Spearman Korelasyonu

Açılış sahnesi

Ekimin üçüncü perşembesi, Elazığ. Şehir hastanesinin romatoloji polikliniğinde Şirin Hanım son hastasını uğurladıktan sonra Malatya'dan gelen e-postayı açıyor. Cavidan Hanım sabah tutukluğu protokolünü iki merkezli yürütmek istiyor ve eke Caner'in altı hastalık tablosunu koymuş: tutukluk 20'den 115 dakikaya, C-reaktif protein litrede 5 ile 18 miligram arasında, Pearson katsayısı 0,621. Tablonun altındaki not dürüst: altıncı hasta çıkınca katsayı 0,06'ya düşüyor.

Şirin Hanım'ın asistanı Yiğit ekranın başına geliyor. Şirin Hanım'ın kaygısı Malatya'nın altıncı hastası değil, kendi polikliniğinin hastaları. Alevlenmeyle gelen bir hastada belirteç 18'de kalmayıp 80'e çıkabiliyor ve tek bir böyle satırın iki merkezin ortak katsayısını tek başına sürüklemesini istemiyor. "Analiz planına büyüklükleri değil sıralamayı koysak ne kaybederiz?" diye soruyor. Yiğit kâğıdın kenarına altı hastanın sıra numaralarını yazmaya başlıyor.

Bu derste ne olacak

Altı hastanın iki ölçümünü sıra numarasına çevirip katsayıyı iki ayrı yoldan elle hesaplayacaksın ve iki yolun neden aynı sayıya çıktığını göreceksin. Ardından altıncı hastanın belirtecini 80'e çıkarıp Pearson ile sıra katsayısının bu değişikliğe verdiği tepkiyi karşılaştıracaksın. Eşit değerlerin nasıl sıralandığını, düz çizgiye yaslanmayan ama tek yönde ilerleyen bir ilişkinin iki katsayıda nasıl göründüğünü ve sıraların da çözemediği bir biçimi bulacaksın.

Sıfır noktası

Geçen derste kovaryansı iki standart sapmaya bölüp Pearson katsayısını kurdun. O sayı noktaların tek bir düz çizgiden ne kadar az saptığını ölçüyordu ve her hastanın katkısı ortalamadan uzaklığının büyüklüğüyle orantılıydı. Altıncı hastanın 55 dakikalık ve 8 birimlik sapmaları bu yüzden katsayının neredeyse tamamını taşıyordu.

Değerleri sıra numarasıyla değiştirmeyi ise daha önce iki kez yapmıştın. Mann–Whitney testinde (L02-P04-M04-D03) iki grubun on altı ölçümünü tek bir sıraya dizip uç değerin büyüklüğünü sıranın içinde erittin. Wilcoxon işaretli sıra testinde (L02-P04-M04-D04) eşit büyüklüklere, kapladıkları sıraların ortalamasını vermiştin. Bu derste aynı işlemi iki ayrı ölçüme ayrı ayrı uygulayıp iki sıra dizisini birbiriyle eşleştireceksin.

Mekanizma

Sıralara çevirmek

Tutukluk dakikaları tabloda zaten artan sırada, 20'den başlayıp 115'e varıyor; birinci hasta 1, altıncı hasta 6 numarayı alıyor. Belirteçte iş biraz daha uzun. En küçük değer 5, birinci hastada; sonra 6 üçüncü hastada, 8 beşincide, 10 dördüncüde, 13 ikincide ve 18 altıncıda. Hastaların sırasıyla belirteç sıraları 1, 5, 2, 4, 3 ve 6 çıkıyor. Altıncı hasta her iki sütunda da 6 numarada ve artık yalnız "en uzun" ile "en yüksek" diye duruyor; 115'in 90'dan ne kadar uzak olduğu tabloda yok.

İlk yol, bu iki sıra sütununa geçen dersin Pearson hesabını olduğu gibi uygulamak. Altı sıranın ortalaması her sütunda 3,5. Tutukluk sapmaları −2,5, −1,5, −0,5, 0,5, 1,5 ve 2,5; belirteç sapmaları −2,5, 1,5, −1,5, 0,5, −0,5 ve 2,5. Çapraz çarpımlar 6,25, −2,25, 0,75, 0,25, −0,75 ve 6,25; toplamları 10,5. Her iki sütunun kareler toplamı da 17,5, dolayısıyla katsayı 10,5 ÷ √(17,5 × 17,5) = 10,5 ÷ 17,5 = 0,6.

Kısa yol ve neden işlediği

İkinci yol yalnız sıra farklarını kullanır. Her hastada iki sırayı birbirinden çıkar: 0, −3, 1, 0, 2 ve 0. Karelerinin toplamı 0 + 9 + 1 + 0 + 4 + 0 = 14. Formül ρ = 1 − 6Σd² ÷ (n(n² − 1)) ve altı hasta için payda 6 × 35 = 210. Hesap 6 × 14 = 84, 84 ÷ 210 = 0,4 ve 1 − 0,4 = 0,6. İki yol aynı sayıda buluşuyor.

Buluşmaları rastlantı değil. Hiç eşit değer yoksa sıralar her zaman 1'den n'ye kadar aynı sayılardır; ortalamaları (n + 1) ÷ 2, kareler toplamları n(n² − 1) ÷ 12 olur. Altı hastada 210 ÷ 12 = 17,5, yukarıdaki kareler toplamının ta kendisi. Pearson formülündeki bütün parçalar önceden bilindiği için geriye değişen tek şey, iki sıranın birbirinden ne kadar ayrıldığı kalıyor ve cebir onu Σd²'ye indiriyor. Bu kısa yolun işlemesi de sıraların tam olarak 1, 2, …, n olmasına bağlı; eşitlikler girince bu varsayım bozulacak.

Tutukluk ile ağrı arasında aynı hesap daha yüksek bir sayı veriyor. Ağrıda en düşük puan olan 2 birinci hastada, ardından 3 üçüncüde, 4 ikincide, 5 dördüncüde, 6 altıncıda ve 7 beşincide; hasta sırasıyla ağrı sıraları 1, 3, 2, 4, 6 ve 5, farklar 0, −1, 1, 0, −1 ve 1, kareler toplamı 4. Katsayı 1 − 24 ÷ 210 ≈ 1 − 0,114 ≈ 0,886. Pearson'un 0,865'ine çok yakın, çünkü ağrı sütununda tek başına öne fırlayan bir hasta yoktu.

Altıncı hastanın çekiminden ne kalıyor

Şirin Hanım'ın sorusuna şimdi sayıyla cevap verebilirsin. Altıncı hastanın belirtecini 18 yerine 80 yaz. Pearson katsayısı 0,621'den yaklaşık 0,739'a çıkıyor; tek bir değerin büyüklüğü katsayıyı yeniden biçimliyor. Sıra katsayısı ise hiç kıpırdamıyor, çünkü 80 de sütunun en büyüğü ve sırası yine 6. Büyüklüğün çekimi tamamen silindi.

Konumun çekimi ise silinmedi. Altıncı hastayı tablodan tamamen çıkar: kalan beş hastanın sıraları 1–5 ile 1, 5, 2, 4, 3; farkların kareler toplamı yine 14, ama payda 5 × 24 = 120. Katsayı 1 − 84 ÷ 120 = 1 − 0,7 = 0,3. Pearson aynı işlemde neredeyse sıfıra, 0,06'ya düşmüştü; sıra katsayısı 0,6'dan 0,3'e iniyor. Çekim küçüldü ama yarıya inen bir katsayı hâlâ tek bir hastanın varlığına bağlı demek.

Aynı hastanın belirteci en küçük değer olsaydı, örneğin 3, sıra katsayısı yaklaşık −0,26'ya düşerdi. Altı kişilik bir örneklemde en uçtaki sıra, dizinin öteki ucuna taşınınca bütün tabloyu ters çevirebiliyor. Sıralar bir değerin ne kadar büyük olduğunu unutuyor; hangi sırada durduğunu unutmuyor.

Düz çizgi yerine ne aranıyor

Sıra katsayısı 1'e ancak iki sıralama tamamen örtüştüğünde ulaşır: birinci ölçüm her büyüdüğünde ikincisi de büyüyorsa, ne kadar büyüdüğünden bağımsız olarak. Pearson ise bu yetmez, noktaların düz bir çizgi üstünde durması gerekir. İki katsayının aradığı şey bu noktada ayrılıyor.

Soyut bir örnekle görebilirsin. Birinci ölçüm birden altıya kadar tam sayılar, ikincisi onların küpü: 1, 8, 27, 64, 125 ve 216. İkinci sütunun her değeri birinciden hesaplanabiliyor ve sütun hep aynı yönde ilerliyor, ama her adımda daha hızlı tırmanıyor. Pearson katsayısı yaklaşık 0,938; sıra katsayısı tam 1, çünkü iki sıra dizisi de 1'den 6'ya. Bir doyma eğrisinde de, yani önce hızla yükselip sonra yataylaşan bir ilişkide de sonuç aynı yöndedir: sıralar örtüştükçe Spearman 1'e varır, Pearson ise eğrinin bükülmesi kadar geride kalır.

Bu ayrımın pratik bir getirisi var. Bir ölçümün logaritmasını ya da karekökünü almak sıralamasını değiştirmez, dolayısıyla sıra katsayısını da değiştirmez. Belirteci ham değer ya da logaritmik ölçekle raporlayan iki merkez aynı Spearman katsayısını bulur; Pearson katsayıları ise birbirinden ayrılabilir.

Eşit değerler

Yiğit'in bir sonraki sorusu Elazığ'ın formuyla ilgili. Orada hastalar tutukluğu çoğu kez "yarım saat" ya da "bir saat" diye yuvarlıyor ve birden fazla hasta aynı değeri taşıyor. Wilcoxon testindeki kural burada da geçerli: eşit değerler kapladıkları sıraların ortalamasını paylaşır. Kovaryans dersindeki beş gözlemlik örneğe dön: birinci ölçüm sıfırdan dörde birer birer artıyordu, ikincisi iki uçta 4, tam ortada 0, aradaki iki noktada 1 değerini alıyordu. İkinci ölçümde iki tane 1 var, 2. ve 3. sıraları paylaşıp (2 + 3) ÷ 2 = 2,5 alıyor; iki tane 4, 4. ve 5. sıraları paylaşıp 4,5 alıyor.

Bu sıralarla kısa yol artık doğru sonuç vermiyor. Farklar −3,5, −0,5, 2, 1,5 ve 0,5; kareleri toplamı 19 ve formül 1 − 114 ÷ 120 = 0,05 veriyor. Sıraların Pearson katsayısı ise tam 0. Eşitlikler sıraların kareler toplamını küçülttüğü için kısa yolun dayandığı sabit payda artık doğru değil. Yazılımların çoğu bu yüzden bağlar varken sıralar üzerinde doğrudan Pearson hesabı yapar; elle çalışırken de bağ gördüğünde ilk yolu seçmelisin.

Sıraların da göremediği biçim

Bu örnek başka bir şeyi daha gösteriyor. İkinci ölçümün her değeri birinciden hatasız hesaplanabiliyordu, ama sıra katsayısı sıfır çıktı. Sol yarıda ölçüm azalıyor, sağ yarıda artıyor; tek bir yön yok. Spearman düz çizgi şartını gevşetti, tek yön şartını gevşetmedi. U biçimli bir ilişki için Pearson ne kadar körse o da o kadar kör.

Buradan iki katsayı hakkında bir ayrım çıkıyor. Spearman Pearson'un iki kırılganlığını, uç değerin büyüklüğüne ve eğriliğe duyarlılığını kaldırıyor. Yön değiştiren bir ilişkiyi, küçük örneklemin belirsizliğini ve tek bir sıranın konumunu ise yerinde bırakıyor. Yön değiştiren ilişkinin nasıl okunacağı bu modülün bir sonraki dersinde ayrıntısıyla ele alınacak.

Altı hastayla ne kadar emin olunur

Sıra katsayısında kesin p değeri, Mann–Whitney testinde yaptığın gibi sayarak bulunabilir. Altı sıranın 720 farklı düzeni var ve tümü eşit olasılıklıysa bunların 174'ü mutlak değeri 0,6 ya da daha büyük bir katsayı veriyor: 174 ÷ 720 ≈ 0,24. Ağrı için 0,886 ya da daha uç değer veren 24 düzen var ve 24 ÷ 720 ≈ 0,033. Altı hastada sıra katsayısı Pearson'dan daha sağlam, ama daha kesin değil.

Maurice Kendall 1938'de Biometrika'da sıraya dayanan başka bir katsayı önerdi: bütün hasta çiftlerini tek tek alıp iki ölçümün aynı yönde mi ters yönde mi sıralandığını sayar. Malatya tablosunda 15 çiftin 11'i aynı yönde, 4'ü ters yönde ve katsayı (11 − 4) ÷ 15 ≈ 0,47. Değeri Spearman'dan küçük görünse de aynı sıralama bilgisini başka bir cetvelde okur; iki katsayıyı birbirine karşılaştırmak anlamsız.

Klinik gerçeklik

Şirin Hanım Malatya'ya dönüş yazısında iki katsayıyı da analiz planına koymayı öneriyor: birincil olarak Spearman, çünkü iki merkezin belirteç dağılımları farklı olabilir ve alevlenmeyle gelen tek bir hasta sıralamayı değil büyüklüğü bozar. Pearson'u ikincil olarak bırakıyor ve ikisi belirgin biçimde ayrılırsa saçılım grafiğine bakılacağını yazıyor. İki katsayının arasındaki fark, verinin düz çizgiden mi yoksa tek bir uç noktadan mı saptığını gösteren ucuz bir uyarı.

Ağrı cetveli gibi sıralı ölçümlerde sıra katsayısı zaten daha doğal bir seçim, çünkü 4 ile 6 arasındaki farkın 2 ile 4 arasındaki farkla aynı büyüklükte olduğu hiçbir yerde garanti edilmiyor. Bir makale "Spearman korelasyonu anlamlı bulundu" yazıyorsa katsayının kendisini, örneklem büyüklüğünü ve grafiği aramalısın. Monoton bir ilişkinin varlığı ne nedenselliği ne de ilişkinin hangi bölgede daha dik olduğunu söyler.

Kendini sına

1. Tutukluk ile ağrı için sıra katsayısını sıraların Pearson katsayısı olarak da hesapla ve 0,886'yı bul.
2. Belirteç logaritmik ölçeğe çevrilseydi Malatya tablosunda Spearman ve Pearson katsayılarına ne olurdu?
3. Altıncı hastanın belirteci 11 olsaydı sıralar nasıl değişirdi ve katsayı kaç çıkardı?
4. Yedi hastada payda n(n² − 1) kaç olur? Farkların kareler toplamı 10 ise katsayı kaçtır?
5. Neden eşit değerler varken 1 − 6Σd² ÷ (n(n² − 1)) formülü tam sonucu vermez?
6. Pearson 0,40, Spearman 0,85 bulunan bir veri hakkında grafiğe bakmadan hangi iki olasılığı düşünürsün?

Bir sonraki derse köprü

U örneğinde bir ölçüm ötekinden hatasız hesaplanabiliyordu, yine de iki katsayı da sıfır verdi. Yön değiştiren bir ilişkiyi hangi araçla görürsün: saçılım grafiğiyle mi, ilişkiyi iki parçaya bölerek mi, yoksa eğriye uyan bir modelle mi? Tutukluk ile belirteç arasındaki ilişki düşük değerlerde yükselip yüksek değerlerde yataylaşsaydı, bu doğrusal olmayan biçimi bir katsayıdan başka neyle anlatırdın?