Doğrusal Olmayan İlişki

Açılış sahnesi

Ekimin son pazartesi, Aksaray. Eğitim ve araştırma hastanesinin spor hekimliği polikliniğinde Lütfiye Hanım, bahar döneminde koşuya yeni başlayan on gönüllünün kayıt defterini masaya açmış. Her gönüllü on iki hafta boyunca haftada belirli bir süre antrenman yaptı: ikisi bir saat, ikisi iki, ikisi dört, ikisi sekiz, ikisi on altı saat. Defterin son sütununda dinlenik nabızdaki düşüş var, dakikadaki atım sayısı olarak: 0 ve 2, 2 ve 4, 4 ve 6, 6 ve 8, 8 ve 10.

Asistanı Tuğrul sütunları tabloya geçirip Pearson katsayısını 0,88 bulmuş ve sunum taslağına "antrenman süresi arttıkça nabız düşüşü doğrusal olarak artıyor" diye yazmış. Lütfiye Hanım cümlenin altını çiziyor. "Bir saatten iki saate geçen de iki atım kazanmış, sekizden on altıya geçen de. Biri bir saat eklemiş, öteki sekiz saat" diyor. Katsayı yüksek, ama cümlenin anlattığı biçim defterde yok.

Bu derste ne olacak

Bu derste katsayının göremediği biçimleri üç aileye ayıracaksın ve her birinde Pearson ile Spearman katsayılarının ne söylediğini göreceksin. Aynı katsayıyı taşıyan dört farklı veri kümesini inceleyip grafiğin neden hesaptan önce geldiğini sınayacaksın. Ardından Lütfiye Hanım'ın defterini logaritmik eksene taşıyıp bükülen bir ilişkiyi düzleştirecek, son olarak veriyi bir kesme noktasında ikiye bölmenin hem ne gösterdiğini hem de hangi tuzağı kurduğunu hesaplayacaksın.

Sıfır noktası

Geçen derste Pearson katsayısının noktaların tek bir düz çizgiye ne kadar yaslandığını, Spearman katsayısının ise iki sıralamanın ne kadar örtüştüğünü ölçtüğünü gördün. Bir ölçüm büyüdükçe ötekinin hep aynı yönde ilerlediği ilişkiye monoton ilişki demiştin ve beş gözlemlik U örneğinde iki katsayının da sıfıra düştüğünü hesaplamıştın.

Daha geriye gidersen, parçalı fonksiyonları işleyen L02-P01-M02-D06 iki kavramı kurmuştu: ilişkinin biçim değiştirdiği girdi değeri olan eşik ve girdi artarken çıktının artmayı bıraktığı doygunluk. O ders bu biçimleri bir formülden okuyordu. Bu derste aynı biçimleri gürültülü bir veriden, elinde yalnız noktalar varken tanımaya çalışacaksın.

Mekanizma

Üç aile, iki katsayı

Birinci aile monoton ama bükülen ilişkiler. Doygunlukta çıktı önce hızla, sonra giderek yavaşlayarak artar; logaritmik ilişki bunun en tanıdık örneği. Tek yön korunduğu için Spearman katsayısı yüksek kalır, Pearson ise bükülme arttıkça 1'den uzaklaşır. Lütfiye Hanım'ın defteri bu ailede: Pearson 0,88, Spearman 0,95.

İkinci aile yön değiştiren ilişkiler: ters U, U ya da bir kolu ötekinden kısa J biçimi. Geçen dersteki U örneğinde gördüğün gibi iki kol birbirini götürdüğünde iki katsayı da sıfıra yaklaşır. Kollar eşit değilse, J biçiminde olduğu gibi, katsayı uzun kolun yönünü gösterir ve kısa kolu sessizce siler.

Üçüncü aile eşik biçimi. Bir değere kadar düz giden ilişki orada kırılıp yükselir ya da tersine, yükselirken birden düzleşir. Kırılmanın bir yanı yataysa monotonluk korunur ve Spearman yine yüksek çıkabilir; ama hiçbir katsayı kırılmanın nerede olduğunu söylemez.

Aynı katsayı, dört çizim

Frank Anscombe 1973'te The American Statistician'da yayımladığı "Graphs in Statistical Analysis" makalesinde bu sorunu dört küçük veri kümesiyle gösterdi. Her kümede on bir gözlem var. İlk üç kümenin x değerleri aynı ve toplamları 99, dolayısıyla ortalama 99 ÷ 11 = 9; dördüncü kümede on gözlem x = 8'de, biri x = 19'da duruyor ve toplam yine 99. y sütunlarının toplamı dördünde de yaklaşık 82,5, ortalama 82,51 ÷ 11 ≈ 7,50. Varyanslar da neredeyse eşit: x için 11, y için yaklaşık 4,12.

Pearson katsayısı dört kümede de 0,816 çıkıyor ve iki kuyruklu p değeri her birinde yaklaşık 0,002. Tablo olarak dördü birbirinin eşi. Çizildiklerinde ise birinci küme düz bir çizginin çevresine dağılmış olağan bir bulut, ikincisi hatasız bir kavis: yükseliyor, x = 11 civarında tepe yapıp iniyor. Üçüncü kümede on nokta kusursuz bir doğrunun üstünde, biri o doğrudan kopmuş. Dördüncüde bütün ilişkiyi sağ uçtaki tek bir nokta kuruyor; o nokta olmasa x hiç değişmiyor ve katsayı tanımsız kalıyor.

Spearman katsayısı bu dörtlüyü kurtarmıyor, yalnız başka bir yerden bozuluyor. Sıra katsayısı birinci kümede 0,82, ikincide 0,69, üçüncüde 0,99 ve dördüncüde 0,50. Üçüncü kümede tek sapan noktayı yuttu ve neredeyse kusursuz bir sıralamayı doğru gördü; ikincide kavisin inen kolunu bir düşüş olarak cezalandırdı ama kavsi yine göstermedi. Saçılım grafiği dersinde bir çizimin kaç gözlem taşıdığını sormadan okunamayacağını görmüştün. Burada öteki yön geçerli: bir katsayı, arkasındaki çizime bakılmadan okunamaz.

Bükülen ilişkiyi düzleştirmek

Lütfiye Hanım'ın defterine dön. Her antrenman düzeyindeki iki gönüllünün ortalamasını al: bir saatte 1, iki saatte 3, dört saatte 5, sekiz saatte 7, on altı saatte 9 atım. Her adımda süre iki katına çıkıyor ve düşüş hep 2 atım artıyor. Saat başına kazanç ise hızla eriyor. İlk adımda 2 ÷ 1 = 2 atım, ikincide 2 ÷ 2 = 1, üçüncüde 2 ÷ 4 = 0,5, dördüncüde 2 ÷ 8 = 0,25. Son bir saatin getirisi ilkinin sekizde biri; Tuğrul'un "doğrusal" cümlesi en çok burada yanılıyor.

Bu düzen bir işaret veriyor: sabit olan eklenen miktar değil, çarpan. Log-normal dağılımı işleyen L02-P02-M02-D05'te çarpık bir ölçümün logaritmasını alınca dağılımın simetrikleştiğini görmüştün; aynı işlem burada bir ilişkiyi düzleştiriyor. Süreyi iki tabanlı logaritmaya çevir: bir saat 0'a, on altı saat 4'e iner ve aradaki üç düzey 1, 2 ve 3 değerlerini alır. Yeni eksende ortalamalar her birimde tam 2 atım artıyor ve noktalar düz bir çizgiye oturuyor.

On gönüllünün bireysel değerleriyle hesap şöyle çıkıyor. Ham saatlerle Pearson katsayısı 0,880, logaritmik saatlerle 0,943. Spearman her iki eksende de 0,947, çünkü logaritma kimsenin sırasını değiştirmedi. Dönüşümden sonra iki katsayının neredeyse buluşması, geride kalan farkın eğrilikten değil gönüllüler arasındaki olağan dağınıklıktan geldiğini gösteriyor.

Dönüşümün bir bedeli de var: sonucu artık saat başına değil, sürenin her iki katına çıkışı başına anlatıyorsun. Lütfiye Hanım için bu bir kayıp değil, daha doğru bir cümle. "Antrenman süresini ikiye katlamak dinlenik nabızda yaklaşık iki atımlık ek düşüşle birlikte görüldü" cümlesi defterde gerçekten olan şeyi söylüyor. Bu eğriye bir denklem uydurmak ve o denklemin katsayılarını sınamak ise bir sonraki modülün işi; regresyon doğrusunu kurduktan sonra doğrusal olmayanlığı modele nasıl katacağını orada göreceksin.

İki parçaya bölmek

Tuğrul başka bir çözüm öneriyor: "Dört saatte bir eşik var. Altında kazanç hızlı, üstünde yavaş". Hesap onu destekliyor gibi. Bir saatten dört saate ortalama düşüş 1'den 5'e çıkıyor, saat başına 4 ÷ 3 ≈ 1,33 atım. Dörtten on altıya 5'ten 9'a çıkıyor, saat başına 4 ÷ 12 ≈ 0,33. Alt parçanın eğimi üst parçanınkinin dört katı.

Lütfiye Hanım kesme noktasını sekiz saate taşıyor. Alt parçada 1'den 7'ye, saat başına 6 ÷ 7 ≈ 0,86 atım; üst parçada 7'den 9'a, 2 ÷ 8 = 0,25. Kesmeyi iki saate koyunca alt parçada 2 ÷ 1 = 2, üst parçada 6 ÷ 14 ≈ 0,43 çıkıyor. Hangi noktadan bölersen böl, altta dik, üstte yatık bir parça buluyorsun. Pürüzsüz bir eğri her noktada bükülüyor ve iki parçalı bir çizim bu bükülmeyi nereye koyarsan orada bir kırılma olarak gösteriyor.

Parçalı çözümleme yine de işe yarar bir araç. Kırılmanın yeri veri görülmeden, fizyolojik bir gerekçeyle ya da önceki bir çalışmadan belirlenmişse, iki parçanın eğimini karşılaştırmak dürüst bir sınamadır. Sorun kesme noktasının veriye bakılarak seçilmesinde başlıyor.

Veriden seçilen eşik

Bunu bir benzetimle ölçebilirsin. Gerçek ilişkinin kusursuz biçimde düz olduğu, kırk kişilik on bin örneklem üret. Her örneklemi ortancadan ikiye böl ve iki parçada ayrı ayrı Pearson katsayısını sına. Parçalardan birinde anlamlı, ötekinde anlamsız sonuç çıkan örneklem sayısı 3.623, oranı 3.623 ÷ 10.000 ≈ 0,36. Kesme noktasını dokuz aday arasından, deneyip bu deseni verene kadar seçersen oran 9.271 ÷ 10.000 ≈ 0,93'e çıkıyor. İlişkide eşik yok; on örneklemin dokuzunda yine de bir eşik "bulunuyor".

Bu, p değerini zorlamayı işleyen L02-P04-M03-D08'de sayılmamış karşılaştırmaların hatayı nasıl büyüttüğünü gördüğün mekanizmanın ta kendisi. Kesme noktası da bir analiz seçimi ve her aday bir karşılaştırma daha. Üstüne ikinci bir hata biniyor. Bir parçada anlamlı, ötekinde anlamsız bir sonuç, iki parçanın eğimlerinin farklı olduğunu göstermez. Andrew Gelman ve Hal Stern 2006'da The American Statistician'da bunu başlığa taşıdılar: anlamlı ile anlamsız arasındaki fark kendisi anlamlı olmak zorunda değil.

Klinik gerçeklik

Yön değiştiren ilişkiler klinik literatürde seyrek değil. Vücut ağırlığı ile ölüm riski arasında bazı büyük gözlemsel çalışmalarda J biçimli bir ilişki bildirildi. Sol koldaki yükselişin bir bölümünün, hastalık nedeniyle zaten kilo kaybetmiş kişilerden gelebileceği tartışılıyor; biçim bir soru açıyor, nedeni söylemiyor. Böyle bir ilişkiye tek bir katsayı verildiğinde kısa kol kaybolur ve "kilo arttıkça risk artar" cümlesi yarı doğru kalır.

Lütfiye Hanım sunumu üç değişiklikle bitiriyor. Saçılım grafiğini tablonun önüne koyuyor ve yatay ekseni logaritmik çiziyor. Katsayı olarak Spearman'ı veriyor, Pearson'u yalnız logaritmik eksende bildiriyor. Tuğrul'un eşik cümlesini siliyor ve yerine "bu örneklem bir kırılma noktasını sınamak için tasarlanmadı" diye yazıyor. Bir makalede eşik okuduğunda da aynı iki soruyu soracaksın: kesme noktası veri toplanmadan önce mi belirlendi, iki parçanın eğim farkı doğrudan mı sınandı?

Kendini sına

1. Doygunluk, J biçimi ve eşik biçiminin her biri için Pearson ile Spearman'dan neyi beklersin?
2. Anscombe'un dört kümesinin özetleri neredeyse aynı. Seni farklı biçimlere götürecek tek adım nedir?
3. Üçüncü kümede Spearman 0,99, Pearson 0,816. Aradaki farkı hangi nokta yaratıyor?
4. Defterde otuz iki saatlik bir düzey eklense ve düzen sürse, ortalama nabız düşüşü kaç atım olurdu? Saat başına ek kazanç kaç çıkardı?
5. Logaritmik dönüşüm Spearman katsayısını neden değiştirmedi?
6. Dördüncü sorudaki otuz iki saatlik düzeyle kesmeyi on altı saate koy. Alt ve üst parçanın saat başına eğimini ortalamalardan hesapla.
7. Bir makale "ilişki 25'in altında anlamlı, üstünde anlamsız" diyor. Hangi iki bilgiyi ararsın?

Bir sonraki derse köprü

Lütfiye Hanım'ın hesabında bir ayrıntı gözden kaçtı. Beş antrenman düzeyinin ortalamalarıyla logaritmik eksende Pearson katsayısı tam 1, on gönüllünün kendi değerleriyle 0,943. Noktalar kişi değil grup ortalaması olduğunda katsayı neden yükseldi? İller, hastaneler ya da ülkeler arasında ölçülen bir birliktelik, o grupların içindeki tek tek kişiler hakkında ne söyleyebilir?