Korelasyon Grafiği Eleştirisi

Açılış sahnesi

Kasımın üçüncü cumartesisi, Trabzon. Bölgesel bir iç hastalıkları kongresinin poster salonunda "Gözlemsel çalışmalar" panosunun önünde beş poster yan yana asılı. İç hastalıkları uzmanı Pakize Hanım bu oturumun jüri başkanı; yanında jüride ilk kez görev alan asistan Çınar, elinde değerlendirme formuyla duruyor. Birinci posterin ortasında büyük harflerle bir sayı var: r = −0,99. Çınar formun "bulguların gücü" satırına şimdiden en yüksek puanı yazmak üzere.

Pakize Hanım onu durduruyor. Yazarlar yarım saat sonra posterlerinin başına gelecek ve jüri her birine tek bir soru sorma hakkına sahip. "Puanı sonra verirsin" diyor. "Önce her grafiğe bak ve o soruyu yaz. Beş posterin beşinde de sayı doğru hesaplanmış, sorun başka yerde."

Bu derste ne olacak

Görevin beş grafiği okumak, her birinde modülün derslerinden birinin tuzağını bulmak ve yazarlara sorulacak soruyu yazmak. Elindeki araçlar tanıdık: noktanın kime ait olduğunu sormak, tek gözlemi çıkarıp katsayıyı yeniden kurmak, grafiği iki parçaya bölmek, yıldan yıla farka geçmek, örneklemin hangi kapıdan girdiğini aramak ve eksen tabanına bakmak. Önce kendi eleştirini yazacak, sonra örnek eleştiriyle karşılaştıracaksın. Görev yaklaşık kırk dakika sürer; çıktısı, herhangi bir korelasyon grafiğine götürebileceğin bir kontrol listesi.

Beş poster

Poster 1 — Yedi aile sağlığı merkezi. Yatay eksende hipertansiyon hastalarının yıllık ortalama kontrol sayısı 2,1 ile 4,8 arasında, dikey eksende ortalama sistolik basınç 146 ile 133 mmHg arasında. Yedi eşit büyüklükte daire neredeyse kusursuz bir çizginin üstünden aşağı iniyor ve köşede r = −0,99 yazıyor. Yazarların cümlesi: "Yıllık her ek kontrol, hastanın sistolik basıncını yaklaşık 5 mmHg düşürüyor". Dipnotta küçük harflerle toplam 1.260 hasta yazılı.

Poster 2 — Bir diyaliz ünitesi. On hasta. Yatay eksen iki seans arasında alınan kilo, 1,5 ile 5,0 kilogram arası; dikey eksen hastanın beyan ettiği seans sonrası toparlanma süresi, saat olarak. Dokuz nokta sol altta küçük bir yığın oluşturuyor, onuncu nokta sağ üst köşede tek başına duruyor. Çizgi on noktadan çekilmiş ve yığının içinden değil, yığın ile uzaktaki nokta arasındaki boşluktan geçiyor. Kutuda r = 0,88, p = 0,001 yazıyor; cümle: "Kilo alımı toparlanma süresini güçlü biçimde belirliyor".

Poster 3 — Kavrama kuvveti. On iki gönüllü, 18 ile 62 yaş arasında dört yılda bir yaş. Dinamometreyle ölçülen kavrama kuvveti 30 kilogramdan başlayıp 38 yaşta 43'e çıkıyor, 62 yaşta 29'a iniyor. Yazarlar noktaların içinden düz bir çizgi geçirmiş; çizgi hafifçe aşağı eğik ve noktaların hemen hiçbirine değmiyor. Kutuda r = −0,11, p = 0,73; cümle: "Yetişkinlikte yaş ile kavrama kuvveti arasında ilişki bulunmadı".

Poster 4 — Bir ilin on yılı. 2016'dan 2025'e iki çizgi. Sol eksende eczanelerden yıllık probiyotik satışı, bin kutu olarak 40 ile 90 arası; sağ eksende gastroenteroloji polikliniğine yıllık başvuru, bin olarak 20,5 ile 25 arası. Satış 42 binden 88 bine, başvuru 21,0 binden 24,6 bine çıkmış. İki çizgi aynı köşeden başlayıp aynı köşede bitiyor, birbirine sarılmış gibi. Kutuda r = 0,99; cümle: "Probiyotik kullanımının yaygınlaşması sindirim yakınmalarını artırıyor olabilir".

Poster 5 — Yağlı karaciğer polikliniği. Aile hekimlerinin sevk ettiği 140 hasta. Yatay eksende bel çevresi, dikey eksende karaciğer enzimi ALT (alanin aminotransferaz). Bulutun sol alt köşesi bomboş; noktaların alt sınırı, sol üstten sağ alta inen düz bir kenar gibi. Çizgi aşağı eğik, kutuda r = −0,45, p < 0,001. Cümle: "Bel çevresi geniş hastalarda enzim daha düşük; bel çevresi bu hastalıkta güçlü ama ters bir gösterge". Dipnotta sevk kuralı yazılı: bel çevresi eşiği aşan ya da ALT değeri yüksek olan hasta sevk edilir.

Birinci aşama — soruyu yaz

Her poster için üç şey yaz: noktanın neyi temsil ettiği, cümlenin grafikten nerede koptuğu ve yazara soracağın tek soru. Kopuş çoğu zaman bir hesapla görünür hâle geliyor, o yüzden hesabı atlama. Beşini bitirmeden örneğe geçme.

Örnek eleştiri

Poster 1. Her daire bir hasta değil, bir merkezin ortalaması; ortalama olarak her biri 1.260 ÷ 7 = 180 hastayı taşıyor ve eşit boyutlu çizim, merkezlerin büyüklük farkını da siliyor. Cümledeki beş milimetre, uç noktalar arasındaki eğimden geliyor: (133 − 146) ÷ (4,8 − 2,1) = −13 ÷ 2,7 ≈ −4,8. Bu merkezler arası bir eğim ve Ekolojik Korelasyon dersinde Ceyda Hanım'ın dört hastanesi, aynı türden bir eğimin hastane içinde işaret değiştirebildiğini göstermişti. Burada tersine dönüş için akla yatkın bir yol da var: bir merkezin içinde basıncı kontrol altına alınamayan hasta daha sık çağrılır, yani merkez içinde kontrol sayısı ile basınç aynı yönde gidebilir. Soru: "Merkez içi, hasta düzeyinde katsayı nedir?"

Poster 2. Onuncu hasta çıkarılınca kalan dokuzun katsayısı 0,10'a, p değeri 0,79'a iniyor. Kutudaki sayının karesi 0,88 × 0,88 ≈ 0,77, yani yazarlar toparlanma süresindeki yayılımın dörtte üçünü kiloyla paylaşılmış gösteriyor; dokuz hastada bu pay 0,10 × 0,10 = 0,01. Pearson Korelasyonu dersinde Malatya'nın altıncı hastası 0,62'yi 0,06'ya indirmişti ve burada olan aynısı. Spearman Korelasyonu dersindeki sıra katsayısı on hastanın tamamında 0,40 çıkıyor ve p değeri 0,25; sıralar uç noktanın çekimini zayıflatıyor. Onuncu hasta yanlış değil, belki kalp yetmezliği de olan ayrı bir alt grubun tek temsilcisi. Soru: "Katsayı bu hasta olmadan kaç, ve bu hastanın diğerlerinden farkı ne?"

Poster 3. Sıfıra yakın bir katsayı yalnız düz çizgi bulunmadığını söyler. Doğrusal Olmayan İlişki dersinde Anscombe'un ikinci kümesi kusursuz bir kavisi 0,816'lık bir katsayının arkasına saklamıştı; bu poster aynı kavsi −0,11'in arkasına saklıyor. Grafiği tepe noktasından ikiye böl: 18 ile 38 yaş arasındaki altı noktanın katsayısı 0,97, 42 ile 62 arasındakilerin −0,98. Tek bir parabol verideki yayılımın 0,99'unu açıklarken düz çizgi 0,11 × 0,11 ≈ 0,01'ini açıklıyor. İlişki yok değil, yön değiştiriyor ve düz çizgi iki kolu birbirine karşı sıfırlıyor. Soru: "Neden düz çizgi seçildi, yaş gruplarına ayrılınca ne görünüyor?"

Poster 4. Noktalar yıllar. Sahte Korelasyon dersinde Kıymet Hanım'ın masasındaki tiroid testi ve katarakt ameliyatı serileri de böyle birlikte tırmanmıştı. Yıllık farklara geç: satış her yıl ortalama 46 ÷ 9 ≈ 5,1 bin kutu, başvuru 3,6 ÷ 9 = 0,4 bin artmış ve dokuz yıllık artışların katsayısı −0,05. Satışın çok arttığı yıllar başvurunun çok arttığı yıllar değil. İki çizginin sarılmasını ise eksenler kuruyor. Satış 88 ÷ 42 ≈ 2,1 katına çıkmış, başvuru 24,6 ÷ 21,0 ≈ 1,17 katına. Sağ eksen 20,5'ten başladığı için başvurunun 3,6 binlik artışı grafik yüksekliğinin 3,6 ÷ 4,5 = 0,8'ini kaplıyor; sıfırdan başlayan bir eksende 3,6 ÷ 25 ≈ 0,14'ünü kaplardı. Yanıltıcı Eksenler dersinde tek eksenin tabanını görmüştün; iki eksenli grafikte iki taban birlikte seçiliyor ve paralellik o seçimin ürünü. Soru: "Yıllık değişimler arasında katsayı kaç?"

Poster 5. Boş köşe, sevk kuralının grafikteki izi. Kâğıt üzerinde bir ilçe kur: 1.000 kişi, bel çevresi geniş olanların payı 0,3, ALT'si yüksek olanların payı 0,3 ve ikisi birbirinden bağımsız. İkisi birden 1.000 × 0,3 × 0,3 = 90 kişide görülür ve sevk edilenler 300 + 300 − 90 = 510 kişidir. Poliklinikte bel çevresi geniş olanlarda ALT'si yüksek oranı 90 ÷ 300 = 0,30, bel çevresi dar olanlarda 210 ÷ 210 = 1. Toplumda hiç bağ yokken kapıdan geçenlerde güçlü bir ters bağ doğuyor. Aynı kuralı yüz bin kişilik sürekli bir benzetime uyguladım (numpy tohumu 20261013): bütün grupta katsayı 0,004, sevk edilen yarıda −0,45, yani posterdeki sayının kendisi. Sahte Korelasyon dersinde örneklemin seçilme biçimini üçüncü kaynak olarak görmüştün; çarpıştırıcıyı işleyen L01-P03-M01-D07 de aynı mekanizmayı hastane paradoksu olarak kurmuştu. Kutudaki sayı kendi başına da abartılı okunmuş: 0,45 × 0,45 ≈ 0,20 ve "güçlü" sözü bu payı taşımıyor. Soru: "Sevk edilmemiş kişilerden bir karşılaştırma örneklemi var mı?"

İkinci aşama — cümleleri yeniden yaz

Kendi düzeltmelerini aşağıdakilerle karşılaştır. Cümleler kısalmadı; her biri artık noktanın ne olduğunu ve katsayının neye dayandığını söylüyor.

Hangi soru önce

Çınar posterleri asıldıkları sırayla okudu ve her birinde önce kutudaki sayıya baktı. Sırayı değiştirmek emeği kurtarır. İlk soru noktanın ne olduğu: bir merkez, bir yıl ya da bir kişi. Birinci ve dördüncü posterler burada ayrıldı ve orada katsayının büyüklüğünü tartışmak boşunaydı, çünkü cümle başka bir düzeyden konuşuyordu. İkinci soru verinin hangi kapıdan geldiği; beşinci posterin boş köşesi ancak dipnottaki sevk kuralıyla anlam kazandı.

Bu ikisi temizse biçime bakarsın: noktalar düz bir çizgi mi izliyor, bir yerde dönüyor mu, bir nokta tek başına mı duruyor? Üçüncü ve ikinci posterler bu adımda çözüldü. Eksenler ve katsayının sunuluşu en sona kalıyor, çünkü tabanın ya da r ile r² arasındaki farkın düzeltilmesi ancak önceki sorular geçildikten sonra bir anlam taşır. Dördüncü posterde eksen seçimi fark almanın zaten ortaya koyduğu bir sahteliği yalnız büyütüyordu.

Kontrol listesi

• Nokta: Her işaret bir kişi mi, bir grup ortalaması mı, bir yıl mı? Grup ise kaç kişiyi taşıyor ve boyutu bunu gösteriyor mu?
• Kapı: Örneklem nasıl seçildi? Bir bölge boşsa, seçim kuralı o boşluğu açıklıyor mu?
• Zaman: Noktalar zamana dizilmişse yıllık farkların katsayısı verilmiş mi?
• Biçim: Düz çizgi noktaların biçimine uyuyor mu? Grafiği ikiye bölünce ne oluyor?
• Tek nokta: Katsayı en uçtaki gözlem olmadan kaç? Sıra katsayısı ne diyor?
• Eksen ve sayı: Taban nerede, iki eksen varsa aralıklar nasıl seçilmiş? "Güçlü" sözü r²'yi mi taşıyor, r'yi mi?

Kendini sına

1. Birinci posterde merkezlerden biri 390, biri 60 hasta taşıyorsa eşit boyutlu daireler neyi gizler?
2. İkinci posterde onuncu hastanın ölçüm hatası olduğu anlaşılsa katsayıyı nasıl raporlarsın?
3. Üçüncü posterde yalnız 42 yaş üstü gönüllüler alınsaydı yazarlar hangi cümleyi kurardı?
4. Dördüncü posterde sağ eksen 0'dan 25'e çizilse iki çizgi nasıl görünürdü?
5. Beşinci posterde sevk kuralı yalnız bel çevresine bağlı olsaydı boş köşe yine oluşur muydu?

Modülün kapanışı

Caner'in altı hastası, Şirin Hanım'ın sıraları, Lütfiye Hanım'ın koşucuları, Ceyda Hanım'ın dört hastanesi ve Kıymet Hanım'ın on iki yılı bu panoda beş poster olarak yeniden karşına çıktı. Modül boyunca aynı soru tekrarlandı: iki ölçümün birlikte değişmesi hangi yoldan geliyor? Kovaryans birlikte değişimi bir sayıya çevirdi, Pearson katsayısı onu ölçekledi, sıralar tek noktanın çekimini zayıflattı; eğriler, gruplar, ortak eğilimler ve seçim ise bu sayının neyi göremediğini gösterdi. Sağlık grafiğini yeniden tasarlarken (L02-P03-M03-D09) bir grafiğin hangi kararlarla kurulduğunu sökmüştün; bu görev aynı sökümü bir katsayının arkasına taşıdı.

Bir sonraki derse köprü

Beş posterin her birinde bir çizgi vardı, ama hiçbir yazar onu hangi ölçütle çektiğini söylemedi. Doğrusal regresyon modülünün ilk dersi regresyon doğrusunu kuracak. Orada şu soruyu soracaksın: noktalara en iyi uyan çizgi hangi uzaklıkların toplamını küçültür, eğimi Pearson katsayısıyla ve iki standart sapmayla nasıl bağlanır, ve kavrama kuvvetini yaştan öngören çizgi ile yaşı kavrama kuvvetinden öngören çizgi neden aynı çizgi değildir?