölü litrede miligram. Çarpımları 0,083 × 4,66 ≈ 0,386, Pearson dersinde bulduğun belirleme katsayısı. Birinci çizgiyi tersine çevirmek 1 ÷ 0,083 ≈ 12,1 dakikalık bir eğim verirdi, yani doğrudan kurulan çizginin iki buçuk katından fazla. İlişki gevşedikçe iki çizgi birbirinden makas gibi açılır.

Adın kökeni

Neden iki çizgi de ortalamaya doğru bükülüyor? Ölçümleri z-puanına çevirince regresyon doğrusu en sade hâline iner: öngörülen z-puanı, x'in z-puanının r katıdır. 86 yaşındaki hasta yaş ortalamasından 10 ÷ 7,12 ≈ 1,40 standart sapma uzakta; çizgi ona kuvvette 1,40 değil, 0,890 × 1,40 ≈ 1,25 standart sapma aşağısını, yani 20 − 1,25 × 3 = 16,25 kilogramı öngörüyor. |r| 1'den küçük oldukça her öngörü, girdinin ortalamadan uzaklığından daha kısa bir yol alır, hangi yönde kurulursa kurulsun.

Francis Galton'un 1886'da boy verisinde gördüğü şey buydu: uzun anne babaların çocukları ortalamaya doğru kayıyordu, ve Galton bu kaymaya "regression" adını verdi (L02-P04-M04-D02). Eşleştirilmiş ölçümlerde tedavisiz bir iyileşme gibi görünen aynı olgu, çizgiye adını veren olgudur. Artık yöntemin adı olarak kullanılıyor ve bir ilişkinin gerileme taşıdığını söylemiyor.

Klinik gerçeklik

Refika Hanım rapora "kuvvet yaşı" yazmıyor. Kliniğin sorusu, 74 yaşındaki bir kadının bu kuvvetle yaşıtlarının neresinde durduğu; o soru yaştan kuvvete giden çizgiyle cevaplanır. Çizgi 74 yaş için 48,5 − 0,375 × 74 = 20,75 kilogram söylüyor ve hasta bunun 4,75 kilogram altında. Ama yedi hastalık bir çizgi bir karşılaştırma ölçütü değildir. Sabahki hastanın kuvvetini yorumlamak için geniş bir örneklemden kurulmuş, yaşa ve cinsiyete göre verilen başvuru değerleri gerekir ve bu kâğıt onların yerini tutmaz.

Efe'nin aldığı ders çizginin kendisinden çok onu çeken kuraldır. Bir makalede ya da posterde bir regresyon doğrusu gördüğünde üç şey sor: hangi ölçüm hangisinden öngörülüyor, çizgi en küçük karelerle mi çekildi, ve cümle o yönle aynı soruyu mu soruyor. Kovaryansı ve Pearson katsayısını biliyorsan eğimi zaten elinde tutuyorsun; eksik olan tek parça, onu hangi birimle okuyacağındır.

Kendini sına

1. Efe'nin verisinde 80 yaşındaki hastanın kuvveti 18 yerine 14 olsaydı regresyon eğimi kaç olurdu? Çapraz çarpım toplamını yeniden hesapla.
2. Kuvvet kilogram yerine libre ile yazılsaydı eğim, kesme noktası ve Pearson katsayısından hangileri değişirdi?
3. Efe'nin cetvel çizgisi ortalama noktaya taşındığında kareler toplamı neden 19,96'dan 12,96'ya iniyor?
4. r = −0,3 olan bir veride iki regresyon eğiminin çarpımı kaçtır? İki çizgi arasındaki açı r = −0,890'a göre büyür mü, küçülür mü?
5. Dikey uzaklıkların karesi yerine mutlak değeri toplanıp küçültülseydi çizgi 72 yaşındaki 24 kilogramlık hastaya daha mı az, daha mı çok yanıt verirdi?
6. "16 kilogram sıkan kadınların ortalama yaşı" sorusu hangi çizgiyle cevaplanır?

Bir sonraki derse köprü

Efe'nin çizgisi iki sayıya indi: −0,375 ve 48,5. Birincisi bir kadının her yıl kaybettiği kuvvet mi, yoksa aralarında bir yıl yaş olan iki farklı kadının ortalama farkı mı? Her kadın bir kez ölçüldüğüne göre bu çizgi hangisini söyleyebilir? İkincisi sıfır yaşındaki bir kadının kuvveti olarak okunamayacağına göre, kesme noktası denklemde ne işe yarar ve ne zaman kendi başına bir anlam kazanır?