Ekolojik Korelasyon

Açılış sahnesi

Kasımın ilk salısı, Sivas. Üniversite hastanesinin halk sağlığı anabilim dalında Ceyda Hanım, ildeki dört devlet hastanesinin diyabet polikliniklerinde bir yıldır süren adımsayar programının yıl sonu özetini okuyor. Özet dört satırdan ibaret: her hastane için hastaların ortalama günlük adım sayısı ve ortalama HbA1c (glikozillenmiş hemoglobin) yüzdesi. A hastanesinde 4 bin adım ve 6,9; B'de 6 bin ve 7,1; C'de 8 bin ve 7,7; D'de 10 bin ve 7,9.

Araştırma görevlisi Çağlar dört satırın Pearson katsayısını 0,98 bulmuş ve kongre özetinin ilk cümlesini yazmış: "Günde daha çok yürüyen diyabet hastalarının HbA1c değeri daha yüksek". Ceyda Hanım cümlenin öznesine parmağını koyuyor. "Bu tabloda hasta yok, Çağlar. Dört hastane var" diyor ve programın her polikliniğinden rastgele seçilmiş beşer hastalık denetim dosyasını istiyor. Aynı yirmi kişiden birbiriyle çelişen üç katsayı çıkacak.

Bu derste ne olacak

Önce grup ortalamalarına geçildiğinde katsayının neden büyüdüğünü, kareler toplamını iki parçaya ayırarak göreceksin ve Lütfiye Hanım'ın defterindeki 0,943 ile 1 arasındaki farkı tam olarak açıklayacaksın. Ardından Ceyda Hanım'ın yirmi hastasında aynı veriden işareti bile farklı katsayıların nasıl çıktığını hesaplayacaksın. Bu tersine dönüşün istatistikteki adını, 1950'de yayımlanan ve alanı değiştiren bir makaleyi ve grup düzeyi katsayının gerçekten doğru araç olduğu soruları tanıyacaksın.

Sıfır noktası

Ekolojik çalışmayı işleyen L01-P02-M01-D03 bu dersin zeminini kurmuştu. Orada analiz biriminin birey değil grup olduğu tasarımı, grup düzeyindeki bir ilişkiyi bireylere taşımanın adı olan ekolojik yanılgıyı ve Füsun Hanım'ın hane anketinde ilçeler arasında yükselen bir grafiğin ilçelerin içinde ters döndüğünü görmüştün. O ders oranlarla, iki ilçenin tablosuyla çalışıyordu. Bu derste aynı soruyu korelasyon katsayısına soracaksın: hangi hesap adımı katsayıyı şişiriyor ve hangi koşulda işaretini çeviriyor?

Geçen dersin son hesabı da buraya bağlanıyor. Logaritmik eksende on gönüllünün kendi değerleriyle Pearson katsayısı 0,943 çıkmıştı, beş antrenman düzeyinin ortalamalarıyla tam 1. Noktaların ne olduğunu değiştirmek, verinin kendisine dokunmadan katsayıyı değiştirmişti.

Mekanizma

Ortalama neyi siler

Lütfiye Hanım'ın defterinde her antrenman düzeyinde iki gönüllü vardı ve ikisinin nabız düşüşü birbirinden farklıydı: bir saatte 0 ve 2, iki saatte 2 ve 4, ve böyle sürüp gidiyor. On değerin genel ortalaması 5. Her değerin bu ortalamadan sapmasının karesini toplarsan 90 bulursun: 25, 9, 9, 1, 1, 1, 1, 9, 9 ve 25. Bu toplamın bir kısmı düzeyler arasındaki farktan, bir kısmı aynı düzeydeki iki gönüllünün birbirinden ayrılmasından geliyor.

Varyans analizinin kurduğu ayrım tam da budur. Düzey ortalamaları 1, 3, 5, 7 ve 9; bunların genel ortalamadan sapmalarının karesi 16, 4, 0, 4 ve 16, toplamı 40, her düzeyde iki kişi olduğu için 2 × 40 = 80. Geriye kalan 90 − 80 = 10, düzeylerin içindeki yayılım. Tek yönlü varyans analizini işleyen L02-P04-M04-D07'de gruplar arası kareler toplamının genel toplama oranına eta kare demiştin. Burada o oran 80 ÷ 90 ≈ 0,889.

Grup ortalamalarına geçtiğinde bu 10 birimlik iç yayılım hesaptan tamamen çıkar. Antrenman süresi ise hiçbir şey kaybetmez, çünkü aynı düzeydeki iki gönüllünün saati zaten aynı. Bu koşulda, yani x her grubun içinde sabitken, iki katsayı arasında kesin bir bağ var: birey düzeyi katsayı, grup düzeyi katsayının eta karenin kareköküyle çarpımına eşit. Defterde √0,889 ≈ 0,943 ve 1 × 0,943 = 0,943. Geçen dersin sonunda açık kalan fark, silinen 10 birimin payından başka bir şey değil.

Aynı mantık daha kalabalık gruplarda daha da sertleşir. Standart hatayı işlerken n kişinin ortalamasındaki dağınıklığın varyansının tek bir ölçümünkünün n'de birine indiğini görmüştün. Her düzeyde iki yerine elli gönüllü olsaydı, ortalamalar gerçek eğriye çok daha sıkı oturur ve grup düzeyi katsayı, bireyler arasındaki ilişki zayıf olsa bile 1'e yaklaşırdı. Ekolojik katsayının yüksekliği bu yüzden ilişkinin kişilerdeki gücünü değil, gürültünün ortalamada ne kadar eridiğini de yansıtıyor.

Aynı yirmi kişi, üç katsayı

Ceyda Hanım'ın denetim dosyası geldiğinde tablo şöyle özetleniyor. Her hastanenin beş hastasında adım sayısı ortalamanın iki bin altından iki bin üstüne yayılıyor ve her hastanenin kendi içinde çok yürüyen hastanın HbA1c'si daha düşük.

Kişiler düzeyindeki çarpım toplamı, önceki bölümdeki kareler toplamı gibi iki parçaya ayrılır. Hastaneler arası parça ortalamaların sapmalarından geliyor: adımda −3, −1, 1 ve 3; HbA1c'de −0,5, −0,3, 0,3 ve 0,5. Çarpımlar 1,5, 0,3, 0,3 ve 1,5, toplamı 3,6 ve her hastanede beş kişi olduğu için 5 × 3,6 = 18. Hastane içi parça, dört hastanenin kendi çarpım toplamlarının toplamı: −2,0, −2,8, −1,9 ve −1,7, yani −8,4. Kişiler düzeyindeki toplam 18 − 8,4 = 9,6.

Kareler toplamları da aynı yolla bölünüyor. Adımda hastaneler arası 5 × 20 = 100 ve hastane içi 40, toplam 140; HbA1c'de 5 × 0,68 = 3,4 ve 3,6, toplam 7,0. Şimdi üç katsayıyı yan yana hesapla. Hastane düzeyinde 3,6 ÷ √(20 × 0,68) = 3,6 ÷ 3,69 ≈ 0,98. Yirmi kişi tek havuzda 9,6 ÷ √(140 × 7,0) = 9,6 ÷ 31,30 ≈ 0,31. Hastanelerin içinde, her hasta kendi hastanesinin ortalamasından ölçülünce −8,4 ÷ √(40 × 3,6) = −8,4 ÷ 12 = −0,70.

Üç sayı üç ayrı soruya cevap veriyor. Hastane içi −0,70, aynı poliklinikte izlenen hastalar arasında daha çok yürüyenin HbA1c'sinin daha düşük olduğunu söylüyor. Hastane düzeyi 0,98, adım ortalaması yüksek olan hastanelerin HbA1c ortalamasının da yüksek olduğunu söylüyor. Havuzdaki 0,31 ise bu iki zıt kuvvetin çekişmesinden artakalan bir karışım; iki parçadan hangisi büyükse işaret onun tarafına düşüyor ve burada hastaneler arası parça kazanmış.

İşaretin dönmesi

Havuzda pozitif, dört hastanenin her birinde negatif bir ilişki. Füsun Hanım'ın hane anketinde kişileri tek havuzda toplamak ilçe içi ilişkiyi yalnız zayıflatmıştı; burada bir adım öteye geçip yönünü çeviriyor. Bu desenin istatistikte yerleşik bir adı var. Edward Simpson 1951'de Journal of the Royal Statistical Society'nin B serisinde, çapraz tablolarda alt gruplardaki birlikteliğin birleştirilmiş tabloda tersine dönebildiğini gösterdi ve olgu onun adıyla anıldı.

Ekolojik katsayıyla birey düzeyi katsayının ilişkisi 1950'de keskin biçimde sorgulandı. William S. Robinson, American Sociological Review'da yayımlanan "Ecological Correlations and the Behavior of Individuals" makalesinde 1930 ABD nüfus sayımının verisini kullandı. Eyaletler arasında yurt dışında doğanların oranı ile okuma yazma bilmeyenlerin oranı arasındaki katsayı yaklaşık −0,53 çıkıyordu: göçmeni çok olan eyaletlerde okuryazarlık daha yüksekti. Aynı sayımda kişiler düzeyinde ise yurt dışında doğmuş olmak ile okuma yazma bilmemek arasındaki katsayı yaklaşık 0,12'ydi, yani zayıf ama ters yönde. Olağan açıklama, göçmenlerin yerli nüfusun okuryazarlığının zaten yüksek olduğu eyaletlere yerleşmiş olmasıdır. Makalenin eyalet tablosu sonradan yeniden hesaplandığında veri hataları düzeltilince eyalet düzeyi katsayı biraz küçüldü, ama işareti değişmedi. Robinson aynı verinin birimi eyaletten daha büyük bölgelere çıkarıldığında katsayının yeniden değiştiğini de gösterdi; ekolojik katsayı, hangi sınırlarla gruplandığına bağlı bir sayıydı.

Ekolojik katsayının kendi işi

Ekolojik katsayı yanlış bir sayı değil; yalnız grup hakkında konuşuyor. İl sağlık müdürlüğü gelecek yıl ikinci bir diyabet hemşiresini hangi polikliniğe vereceğini düşünüyorsa soru zaten hastane düzeyindedir. O soruda hastane ortalamaları doğru veridir ve 0,98, HbA1c ortalaması yüksek olan polikliniklerin aynı zamanda adım ortalaması yüksek olan poliklinikler olduğunu dürüstçe söyler. Hata katsayıyı hesaplamakta değil, onu Çağlar'ın cümlesindeki gibi bir hastaya taşımakta başlıyor.

İki düzeyin farkı da başlı başına bilgi taşır. Eğimleri kıyasla: hastaneler arasında bin adım başına HbA1c 3,6 ÷ 20 = 0,18 puan artıyor, hastanelerin içinde −8,4 ÷ 40 = −0,21 puan düşüyor. Aradaki 0,18 − (−0,21) = 0,39 puanlık fark, hastanelerin kendisinde adımla birlikte değişen bir şeyin izi. Ceyda Hanım'ın aklına ilk gelen, D hastanesinin kırsal bir ilçede olması ve hastaların tarlada çok yürüdüğü hâlde diyabet eğitimine daha az ulaşması. Bu bir olasılık, bu tablodan sınanabilecek bir sonuç değil. Grup ortalamalarının içinde saklanan üçüncü etkenlerin nasıl ayıklanacağını ise regresyon modülünde, eğimleri birden çok değişkenle birlikte kurduğunda göreceksin.

Klinik gerçeklik

Çağlar özeti yeniden yazıyor ve her katsayının yanına noktanın ne olduğunu ekliyor. Yeni ilk cümle şöyle: "Dört hastane arasında adım ortalaması ile HbA1c ortalaması aynı yönde değişti; aynı polikliniğin hastaları arasında ise ilişki ters yöndeydi". Havuzdaki 0,31'i ise özetten tamamen çıkarıyor, çünkü iki zıt ilişkinin karışımı hiçbir soruya cevap vermiyor.

Bir makalede ya da raporda korelasyon gördüğünde ilk sorun her noktanın ne olduğu olsun. Nokta bir il, bir hastane ya da bir ülkeyse, katsayının büyüklüğünü birey düzeyine taşımadan önce grup içi verinin var olup olmadığına bak. Varsa üç katsayıyı ayrı ayrı iste; yoksa sonucu gruplar hakkında bir cümle olarak oku. Ülkeler arasında bir besinin tüketimi ile bir hastalığın sıklığı arasında yüksek bir katsayı gösteren grafikler bu okumayı en çok gerektirenler; o grafikteki kimse o besini yiyip yemediğini söylemedi.

Kendini sına

1. Ekolojik korelasyonu grup içi korelasyondan ayıran nedir? Her birinde nokta neyi temsil ediyor?
2. Lütfiye Hanım'ın defterinde her düzeydeki iki gönüllünün değerleri birbirine daha yakın olsaydı, örneğin 0,5 ve 1,5 gibi, birey düzeyi katsayı 1'e yaklaşır mıydı? Neden?
3. x grubun içinde sabitken birey düzeyi katsayıyı grup düzeyi katsayıdan hangi oranla elde edersin?
4. Ceyda Hanım'ın tablosunda hastane içi çarpım toplamı −8,4 yerine −20 olsaydı, havuzdaki toplam kaç çıkardı ve işaret hangi yöne dönerdi?
5. Simpson paradoksu bir hesap hatası mı? Dört hastane örneğinde ortaya çıkması için hangi iki parçanın büyüklüğü belirleyici oldu?
6. Robinson'un eyaletler arası katsayısının işareti neden kişiler düzeyindekinin tersine çıkabildi?
7. Hangi soruda hastane düzeyi 0,98 doğru araçtır, hangisinde yanıltır?

Bir sonraki derse köprü

Ceyda Hanım'ın hastanelerinde adımla HbA1c'yi aynı anda yukarı taşıyan bir şey vardı ve dört satırlık tablo onun ne olduğunu söylemedi. İki ölçüm arasında doğrudan hiçbir bağ yokken, ikisini birden etkileyen üçüncü bir etken ya da aynı yönde akan iki zaman eğilimi yüksek bir katsayı üretebilir mi? Böyle bir sahte korelasyonu gerçek bir birliktelikten ayırmak için veride neye bakarsın?